Länge einer Kurve im D-dimensionalen euklidischen Raum

Question

Länge einer Kurve im D-dimensionalen euklidischen Raum

yaju

In einem Buch, das ich über spezielle Relativitätstheorie lese, wird das unendlich kleine Linienelement definiert als $dl^2=\delta_{ij}dx^idx^j$ (Einstein-Summenkonvention) wobei $\delta_{ij}$ ist die euklidische Metrik. Als nächstes, wenn wir eine Kurve C zwischen zwei Punkten haben $P_1$ Und $P_2$ in diesem Raum wird dann die Länge der Kurve angegeben als $\Delta L = \int_{P_1}^{P_2}dl$

Ich habe Probleme, die nächste Aussage abzuleiten, die ich zitiere:

Eine Kurve im D-dimensionalen euklidischen Raum kann als Unterraum des D-dimensionalen Raums beschrieben werden, in dem die D-Koordinaten liegen $x^i$ sind durch einwertige Funktionen einiger Parameter gegeben $t$ , wobei in diesem Fall die Länge der Kurve ab $P_1=x(t_1)$ Zu $P_2=x(t_2)$ kann geschrieben werden
$Δ L = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \sqrt{δ_{ich J} {\dot{X}}^{ich} {\dot{X}}^{J}} D T Wo {\dot{X}}^{ich} \equiv \frac{D X^{ich}}{D T}$ $\Delta L = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\delta_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j} dt \qquad \mbox{where}\; \dot{x}^i\equiv \frac{dx^i}{dt}$

Fabian

Versuchen Sie, das zu verwenden

d x^{i} = {\dot{x}}^{i} d t

$dx^i = \dot x^i dt$ ...

yaju

@Fabian, also ist es eine allgemeine Aussage, dass die D-Koordinaten durch eine einwertige Funktion parametrisiert werden können

f : R^{D} \to R

$f:\mathbb{R}^D\rightarrow \mathbb{R}$ ist diese Parametrierung eindeutig?

David z

@yayu: Eine (eindimensionale) Kurve in einem beliebigen D-dimensionalen Raum kann durch eine einwertige Funktion parametrisiert werden

f : R^{D} \to R

$f:\mathbb{R}^D\to\mathbb{R}$ . Die Parametrierung ist nicht eindeutig; es kann neu skaliert oder "übersetzt" oder einer Eins-zu-eins-Funktion unterzogen werden

g : R \to R

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ und führt zu einer neuen Parametrierung.

MBN

Ich denke, Einstein sollte Einstein geschrieben werden, auch wenn es in der "Einstein-Summenkonvention" verwendet wird.

yaju

@MBN für kleine Tippfehler usw. Dieser Server erlaubt es jedem, Beiträge zu bearbeiten :)

MBN

@yayu: Für mich ist das kein kleiner Tippfehler :)), aber Punkt genommen, ich wusste nicht, dass ich Beiträge für kleine Tippfehler bearbeiten könnte.

Fabian

@yaju:

Δ L

$\Delta L$ ist unter Umparametrierung invariant

t^{'} = f (t)

$t'=f(t)$ wie Sie leicht überprüfen können (das ist tatsächlich der Grund, warum Sie es schreiben können als

\int d ℓ

$\int d\ell$ ohne Bezug auf eine Parametrierung). Allerdings, um die Länge zu berechnen

Δ L

$\Delta L$ Es ist ratsam, eine (willkürliche) Parametrisierung einzuführen. Wenn Sie an eindeutigen Parametrisierungen interessiert sind: Es gibt auch eine eindeutige Parametrisierung in Bezug auf die Bogenlänge, die ein nettes Feature hat.

yaju

@Fabian könntest du das als Antwort posten?

