Intuitive Bedeutung der Exponentialform eines einheitlichen Operators in der Quantenmechanik

An der Lie-Theorie kommt man nicht vorbei, wenn man verstehen will, was mathematisch vor sich geht . Ich werde versuchen, einige intuitive Bilder für das bereitzustellen, was in den Fußnoten vor sich geht, obwohl ich nicht sicher bin, ob es das ist, wonach Sie suchen.

Auf jedem (der Einfachheit halber endlichdimensionalen) Vektorraum ist die Gruppe der unitären Operatoren die Lie-Gruppe $\mathrm{U}(N)$, die verbunden ist. Lügengruppen sind Mannigfaltigkeiten , dh Dinge, die lokal aussehen$\mathbb{R}^N$, und besitzen als solche Tangentialräume an jedem Punkt, der von den Ableitungen ihrer Koordinaten überspannt wird – oder äquivalent von allen möglichen Richtungen von Pfaden an diesem Punkt. Diese Richtungen bilden, bei$g \in \mathrm{U}(N)$, das$N$-dimensionaler Vektorraum$T_g \mathrm{U}(N)$. ¹

Kanonisch nehmen wir den Tangentialraum an der Identität$\mathbf{1} \in \mathrm{U}(N)$und nennen sie die Lie-Algebra $\mathfrak{g} \cong T_\mathbf{1}\mathrm{U}(N)$. Nun, von Tangentialräumen gibt es etwas, das man die Exponentialkarte zur Mannigfaltigkeit selbst nennt. Es ist eine Tatsache, dass für kompakte Gruppen, wie etwa die Einheitsgruppe, die Abbildung surjektiv auf den Teil ist, der die Identität enthält. ² Es ist eine weitere Tatsache, dass die Einheitsgruppe verbunden ist , was bedeutet, dass sie keine Teile hat, die nicht mit der Identität verbunden sind, also die Exponentialkarte$\mathfrak{u}(N) \to \mathrm{U}(N)$ist surjektiv, und daher ist jeder unitäre Operator das Exponential eines Lie-Algebra-Elements. ³ (Die Exponentialabbildung ist lokal immer surjektiv, daher können wir im Prinzip auch Exponentialformen für andere Operatoren finden)

Das Obige (und die Anmerkungen) beantwortet also Ihre ersten drei Fragen: Wir können seitdem immer einen einheitlichen Operator wie diesen darstellen$\mathrm{U}(N)$kompakt und verbunden ist, bedeutet die Exponentialfunktion eines Operators "in die von diesem Operator angegebene Richtung gehen", und while$\mathcal{U}$liegt in der Lie-Gruppe,$\mathcal{T}$liegt als ihr Generator in der Lie-Algebra. Das sagt man auch$\mathcal{T}$ist der infinitesimale Generator von$\mathcal{U}$, Seit in$\mathrm{e}^{\alpha \mathcal{T}}$, können wir es so sehen, dass es nur die Richtung der Operation angibt, während$\alpha$sagt uns, wie weit das erzeugte Exponential von der Identität entfernt sein wird.

Die physikalische Bedeutung ist im Allgemeinen schwer zu sagen – oft wird es so sein$\mathcal{T}$ist ein Generator einer Symmetrie und der unitäre Operator$\mathcal{U}$ist die endliche Version dieser Symmetrie, zum Beispiel der Hamilton-Operator$H$erzeugt die Zeitübersetzung$U$, die Drehimpulse$L_i$die Drehungen erzeugen$\mathrm{SO}(3)$, und so weiter, und so fort – der Generator ist immer die infinitesimale Version des potenzierten Operators in dem Sinne, dass

$$\mathrm{e}^{\epsilon T} = 1 + \epsilon T + \mathcal{O}(\epsilon^2)$$

so wird der generierte Operator für klein$\epsilon$von der Identität um ziemlich genau verschoben werden$\epsilon T$.

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¹ Denken Sie an den Kreis (der ist$\mathrm{U}(1)$): An jedem Punkt des Kreises können Sie die Tangente an ihn ziehen - was ist$\mathbb{R}$, ein 1D-Vektorraum. Die Länge des Tangentenvektors gibt an, "wie schnell" der Pfad in dieser Richtung durchlaufen wird.

