Tensorprodukt von Hilberträumen

Question

Tensorprodukt von Hilberträumen

Prahar

Diese Frage bezieht sich auf eine Definition des Tensorprodukts von Hilbert-Räumen, die ich in Walds Buch über QFT in gekrümmter Raumzeit gefunden habe. Lassen Sie uns zunächst einige Notationen klarstellen.

Lassen $(V,+,*)$ einen Satz bezeichnen $V$ , zusammen mit $+$ Und $*$ wobei die Addition und Multiplikation abbildet $V$ die die Vektorraum-Axiome erfüllen. Wir definieren die komplex konjugierte Multiplikation ${\overline *}:{\mathbb C} \times V \to V$ als

C \bar{*} Ψ = \bar{C} * Ψ, \forall Ψ \in v

$c {\overline *} \Psi = {\overline c} * \Psi,~~\forall~~\Psi \in V$ Der von gebildete Vektorraum

(V, +, \bar{*})

$(V,+,{\overline *})$ heißt komplex konjugierter Vektorraum und wird mit bezeichnet

\bar{V}

${\overline V}$ .

Gegeben seien zwei Hilbert-Räume ${\cal H}_1$ Und ${\cal H}_2$ und eine begrenzte lineare Abbildung $A: {\cal H}_1 \to {\cal H}_2$ , definieren wir den Adjungierten dieser Abbildung $A^\dagger: {\cal H}_2 \to {\cal H}_1$ als

{⟨ Ψ_{2}, A Ψ_{1} ⟩}_{H_{2}} = {⟨ A^{†} Ψ_{2}, Ψ_{1} ⟩}_{H_{1}}

$\left< \Psi_2, A \Psi_1 \right>_{{\cal H}_2} = \left< A^\dagger \Psi_2 , \Psi_1 \right>_{{\cal H}_1}$ Wo

{⟨, ⟩}_{H_{1}}

$\left< ~, ~ \right>_{{\cal H}_1}$ ist das Skalarprodukt wie auf definiert

H_{1}

${\cal H}_1$ (ähnlich für

H_{2}

${\cal H}_2$ ) Und

Ψ_{1} \in H_{1}, Ψ_{2} \in H_{2}

$\Psi_1 \in {\cal H}_1,~\Psi_2 \in {\cal H}_2$ . Dass eine solche Abbildung immer existiert, kann mit dem Riesz-Lemma bewiesen werden.

Hier bedeutet das Wort „begrenzt“ einfach, dass es welche gibt $C \in {\mathbb R}$ so dass

{“ A (Ψ_{1}) “}_{H_{2}} \leq C {“ Ψ_{1} “}_{H_{1}}

$\left\| A(\Psi_1) \right\|_{{\cal H}_2} \leq C \left\| \Psi_1 \right\|_{{\cal H}_1}$ für alle

Ψ_{1} \in H_{1}

$\Psi_1 \in {\cal H}_1$ und wo

{‖ ‖}_{H_{1}}

$\left\| ~~ \right\|_{{\cal H}_1}$ ist die Norm im Sinne von

H_{1}

${\cal H}_1$ (ähnlich für

H_{2}

${\cal H}_2$ )

Großartig! Nun zur Aussage. Hier ist es.

Das Tensorprodukt, ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$ , von zwei Hilbert-Räumen, ${\cal H}_1$ Und ${\cal H}_2$ , kann wie folgt definiert werden. Lassen $V$ bezeichnen die Menge der linearen Abbildungen $A: {\overline {\cal H}}_1 \to {\cal H}_2$ , die endlichen Rang haben, dh so dass der Bereich von $A$ ist ein endlichdimensionaler Unterraum von ${\cal H}_2$ . Der $V$ hat eine natürliche Vektorraumstruktur. Definieren Sie das Skalarprodukt weiter $V$ von
${⟨ A, B ⟩}_{v} = tr (A^{†} B)$ $\left< A, B \right>_V = \text{tr}\left( A^\dagger B \right)$ (Die rechte Seite der obigen Gleichung ist wohldefiniert, da $A^\dagger B: {\overline {\cal H}}_1 \to {\overline {\cal H}}_1$ hat einen endlichen Rang). Wir definieren ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$ um die Hilbert-Raum-Vervollständigung zu sein $V$ . Es folgt dem ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$ besteht aus allen linearen Abbildungen $A: {\overline {\cal H}}_1 \to {\cal H}_2$ die die Hilbert-Schmidt-Bedingung erfüllen $\text{tr}\left( A^\dagger A \right) < \infty$ .

Meine Frage ist

1. Wie passt diese Definition des Tensorprodukts von Hilbert-Räumen zu der Definition, mit der wir vertraut sind, wenn wir uns mit Tensoren in der Allgemeinen Relativitätstheorie befassen?

PS - Ich habe auch ein ähnliches Problem mit Walds Definition einer direkten Summe von Hilbert-Räumen. Ich habe beschlossen, dies in einer separaten Frage zu behandeln. Wenn Sie diese Frage beantworten könnten, sollten Sie sich diese auch ansehen. Es ist hier zu finden . Danke!

Prahar

Ich habe das erste Problem erkannt. Aus der Frage entfernt.