Fabian

@yayu: natürlich gerne. (mit etwas Verspätung)

Antworten (3)

Länge einer Kurve im D-dimensionalen euklidischen Raum

@Fabian, also ist es eine allgemeine Aussage, dass die D-Koordinaten durch eine einwertige Funktion parametrisiert werden können $f:\mathbb{R}^D\rightarrow \mathbb{R}$ ist diese Parametrierung eindeutig?
@yayu: Eine (eindimensionale) Kurve in einem beliebigen D-dimensionalen Raum kann durch eine einwertige Funktion parametrisiert werden $f:\mathbb{R}^D\to\mathbb{R}$ . Die Parametrierung ist nicht eindeutig; es kann neu skaliert oder "übersetzt" oder einer Eins-zu-eins-Funktion unterzogen werden $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ und führt zu einer neuen Parametrierung.
Ich denke, Einstein sollte Einstein geschrieben werden, auch wenn es in der "Einstein-Summenkonvention" verwendet wird.
@MBN für kleine Tippfehler usw. Dieser Server erlaubt es jedem, Beiträge zu bearbeiten :)
@yayu: Für mich ist das kein kleiner Tippfehler :)), aber Punkt genommen, ich wusste nicht, dass ich Beiträge für kleine Tippfehler bearbeiten könnte.
@yaju: $\Delta L$ ist unter Umparametrierung invariant $t'=f(t)$ wie Sie leicht überprüfen können (das ist tatsächlich der Grund, warum Sie es schreiben können als $\int d\ell$ ohne Bezug auf eine Parametrierung). Allerdings, um die Länge zu berechnen $\Delta L$ Es ist ratsam, eine (willkürliche) Parametrisierung einzuführen. Wenn Sie an eindeutigen Parametrisierungen interessiert sind: Es gibt auch eine eindeutige Parametrisierung in Bezug auf die Bogenlänge, die ein nettes Feature hat.

Fabian · Answer 1

Sie können die richtigen Ergebnisse ableiten, wenn Sie die Schlüsseleigenschaft von Differentialen verwenden

D X_{ich} = {\dot{X}}_{ich} D T .

$dx_i=\dot{x}_i dt.$ Beachten Sie, dass

Δ L

$\Delta L$ ist unter Umparametrierung invariant

t^{'} = f (t)

$t'=f(t)$ wie Sie leicht überprüfen können (das ist tatsächlich der Grund, warum Sie es schreiben können als

\int d ℓ

$\int d\ell$ ohne Bezug auf eine Parametrierung). Allerdings, um die Länge zu berechnen

Δ L

$\Delta L$ Es ist ratsam, eine (willkürliche) Parametrisierung einzuführen. Wenn Sie an eindeutigen Parametrisierungen interessiert sind: Es gibt auch eine eindeutige Parametrisierung in Bezug auf die Bogenlänge, die ein nettes Feature hat.

Markus Eichenlaub · Answer 2

Ich denke, Sie sollten das als Definition des Wortes "Länge" nehmen. Ich würde gar nicht versuchen, es abzuleiten.

Es bedeutet im Grunde, dass Sie, wenn Sie beispielsweise die Länge des Einheitskreises im ersten Quadranten wissen möchten, festlegen

X^{1} = \cos T

$x^1 = \cos t$

X^{2} = Sünde T

$x^2 = \sin t$

{\dot{X}}^{1} = - Sünde T

$\dot{x}^1 = -\sin t$

{\dot{X}}^{2} = \cos T

$\dot{x}^2 = \cos t$

und TU

\int_{0}^{π / 2} \sqrt{(- Sünde T)^{2} + (\cos T)^{2}} D T = π / 2

$\int_0^{\pi/2} \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2}dt = \pi/2$

Die 2D-Parametrisierung einer Kreiskurve war auch mein erster Gedanke. Aber das zeigt nur, dass es funktioniert. Nicht viel mehr
@yayu Wie gesagt, das ist die Definition von Länge. Was meinst du mit "zeigen, dass es funktioniert"?
Nein ist es nicht. Für den lokal flachen Raum wird eine Metrik definiert. Für eine eindimensionale glatte Kurve erhalten wir das Linienelement. Unter der Annahme, dass ein einzelner Parameter die Kurve definieren kann, ist meine Frage, die Länge aus dieser Parametrisierung zu erhalten. Mit "zeigen, dass es funktioniert" meinte ich, dass Sie für ein Kreissegment angesteckt und getuckert haben $D=2$ und verifizierte es mit vertrautem Wissen, dass ein Quadrant ein Viertel des Umfangs ist.

