Ich habe subtile Zweifel an der physikalischen Interpretation der mathematischen Definition des Vektorfelds als Ableitung. In der Grundlagenphysik verstehen wir unter einer Vektorgröße eine Größe, die mehr als eine Größe benötigt, um vollständig angegeben zu werden, also Größen mit dem Begriff der Richtung. Dies passt sehr gut zu der ebenfalls grundlegenden mathematischen Definition, dass ein Vektor eine Äquivalenzklasse orientierter Liniensegmente ist.
Wenn wir uns jedoch der Untersuchung von Mannigfaltigkeiten zuwenden, sehen wir, dass eine bessere Definition des Vektors darin besteht, zu sagen, dass ein Vektor an einem Punkt eine Ableitung der Algebra glatter Funktionen an diesem Punkt ist. Aber dann stellen wir Kräfte zum Beispiel mit Vektoren dar, was ist die Interpretation der Darstellung einer Kraft, die auf einen Punkt wirkt, durch eine Ableitung der glatten Funktionen an dem Punkt? Ich stelle mir vor, dass es dafür eine Interpretation geben muss, aber ich habe nicht gefunden, was es ist.
Entschuldigung, wenn diese Frage dumm erscheint. Ich versuche nur, diese Konzepte zusammenzubringen. Und danke euch allen im Voraus.
Die Definition eines Vektors als Ableitung ist eigentlich nur auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit notwendig. Wenn die Mannigfaltigkeit flach ist – und insbesondere, wenn es sich um einen Vektorraum handelt, wie in der Newtonschen Mechanik – dann ist ihr Tangentenraum kanonisch äquivalent zu diesem Vektorraum, und die Rede von Ableitungen ist einfach ein ausgefallenes Gerede für einfache Objekte.
In dieser Einstellung würde ich dem entgegenhalten, dass die eigentliche Antwort auf "Was ist ein Vektor?" liefert die lineare Algebra. "Wen interessiert es, was ein Vektor ist?", sagen sie: Wichtig ist, wie er sich verhält. Ein Vektor ist also etwas, das den Vektorraumaxiomen gehorcht. (Und physischer bitten wir auch darum, dass sie sich entsprechend der richtigen Darstellung von transformieren unter Rotationen.) Da Kräfte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, elektrische Felder usw. diesen Axiomen gehorchen, nennen wir sie Vektoren.
Auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit ist es jedoch definitiv wichtig, von Ableitungen zu sprechen, was in der Allgemeinen Relativitätstheorie und eng verwandten Bereichen der Fall ist. Vektorobjekte spielen dort eine zentrale Rolle, aber ich denke, die Norm ist, sie nur angemessen zu behandeln und nicht wirklich darüber zu sprechen, was sie sind. (Das ist nicht wirklich nötig! Auch hier ist es viel wichtiger, wie sich mathematische Objekte verhalten, als wie sie definiert sind.)
Wie jede gute Mathematik haben sie jedoch definitiv solide physikalische Interpretationen. Die Geschwindigkeit ist offensichtlich eine Ableitung: ist die Änderungsrate von entlang der Weltlinie mit Geschwindigkeit , in Bezug auf die Eigenzeit des Teilchens. Kraft, nach der Sie fragen, ist eigentlich ein Covektor, die Ableitung der potentiellen Energie : Dies geht klassisch aus der Formel hervor , oder aus dem Differential
Gold
Emilio Pisanty
Emilio Pisanty