² Denken Sie an die zweidimensionale Sphäre (die leider keine Lie-Gruppe ist, aber beispielhaft für die Exponentialkarte). Nehmen Sie den Tangentenraum an einem Punkt und stellen Sie sich vor, Sie halten tatsächlich ein Blatt Papier neben eine Kugel. Jetzt das Papier um die Kugel "krümeln". Am Ende decken Sie die gesamte Kugel ab, und wenn das Papier groß genug ist (es müsste unendlich sein, um den Tangentenraum darzustellen), können Sie es sogar mehrmals um die Kugel wickeln und so zeigen, dass die Exponentialkarte nicht injektiv sein kann , ist aber leicht als surjektiv zu sehen. Eine genauere Vorstellung von diesem Zerbröckeln wäre, ein Längenmaß auf der Kugel festzulegen und jeden Vektor in der Algebra auf einen Punkt auf der Kugel abzubilden, indem man genau so weit in die durch den Vektor angegebene Richtung geht, wie seine Länge es Ihnen sagt.

³ Dies ist ziemlich einfach zu verstehen – wenn ein Teil der Gruppe völlig von unserer Gruppe getrennt wäre oder wenn unsere Gruppe unendliches Volumen hätte (wenn sie nicht kompakt wäre ), könnten wir nicht hoffen, sie vollständig mit nur einem Blatt abzudecken Papier, egal wie groß.

Nun, die Quantenmechanik ist dafür bekannt, dass sie für Erdbewohner wie uns nicht intuitiv ist, aber die folgenden paar Fakten könnten helfen:

1. Observable in der Quantenmechanik sind hermitesche/selbstadjungierte Operatoren.

2. Das Spektrum ${\rm Spec}(\hat{A}) \subseteq \mathbb{R}$eines hermiteschen/selbstadjungierten Operators$\hat{A}$gehört zur reellen Achse$\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

3. Das Spektrum${\rm Spec}(\hat{U}) \subseteq \{z\in \mathbb{C} \mid |z|=1\}$eines unitären Operators gehört zum Einheitskreis.

4. Die Funktion$z\mapsto e^{iz}$bildet die reelle Achse auf den Einheitskreis ab.

5. Der Satz von Stone stellt grob gesagt eine Korrespondenz her$\hat{U} = e^{i\hat{A}}$zwischen unitären und selbstadjungierten Operatoren.

Hier ist eine Ergänzung zur hervorragenden Antwort von ACuriousMind, die:

• Geht näher auf die Bedeutung von „in die von [einem] Operator vorgegebene Richtung gehen“ ein.
• Verbindet dies mit der bekannteren Operation der Potenzierung einer komplexen Zahl.
• Gibt eine andere Sicht auf die physikalische Bedeutung der Potenzierung.

Entschuldigung, dass es so lang ist! Wenn Sie nicht das ganze Buch lesen möchten, können Sie zum letzten Abschnitt springen, der nicht zu sehr von den vorherigen abhängt.

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Beginnen wir mit der Betrachtung der Lie-Gruppe$U(1)$, die Rotationsgruppe der komplexen Ebene. Geometrisch,$U(1)$sieht aus wie ein Kreis. Tatsächlich ist es natürlich, sich zu identifizieren$U(1)$mit dem Einheitskreis drin$\mathbb{C}$, weil wenn$a$ist eine komplexe Zahl mit$|a| = 1$, die Transformation "multiplizieren mit$a$„ ist eine Drehung um den Ursprung – die Drehung, die sendet$1$zu$a$. Die Identität$\mathbf{1} \in U(1)$entspricht dem Punkt$1$auf dem Einheitskreis, denn "multipliziere mit$1$" ist eine Drehung um null Radianten.

Wie ACuriousMind sagte, kann die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe als der Tangentenraum an der Identität definiert werden – der Raum möglicher Geschwindigkeiten von Pfaden durch die Identität. Wenn Sie darüber nachdenken$U(1)$als Einheitskreis in$\mathbb{C}$, können Sie diesen Tangentenraum sehr deutlich sehen: Es ist die Linie, die den Einheitskreis tangiert$1$, die natürlich mit der "imaginären Linie" identifiziert werden kann$i\mathbb{R}$.

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Nun, hier ist eine coole Tatsache über Lie-Gruppen: Wenn Sie beim Identitätselement eine Geschwindigkeit auswählen, erstreckt sich diese natürlich auf ein überall in der Gruppe definiertes Geschwindigkeitsfeld! Hier ist wie.

Wenn Sie an einer Lügengruppe entlang gehen$G$, und du merkst, dass du einsam wirst, kannst du dir vorstellen, dass du einen Zwilling hast, der einen Weg geht, der genau wie deiner ist, aber von einem Element „übersetzt“.$g$von$G$: wenn du dabei bist$h$, Ihr Zwilling ist bei$gh$. Wann immer du durch die Identität gehst, geht dein Zwilling hindurch$g$, also entspricht Ihre Geschwindigkeit bei der Identität einer Zwillingsgeschwindigkeit bei$g$. Die Verbindung zwischen Ihrer Bewegung und der Bewegung Ihres Zwillings ergibt eine Entsprechung zwischen den Tangentialräumen$T_{\mathbf{1}}G$und$T_gG$.

