Anwendungen des Spektralsatzes auf die Quantenmechanik

Es ist wahr, dass ein Großteil der Quantenmechanik ohne große Kenntnisse der mathematischen Grundlagen gelehrt und verstanden werden kann, und normalerweise ist es das auch. Da QM an vielen Fakultäten eine Pflichtveranstaltung ist, die auch angehende Experimentalphysiker besuchen müssen, ist dies auch sinnvoll. Aber für angehende theoretische und mathematische Physiker kann es sich lohnen, auch etwas über Mathematik zu lernen.

Kleine Anekdote: John von Neumann sagte einmal zu Werner Heisenberg, dass Mathematiker für QM dankbar sein sollten, weil sie zur Erfindung vieler schöner Mathematik führte, dass Mathematiker dies aber revanchierten, indem sie zB den Unterschied zwischen einer selbstadjungierten und einer klärten Symmetrischer Operator. Heisenberg fragte: "Was ist der Unterschied?"

Angenommen, Sie möchten exp(A) berechnen. Warum definieren Sie nicht exp(A):=1+A+1/2 A^2 + ... und fordern Konvergenz bezüglich der Operatornorm.

Das ist richtig. Der Vorteil des Spektralsatzes besteht darin, dass Sie f(A) für jeden selbstadjungierten (oder allgemeiner normalen) Operator für jede beschränkte Borel-Funktion definieren können. Dies ist bei vielen Beweisen in der Operatorentheorie praktisch.

Außerdem habe ich gehört, dass der Spektralsatz eine vollständige Beschreibung aller selbstadjungierten Operatoren liefert. Nun, warum ist das so? Ich meine, okay ... es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen selbstadjungierten Operatoren und Spektralmaßen ...

Das ist auch richtig. Spektralmaße sind viel, viel einfachere Objekte als selbstgewählte Operatoren, deshalb. Außerdem kann man mit dem Spektralsatz beweisen, dass jeder selbstadjungierte Operator unitär äquivalent zu einem Multiplikationsoperator ist (multipliziere f(x) mit x). Aus abstrakter Sicht ist dies eine sehr zufriedenstellende Charakterisierung. Für konkrete Berechnungen im QM hilft es aber nicht weiter.

Übrigens: Auf einem fortgeschritteneren Niveau müssen Sie den Spektralsatz verstehen, um zu verstehen, was eine Massenlücke in der Yang-Mills-Theorie ist (Jahrtausendproblem).

Hinweis: In der QFT in der Minkowski-Raumzeit geht man üblicherweise davon aus, dass es eine stetige Darstellung der Poincaré-Gruppe, insbesondere der kommutativen Untergruppe der Translationen, auf dem alle physikalischen Zustände enthaltenden Hilbert-Raum gibt. Die Operatoren, die die Darstellung bilden, haben ein gemeinsames Spektralmaß, dies ist eine Anwendung des SNAG-Theorems. Der Träger dieses Spektralmaßes ist von Null weg begrenzt, das ist die Definition der Massenlücke.

Lieber Constantin, die$A=\int_R \lambda\,dP^A$ist nur eine kontinuierliche Version der spektralen Zerlegung. Hier$dP^A$ist eine differenzielle Version der Projektionsoperatoren, die den hermitischen Operator definieren.

Für ein diskretes Spektrum wäre die entsprechende Gleichung

$$A = \sum_{i} \lambda_i P_{\lambda_{i}}$$ wobei die Summe über die Eigenwerte geht $\lambda_i$und $P_{\lambda_i}$sind die Projektionsoperatoren auf den Unterraum des Hilbertraums, der die Eigenvektoren mit dem Eigenwert enthält $\lambda_i$. In der Tat, $\lambda$soll immer ein möglicher Eigenwert des Operators sein. Und tatsächlich ist ein hermitescher Operator vollständig durch sein Spektrum und die entsprechenden Eigenvektoren (und Multiplizitäten) für jeden Eigenwert bestimmt, weshalb die obige Formel eine äquivalente Möglichkeit ist, einen hermiteschen Operator umzuschreiben.

Wenn das Spektrum von$A$stetig ist, ist die Summation vorbei$i$muss durch ein Integral und das entsprechende Differential ersetzt werden$d$wird davor hinzugefügt$dP_{\lambda}$: Es ist wirklich das Differential des Projektionsoperators auf den Raum der Eigenzustände mit Eigenwerten im Intervall$[-\infty, \lambda]$;$dP_\lambda = dP_\lambda / d\lambda \cdot d\lambda$, wenn Sie wünschen.