David z · Answer 3

Also, $\mathrm{d}l$ stellt eine infinitesimale Länge entlang der Kurve dar. $\mathrm{d}t$ stellt auch eine infinitesimale Länge entlang der Kurve dar, obwohl die Parametrisierungen $t$ Und $l$ unterschiedlich sind, werden die beiden infinitesimalen Längen nicht gleich sein. Sie können die Identität schreiben $\mathrm{d}l = \frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$ und Ersatz in der Definition von $\mathrm{d}l$ :

\frac{D l}{D T} D T = \frac{\sqrt{δ_{ich J} D X^{ich} D X^{J}}}{D T} D T

$\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\delta_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$

Nun, da $\mathrm{d}x^{i(j)}$ Und $\mathrm{d}t$ positive Längen sind, können Sie eine kleine algebraische Manipulation vornehmen:

\frac{D l}{D T} D T = \sqrt{\frac{δ_{ich J} D X^{ich} D X^{J}}{D T^{2}}} D T = \sqrt{δ_{ich J} {\dot{X}}^{ich} {\dot{X}}^{J}} D T

$\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \sqrt{\frac{\delta_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t^2}}\mathrm{d}t = \sqrt{\delta_{ij}\dot x^i\dot x^j}\mathrm{d}t$

Das ist nicht 100 % mathematisch streng, aber in der Physik denken wir an Ableitungen und Differentiale als die Grenze von endlichen Längen und Verhältnissen, also macht es zumindest physikalisch Sinn. Und solange Ihre Parametrisierung nicht singulär ist, sollte die Mathematik halten. (Wenn Sie eine singuläre Parametrisierung haben, dann glaube ich, dass das Ergebnis, nach dem Sie fragen, immer noch gilt, obwohl Sie auf genauere Mathematik zurückgreifen müssen, um es zu beweisen.)

Das ist wahr, aber ich habe in der Vergangenheit ein schwerwiegend falsches Ergebnis abgeleitet, indem ich Derivate als Brüche behandelte. Ich werde darüber nachdenken, danke für die Antwort.
@yayu: Ja, das passiert manchmal, weshalb ich diesen letzten Absatz über singuläre Parametrisierungen hinzugefügt habe. Im Grunde funktioniert das, solange Sie denken können $\mathrm{d}l$ Und $\mathrm{d}t$ als positive Längen und nehmen die Grenze, wenn sie gegen Null gehen.
@yayu: Sie leiten niemals falsche Ergebnisse ab, wenn Sie die Schlüsseleigenschaft von Differentialen ( en.wikipedia.org/wiki/Differential_%28infinitesimal%29 ) verwenden, anstatt Ableitungen von Brüchen zu behandeln (wie ich in meinem Kommentar zu Ihrer Frage angegeben habe). Tatsächlich heißt das Thema Differentialgeometrie genau deshalb, weil man darüber nachdenken sollte $dx$ als Differential (und nicht als Grenze $\Delta x$ auf 0 gehen).

Länge einer Kurve im D-dimensionalen euklidischen Raum

yaju

Fabian

yaju

David z

MBN

yaju

MBN

Fabian

yaju

Fabian

Antworten (3)

Fabian

Markus Eichenlaub

yayu

Markus Eichenlaub

yayu

David z

yayu

David z

Fabian

Intuition über Momentum Maps

Wie ein Physiker Eichfelder wahrnimmt

Werden Identitätstypen in einer Unendlich-Topos-Formulierung von Bewegungsgleichungen physikalisch interpretiert?

Wirkung des konjugierten Impulses auf TMTMTM und explizite Form

Christoffel-Symbole und Dirac-Matrizen mathematische Ähnlichkeiten?

Elektromagnetismus für Mathematiker

Ursprung des Integrals des Feldstärketensors in der pfadgeordneten Exponentialfunktion in der Eichfeldtheorie

Untermannigfaltigkeiten konstanter Verschränkungsentropie

Momentum ist ein Kotangensvektor?

Vollständiger Satz von Observablen in der klassischen Mechanik