QMechaniker

Zu Tensoren siehe auch physical.stackexchange.com/q/32011/2451 und darin enthaltene Links.

Trimok

Wenn wir nur Vektoren betrachten, werden Sie ein Problem haben, weil ein Hilbert-Raum ein positives bestimmtes inneres Produkt hat, während der Tangentenraum der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit eine Pseudo-Riemaniann-Metrik (Minkowski-ähnliche Metrik) hat.

Antworten (3)

Tensorprodukt von Hilberträumen

Zu Tensoren siehe auch physical.stackexchange.com/q/32011/2451 und darin enthaltene Links.
Wenn wir nur Vektoren betrachten, werden Sie ein Problem haben, weil ein Hilbert-Raum ein positives bestimmtes inneres Produkt hat, während der Tangentenraum der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit eine Pseudo-Riemaniann-Metrik (Minkowski-ähnliche Metrik) hat.

QMechaniker · Answer 1

Gegeben sei eine ( monoidale ) Kategorie ${\cal C}$ , zB die Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume, die Kategorie der Hilbert-Räume usw.

In so einer Kategorie ${\cal C}$ , hat man typischerweise den Isomorphismus

\begin{matrix} (1) & H \otimes K ≅ L (H^{*}, K), \end{matrix}

$\tag{1} {\cal H} \otimes {\cal K} \cong {\cal L}({\cal H}^{*}, {\cal K}),$

Wo ${\cal H}^{*}$ ist ein duales Objekt, und ${\cal L}$ ist der relevante Raum der Morphismen ${\cal H}^{*}\to {\cal K}$ .

Oft geben Lehrbücher nicht die eigentliche Definition eines Tensorprodukts an , die dennoch zumindest teilweise auf Wikipedia erklärt wird, sondern schummeln stattdessen, indem sie den Isomorphismus (1) als Arbeitsdefinition eines Tensorprodukts verwenden ${\cal H} \otimes {\cal K}$ .

@Qmechanics Ich frage mich, was die "tatsächliche Definition" ist, von der Sie sprechen. Ich meine, zumindest in endlicher Dimension, wenn man sich mit reellen Vektorräumen beschäftigt, ist das Tensorprodukt nichts anderes als nur ein Vektorraum $V$ mit einer Operation $\otimes$ die der universellen Eigenschaft gehorcht.

BebopButUnsteady · Answer 2

Ich glaube nicht, dass Wald in seinem GR-Text jemals ein Tensorprodukt für unendlich dimensionalen Raum definiert, also nehme ich an, dass sich Ihre Frage auf den endlich dimensionalen Fall bezieht, in dem wir das Tensorprodukt einfach als Vektorraum über Paare schreiben $u_iv_j$ Wo $u$ Und $v$ sind eine Grundlage. Ich werde die Äquivalenz in diesem Fall zeigen.

Wenn wir zwei endlichdimensionale Hilbert-Räume haben $H_1$ , $H_2$ wir können die orthonormalen Basen nehmen $u_i\in H_1$ , $v_j\in H_2$ . Da alles endlichdimensional ist, hat alles endlichen Rang, also ist der Vektorraum nur der Raum linearer Abbildungen $H_1$ Zu $H_2$ . Nehmen Sie eine lineare Karte $A$ und definieren $a_{ij}= \langle A(u_i),v_j\rangle = \langle u_i,A^{\dagger}(v_j)\rangle$ . Unter Verwendung der Orthonormalität der Basen bedeutet das $a_{ij}$ ist einfach die Matrixdarstellung von $A$ , und der Vektorraum ist einfach der entsprechende Vektorraum von Matrizen. Dann können wir interpretieren $Tr(A^\dagger B)$ wie die übliche Matrix-Spur, die gibt $\sum_{ij} a_{ij}^*b_{ij}$ .

Dies entspricht der üblichen Schreibweise, bei der wir Tensorprodukte als Elemente schreiben $\sum_{ij}a_{ij}u_i\otimes v_j$ . Wiederum ist der Vektorraum die Matrizen geeigneter Größe. Das Skalarprodukt ist definiert als $\langle a\otimes b, c\otimes d\rangle = \langle a,b\rangle\cdot\langle c,d\rangle$ . Dies ergibt das gleiche Ergebnis wie oben nach dem Einstecken der Basis.

Dies ist nicht aus seinem GR-Text. Dies ist aus seinem Text über QFT in gekrümmten Raumzeiten.
@ Prahar: Ja, ich weiß. Es ist nur so, dass Sie sagten, Sie wollten sehen, dass die Definition der "üblichen" in GR entspricht, aber Sie haben nicht angegeben, was die übliche ist. Ich nehme also an, Sie meinten die übliche endlichdimensionale Notation, wie in seinem GR-Buch

Naima · Answer 3

Wald definiert das Tensorprodukt von Hilberträumen, die nicht endlichdimensional sein müssen. Ansonsten $V$ wäre automatisch eine Menge von Karten mit endlicher Reichweite. $V'$ ist der Abschluss von $V$ dh seine Elemente sind Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen. Die Spurnorm wird also erweitert auf $V'$ .

H_{1} \otimes H_{2}

${H_1} \otimes {H_2}$ wird als diese Vollendung definiert.

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