Wenn Sie immer noch einsam sind, können Sie sich vorstellen, dass Sie für jedes Element einen Zwilling haben$G$, alle gehen mit dir im Gleichschritt. Wenn Sie bei der Identität sind, Ihre$g$Zwilling ist bei$g$, dein$g'$Zwilling ist bei$g'$, und so weiter – Sie haben an jedem Punkt einen Zwilling$G$. Somit entspricht Ihre Geschwindigkeit an der Identität einer Geschwindigkeit an jedem Punkt darin$G$. Durch Ihre Zwillinge wird Ihre Geschwindigkeit bei der Identität zu einem Geschwindigkeitsfeld erweitert, das überall in der Gruppe definiert ist.

Ein Geschwindigkeitsfeld, das von einer Gruppe von Leuten kommt, die so im Gleichschritt gehen, wird als linksinvariantes Vektorfeld bezeichnet . Mit diesem Vokabular können wir die coole Tatsache von früher wiederholen, indem wir sagen, dass ...

In einer Lie-Gruppe ist das Auswählen einer Geschwindigkeit bei der Identität dasselbe wie das Auswählen eines linksinvarianten Vektorfelds.

Sehen wir uns für ein konkretes Beispiel an, wie eine Geschwindigkeit bei der Identität von$U(1)$erstreckt sich auf ein überall definiertes Geschwindigkeitsfeld$U(1)$:

Wie zu erwarten, schalten sich die linksinvarianten Vektorfelder ein$U(1)$sind genau die rotationssymmetrischen Vektorfelder auf dem Einheitskreis.

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Nehmen wir an, Sie haben ein Element$v$der Lie-Algebra$\mathfrak{u}(1)$, die wir gerade gesehen haben, ist dasselbe wie ein linksinvariantes Vektorfeld eingeschaltet zu haben$U(1)$. Wenn Sie bei der Identität stehen$U(1)$, und Sie sind gelangweilt, können Sie sich unterhalten, indem Sie versuchen, so zu gehen, dass Ihre Geschwindigkeit immer mit dem Geschwindigkeitsfeld übereinstimmt$v$. Es stellt sich heraus, dass es immer genau einen Weg gibt, dies zu tun, also wenn Sie es auf Zeit tun$t$, landest du immer an der gleichen Stelle. Dieses Gruppenelement wird aufgerufen$\exp_t v$. Sie können sich vorstellen$\exp_t$als eine Funktion, die Lie-Algebra-Elemente in Lie-Gruppenelemente umwandelt; es heißt die exponentielle Lie-Gruppe . Schreiben eines Elements$a$von$U(1)$in Exponentialform bedeutet, ein linksinvariantes Vektorfeld zu finden$v \in \mathfrak{u}(1)$das bringt dich hin$a$in einer Zeiteinheit, also$a = \exp_1 v$.

Wenn Sie darüber nachdenken$U(1)$als Einheitskreis in$\mathbb{C}$, gibt es eine sehr konkrete Art der Berechnung$\exp_t v$. Das haben wir vorhin gesehen$\mathfrak{u}(1)$kann natürlich identifiziert werden$i\mathbb{R}$, so können wir uns vorstellen$v$als imaginäre Zahl. Sie können diese Zahl in ein Geschwindigkeitsfeld verwandeln, das über die gesamte komplexe Ebene definiert ist, indem Sie den Leuten sagen, dass$z \in \mathbb{C}$mit Geschwindigkeit bewegen$vz$:

Wenn Sie ein ausgefallener Wissenschaftler sind, „erzählen Sie es den Leuten$z$mit Geschwindigkeit bewegen$vz$“ klingt zu würdelos, also schreibst du diesen Satz stattdessen als Differentialgleichung

$$\frac{dz}{dt} = vz.$$

In dieser Gleichung$v$ist eine konstante imaginäre Zahl, und$z$ist eine zeitabhängige komplexe Zahl. Wenn Sie ein bisschen rechnen können, können Sie das überprüfen$z(t) = e^{vt}$erfüllt die Gleichung, mit$z(0) = 1$. Wenn Sie also bei der Identität von beginnen$U(1)$und folge dem Geschwindigkeitsfeld$v$für die Zeit$t$, landen Sie bei$e^{vt}$. Das bedeutet

$$\exp_t v = e^{vt}.$$ Wir haben festgestellt, dass, wenn Sie die Dinge richtig betrachten, die Lie-Gruppe exponentiell ist $U(1)$entspricht der bekannten Exponentialfunktion komplexer Zahlen!