Aber es ist wirklich moralisch dasselbe wie im Fall des diskreten Spektrums (das Delta-Funktionen in erzeugt$dP_\lambda / d\lambda$wenn wir diese Terminologie übernehmen). Außerdem sind einige Ihrer zusätzlichen Nachweise enthalten$\Delta$sind nur triviale Substitutionen unter dem Integralzeichen. Man müsste viele Details Ihrer mathematischen Axiome kennen - viel von der besonderen "Mathematikkultur", aus der Sie kommen - um herauszufinden, was genau für einen Mathematiker an den Substitutionen unter dem Integralzeichen schwierig sein könnte. Aus Sicht eines Physikers gibt es keine Schwierigkeiten - es ist Abiturmathematik.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem#Hermitian_matrices

Mathematiker mögen sich die meiste Zeit ihres Berufslebens über die Beschränktheit und Wohldefiniertheit all dieser Dinge Sorgen machen, aber diese Dinge sind vom Standpunkt der Physik aus völlig leer.

Wenn ein Physiker herausfindet, dass er zur Beantwortung einer physikalischen Frage rechnen muss$f(A)$, eine Funktion eines Operators – eine Observable – er muss sie nur berechnen, ob sie hart oder wohldefiniert aussieht oder nicht. Insbesondere wird immer angenommen, dass die Taylor-Entwicklung für Funktionen wie die Exponentialfunktion gilt.

Sie besprechen die Funktion$g(A)$des Betreibers als Beispiel. Die Verfahren, die Sie skizzieren, bedeuten physikalisch, dass man diagonalisiert$A$- was die Projektionsoperatoren auf eine einfache Form bringt (nur eine Zahl$1$auf der Diagonale) - und dann wendet er einfach die Funktion an$g$zu den Eigenwerten. Mit anderen Worten,

$$A = U D U^{-1} \quad \Rightarrow \quad g(A) = U g(D) U^{-1}$$ wo $g(D)$ist einfach eine Diagonalmatrix mit Einträgen $g(D_{ii})$auf der Diagonale. Die obige Formel funktioniert, weil $U^{-1} U$Abbrechen überall in der Mitte, wenn wir schreiben $g(A)$zB als Taylor-Entwicklung - und verallgemeinernd erklären wir die obige Formel einfach für richtig, auch wenn die Taylor-Entwicklung für einen Mathematiker nicht geeignet ist.

Die Taylorentwicklung für die Exponentialfunktion ist aus physikalischer Sicht immer in Ordnung.

All diese Objekte – Hilberträume, Operatoren, ihre Funktionen (insbesondere Exponentiale), Spektren, Eigenwerte – und all diese Operationen – Potenzierung, Suche nach Projektionsoperatoren etc. – sind in der Tat wichtig in der Physik. Und das sagen Mathematiker oft, wenn sie wollen, dass ihre Schüler zuhören. Aber es ist genauso wahr, dass all die Punkte, auf die sich Mathematiker eigentlich den größten Teil ihres Lebens konzentrieren, aus wissenschaftlicher Sicht völlig uninteressant sind.

Deshalb ist die Bemerkung, dass „das Material in der Physik wichtig ist“, moralisch falsch.

Mathematiker sollten nicht versuchen, die Attraktivität ihrer Lehre durch physikalische Anwendungen zu unterstützen - zumal ihr eigentliches Ziel (und das eigentliche Ziel der reinen Mathematik) darin besteht, sie möglichst unabhängig von der Naturwissenschaft zu machen. Man kann nicht beides haben. Physik oder Naturwissenschaften zu betreiben bedeutet, dass man all diese Dinge "beweisen" darf - wie z$g(A)=g(A)$was wirklich der Inhalt des "schwierigen" Beweises ist, den Sie skizziert haben) - viel eleganter und wohl naiver als in Mathematik. Über mangelnde Strenge macht man sich nur Sorgen, wenn man tatsächlich einen Widerspruch zum Experiment oder zu anderen Berechnungen finden kann. Wenn es nicht existiert, ist die Wissenschaft vollkommen in Ordnung.

Andererseits suchen Mathematiker in der Regel auch dann nach Problemen, wenn aus wissenschaftlicher Sicht keine Probleme bestehen. Dies impliziert völlig unterschiedliche Prioritäten, und es ist unwahrscheinlich, dass ein Student von beiden begeistert sein wird. Man zieht es entweder vor, die Wahrheit anhand von Erbsenzählerei zu messen, basierend auf vorgegebenen Sätzen von Axiomen – was der Standpunkt des Mathematikers ist – oder man ist bereit, seine Methoden, Axiome und präzisen Definitionen von Objekten anzupassen (und völlig neue Zweige der Physik zu erfinden oder zu lernen). nach Bedarf, um mit den empirischen Daten und anderen genauen Berechnungen übereinzustimmen - was der Standpunkt des Physikers ist.

