Warum verwenden wir unter manchen Umständen den dualen Raum und unter anderen das innere Produkt?

In Hilbert Spaces haben Sie Recht, dass Sie mit dem Riesz-Darstellungssatz (RRT) innere Produkte und duale Räume austauschbar verwenden können. Es gibt jedoch einige Gründe, warum der duale Raum vorzuziehen oder sogar notwendig sein kann.

Beispiel 1 : In der Quantenmechanik kann man einem Element einen reinen Zustand zuordnen$|\phi\rangle$eines Hilbertraums$\mathcal H$, und sein natürlich entsprechendes ja/nein beobachtbar mit einem Element$\langle \phi |$des Dualen$\mathcal H^*$. Die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses für eine Messung von$\langle \chi |$im Staat$|\psi\rangle$wird von gegeben$|\langle\chi|\psi\rangle|^2$. Ohne auf das Dual zu verweisen, könnten wir alternativ einfach die Symbole verwenden$\chi,\psi\in \mathcal H$, und die gleiche Berechnung würde durch Verwendung des Skalarprodukts dargestellt$|(\chi,\psi)|^2$. Nun müssen wir aber erklären, was das bedeutet, da die beiden Symbole im Skalarprodukt natürlich als Zustände interpretiert werden und es anscheinend keine Messungen gibt. Mit anderen Worten, wir haben zwei Vektoren, die jeweils unterschiedliche physikalische Interpretationen haben, und die Verwendung des Duals unterscheidet sie perfekt. Ganz zu schweigen von all den anderen symbolischen Vorteilen der Dirac-Notation, die mathematisch in der Verwendung des dualen Leerzeichens begründet sind.

Beispiel 2 : In einem unendlich dimensionalen inneren Produktraum$V$(das ist kein Hilbert-Raum, so dass wir die RRT nicht aufrufen können) das Dual$V^*$kann tatsächlich größer sein als der ursprüngliche Raum,$V\subset V^*$(im Sinne einer isomorphen Einbettung). In der Quantenmechanik wird diese Tatsache genutzt, um einen sogenannten Rigged-Hilbert-Raum zu bauen, in dem bestimmte Zustände im Dual leben, aber keine Entsprechungen im inneren Produktraum selbst haben. Man kann dann nur Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem man ein duales Element auswertet. (So ​​können Dirac-Delta-Funktionen rigoros gehandhabt werden.)

Beispiel 3 : In der Relativitätstheorie sind physikalische Größen allgemeine Tensoren, die eigentlich als multilineare Funktionale der Form definiert werden:

$$\tau:V^*\times V^* \cdots \times V^* \times V\times V \cdots \times V \rightarrow \mathbb R$$ Während eine bilineare Form, die einem Punktprodukt von Vektoren entspricht, sicherlich ein Tensor ist (und ein wichtiger noch dazu!), reduzieren sich die meisten Tensoren nicht auf solch einfache Regeln. An die Arbeit mit Dualen muss man sich früher oder später gewöhnen.

Ein innerer Produktraum ist mehr als nur der Raum und sein Dual auf folgende Weise:

• In einem Skalarproduktraum kann man mit dem Skalarprodukt zwar zwei Vektoren eindeutig zu einem Skalar multiplizieren. Dies liefert eine kanonische Karte vom Raum zu seinem dualen, $$V\ni v\longmapsto \omega=\left<v,\cdot\right> \in V^*\,.$$
• Wenn Sie andererseits nur ein Leerzeichen und sein Dual haben, gibt es keine solche Identifizierung (z. B. die Dualbasis bietet keine). Daher können Sie nur Elemente von anwenden$V^*$zu Elementen von$V$um Skalare zu erhalten, aber Sie können keine Elemente von verwenden$V$einen Skalar bilden.

(Wie üblich gibt es im Umgang mit unendlich dimensionalen Räumen Feinheiten, die ich hier beschönige.)

Einerseits hat ein VS immer ein algebraisches duales VS , und ein topologisches VS hat immer ein stetiges duales VS , ist aber nicht unbedingt ein innerer Produktraum .

Andererseits kann die Norm eines inneren Produktraums eine physikalische Observable sein.