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Wie Ihr Lehrbuch sagt, hat jeder Einheitsoperator eine Exponentialform: mit anderen Worten, jedes Element$g$der Lie-Gruppe$U(n)$kann geschrieben werden als$\exp_1 v$für ein linksinvariantes Vektorfeld$v \in \mathfrak{u}(n)$. Was ist die physikalische Bedeutung davon?

In der Quantenmechanik stellen unitäre Operatoren Symmetrien dar, also ist eine physikalische Konsequenz der obigen Tatsache, dass ...

In der Quantenmechanik kann jede Symmetrie stetig gemacht werden.

Sobald Sie eine Symmetrie als Exponential ausdrücken$\exp_1 v$, Sie sehen, es kommt eingebettet in eine ganze Familie von Symmetrien$\exp_t v$. Wann$t = 1$, erhalten Sie Ihre ursprüngliche Symmetrie zurück, wenn$t = 0$, erhalten Sie die Identität und wann$t \in (0, 1)$man bekommt was dazwischen.

Hier ist ein Beispiel für diese Tatsache in Aktion. Eine der häufigsten Arten von Symmetrie in der Physik – so verbreitet, dass wir sie oft nicht einmal als Symmetrie betrachten – ist die Zeitentwicklung. Nehmen wir an, Sie haben ein physikalisches System, das sich in diskreten Zeitschritten entwickelt. Die Symmetrie, die Sie in der Zeit einen Schritt vorwärts bewegt, wird durch einen einheitlichen Operator dargestellt$U$. Wenn du schreibst$U$in Exponentialform als$\exp_1 v$, können Sie die Zeitentwicklung kontinuierlich machen, indem Sie das deklarieren$\exp_t v$bringt dich voran$t$Zeiteinheiten für jede reelle Zahl$t$.

Natürlich gibt es einen Haken: Es gibt normalerweise viele verschiedene Möglichkeiten, einen bestimmten unitären Operator in Exponentialform zu schreiben. Zum Beispiel der Betreiber$\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$in$U(1)$kann ausgedrückt werden als$\exp_1 i\frac{\pi}{3}$, kann aber auch ausgedrückt werden als$\exp_1 i\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi\right)$. Wenn Sie also eine diskrete Symmetrie in eine kontinuierliche umwandeln möchten, gibt es normalerweise keinen einzigen "richtigen Weg".

Während ich schrieb, wurden zwei gute Antworten gepostet. Da ich nicht alles löschen möchte, lasse ich das hier trotzdem.

Ohne sich auf die Lügentheorie zu berufen, könnte man mit physikalischen Argumenten argumentieren.

Die unitären Operatoren, die Ihr Buch im Sinn hat, hängen von einem stetigen Parameter ab$\alpha$. Sie beschreiben kontinuierliche Transformationen des quantenmechanischen Zustands$\psi$in Betracht gezogen werden, zB eine Translation im Raum, Rotationen, Zeitentwicklung, ..., um nur die prominentesten zu nennen. Das könnte man vernünftigerweise erwarten

• wie$\alpha\rightarrow 0$,$U(\alpha)$wird zur Identität, tut nichts.
• $U(\alpha_1+\alpha_2) = U(\alpha_1)U(\alpha_2)$Es sollte keine Rolle spielen, ob Sie mit übersetzen$\alpha_1+\alpha_2$oder zuerst vorbei$\alpha_2$, dann$\alpha_1$.

Sie können sich überlegen, was passiert, wenn Sie den Trafo in winzige Schritte aufteilen. Sagen$\tfrac{\alpha}{N}$für eine große ganze Zahl$N$. Zur Erstbestellung$\alpha$,$U(\alpha)$sollte sich wie verhalten

$$U(\frac{\alpha}{N}) \approx 1+\frac{\alpha}{N} X$$ mit einem Operator $X$. Das macht man sich zunutze $$U(\alpha) = U\big(\frac{\alpha}{N}\big)^N$$ erhalten $$U(\alpha) = \left(1+ \frac{\alpha}{N}X\right)^N = \exp(\alpha X)$$ Dieser Ansatz macht intuitiv deutlich, dass der Bediener $X$im Exponenten spielt die Rolle eines Generators von infinitesimalen Transformationen.

Das ist relativ handgreiflich und für ein vollständiges Verständnis führt kein Weg an der Lügentheorie vorbei. Sehen Sie sich die Antwort von @ACuriousMind an, obwohl Sie es vielleicht etwas schwer finden, wenn Ihnen die mathematische Ausbildung fehlt (?).