Sie sind unterschiedliche Einstellungen, und deshalb denke ich, dass Ihre Frage in einem Mathematikforum hätte gepostet werden sollen, weil sie nicht wirklich der Denkweise eines Physikers folgt und nicht wirklich durch den Wunsch motiviert ist, die Natur zu verstehen.

Aber dann sage ich: Warum machst du die Dinge so kompliziert? Angenommen, Sie möchten rechnen$\exp(A)$. Warum definierst du nicht

$$\exp(A)~:=~1+A+1/2 A^2 + \ldots$$ und erfordern Konvergenz bezüglich der Operatornorm. Ein Beispiel: Betrachten Sie den von den Monomen aufgespannten Vektorraum $1,x,x^2,\ldots$und lass $A=d/dx$. Dann können Sie perfekt definieren

$$\exp(d/dx)~:=~1+ d/dx + 1/2 d^2/dx^2 + \ldots$$

und erfordern Konvergenz bezüglich der Operatornorm.

Die Antwort ist einfach, dass das von Ihnen vorgeschlagene Verfahren nicht funktioniert , es sei denn$A$ist begrenzt . Begrenzte Operatoren stellen einen ganz besonderen Fall in der QM dar, in dem die meisten Operatoren unbegrenzt sind, da der Bereich der Werte der Observablen, die sie darstellen, unbegrenzt ist. Die spektrale Integration ist gerade für diese häufigsten Fälle in der QM sinnvoll (ich sage wesentlich).

Außerdem habe ich gehört, dass der Spektralsatz eine vollständige Beschreibung aller selbstadjungierten Operatoren liefert. Nun, warum ist das so? Ich meine, okay ... es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen selbstadjungierten Operatoren und spektralen Maßen ... aber warum gibt mir das irgendwelche Informationen über "die innere Struktur des Operators"? (Und warum gibt es das$\lambda$im Integral? Sieht irgendwie aus wie ein Eigenwert von$A$? Aber ich vermute nur)

Dies ist eine viel schwierigere Frage, sehr technisch. Eine kurze Antwort ist, dass es der Spektralsatz erlaubt, Ähnliches zu konstruieren$f(A)$wo$f$ist jede messbare komplexwertige Funktion. Beachten Sie jedoch, dass der Spektralsatz allgemeiner für allgemein unbeschränkte normale geschlossene Operatoren gilt.

Der Spektralsatz ist wirklich wichtig bei der Analyse von Operatoren auf einer strengen Ebene.

Neben der Auseinandersetzung mit den grundlegenden unbeschränkten Operatoren (fast jeder physikalisch relevante Hamiltonoperator ist unbeschränkt) hilft es auch bei der Beantwortung von Fragen zum Spektrum der Operatoren.

Zum Beispiel ist es notwendig, den Spektralsatz zu verwenden, um zu beweisen, dass die Summe zweier unbeschränkter, kommutierender, selbstadjungierter Operatoren selbstadjungiert ist und dass ein gemeinsames Spektralmaß mit den richtigen Eigenschaften existiert (z. B. wenn das Spektrum der beiden ist rein diskret finden Sie eine orthonormale Basis von Eigenvektoren beider Operatoren, und diese Idee ist die Basis des vollständigen Satzes von kommutierenden Observablen).

Ein weiteres Beispiel ist die Untersuchung diskreter und essentieller Spektren, die nur mit Hilfe von spektralen Maßen streng definiert werden können. Das diskrete Spektrum ist eng mit der Existenz von gebundenen Zuständen (exponentiell abfallende Eigenfunktionen) verbunden.

Auch in der Störungstheorie und beim Studium der Konvergenz unbeschränkter Operatoren wird es häufig verwendet. Es hat vielleicht nicht viele explizite und direkte Anwendungen, aber es ist ein grundlegender Baustein der Theorie der selbstadjungierten (eigentlich normalen) Operatoren, insbesondere der unbeschränkten, bei denen sich manchmal physikalische Intuition wie die Verwendung von Reihen als falsch erweisen kann (! ) und muss mit äußerster Sorgfalt behandelt werden.

Ich schlage vor, dass Sie sich zur weiteren Erläuterung Kapitel VII (Spektraltheorem) und insbesondere VIII (Unbeschränkte Operatoren) des ersten Buches von Reed und Simon „Methods of Modern Mathematical Physics“ ansehen. Es gibt einen Abschnitt in Kapitel VIII mit dem Titel „Formale Manipulation ist eine heikle Angelegenheit“, der Ihnen vielleicht helfen wird, besser zu verstehen, was ich im obigen Absatz gemeint habe.