Vollständiger Satz von Observablen in der klassischen Mechanik

Blau nannte sie eine „vollständige Menge“ in Analogie zum quantenmechanischen Bild, wo ein beobachtbares Pendeln (im klassischen Fall Poission-Pendeln) mit einem vollständigen Satz pendelnder Observablen proportional zur Einheit ist, dh eine „Konstante“. Dies wird als (erstes) Lemma von Schur bezeichnet.

I) Hier ist meine Interpretation der Frage von OP (v1). Das erwähnte Zitat stammt von S. 11 in Abschnitt 2.2 direkt unter Gl. (2.22).

Abschnitt 2.2 widmet sich dem Fall, dass der Phasenraum a ist$2n$dimensionaler reeller Vektorraum $V$mit$2n$globale Koordinaten

und kanonische Poisson-Klammer, vgl. Gl. (2.22). Dies ist ein Spezialfall einer allgemeinen symplektischen Mannigfaltigkeit.

Ein beobachtbares $f$ist per Definition eine glatte Funktion auf$V$, dh,$f\in C^{\infty}(V)$. Oder in einfachen Worten,$f$ist eine glatte Funktion von$x^1, \ldots, x^{2n}$. Andererseits ist die$2n$Koordinaten$x^1, \ldots, x^{2n},$bilden einen vollständigen Satz von Generatoren für die Algebra$(C^{\infty}(V),+,\cdot)$.

Nehmen wir an, die Funktion$f$Poisson pendelt (hat verschwindende Poisson-Klammern) mit allen$2n$Variablen,

Aus der Definition (2.21) der kanonischen Poisson-Klammer folgern wir das$f$hat verschwindende Ableitungen bzgl. alle Positionen und Impulse.

Somit$f$ist nur eine konstante Funktion.

II) Andererseits stellen wir uns vor, wir hätten$2n$Differentialfunktionen$g^1, \ldots, g^{2n},$so dass

OP fragt im Wesentlichen in einem Kommentar:

Tun$g^1, \ldots, g^{2n},$lokal ein Koordinatensystem bilden? Mit dem Wort lokal meinen wir: Gegeben ein Fixpunkt$x_{(0)}\in V$, gibt es eine ausreichend kleine Nachbarschaft von$x_{(0)}$, so dass$g^1, \ldots, g^{2n},$könnten dort als Koordinatenfunktionen dienen?

Antwort: Im Allgemeinen ist die Antwort nein, aber wenn wir zB zusätzlich davon ausgehen, dass die Jacobi-Matrix

ist im Fixpunkt invertierbar$x_{(0)}$, dann lautet die Antwort Ja nach dem Umkehrfunktionssatz .

Gegenbeispiel: Let$n=1$, also der Phasenraum$V$Ist$2$-dimensional mit Koordinaten$(x^1,x^2)=(q,p)$. Sei der Fixpunkt$x_{(0)}=(0,0)$. Lassen$g^1(q,p)=q^2$Und$g^2(q,p)=p$. Die Karte$x\mapsto$ $g(x)$ist nicht invertierbar$x_{(0)}=(0,0)$, so dass$g^1$Und$g^2$können nicht als Koordinatenfunktionen dienen. Andererseits offenbar nur eine konstante Funktion$f$hätte (identisch) verschwindende Poisson-Klammern mit$g^1$Und$g^2$.

Beliebig beobachtbar$H$definiert in der klassischen Mechanik einen Fluss von Zuständen, indem er ihn als Hamiltonoperator betrachtet. Dieser Fluss wirkt auf Observables$f$von$df/dt = \{H,f\}$(Dies ist die Hamilton-Gleichung). Die Idee einer vollständigen Menge von Observablen ist, dass es eine Menge ist, für die jede Observable mit konstantem Fluss für alle Mitglieder der Menge (dh Poisson-Pendelverkehr mit der Menge) konstant ist. Intuitiv bewegen sich diese Strömungen über den gesamten Phasenraum, also wenn$f$ist nicht konstant, der Fluss von$f$entlang einer der Observablen im vollständigen Satz kann dies erkennen.

Diese Funktionen müssen keine Koordinaten bilden.

BEARBEITEN: Um das Gegenbeispiel von QMechanic zu ergänzen, ist hier ein kompaktes Gegenbeispiel: Betrachten Sie die 2-Sphäre mit ihrer gewöhnlichen symplektischen Form und den Funktionen$\mathrm{cos} 2\theta$,$\mathrm{sin}\phi$, Und$cos \phi$, Wo$\theta$ist der Polarwinkel, und$\phi$ist der Azimutwinkel. Diese sind über den Äquator hinweg symmetrisch, also unterscheiden sie keine Punkte, aber es ist ziemlich klar, dass sie ein vollständiger Satz sind.

Blaus Definition ist ein klassisches Analogon des Lemmas von Schur. Der Grund für diese Definition ist die Anforderung, dass unter einer getreuen Quantisierungsabbildung, die Funktionen im Phasenraum zu Operatoren in einem gewissen Hilbert-Raum überträgt, die Darstellung der Algebra der Quantenobservablen irreduzibel ist. Die Anforderung der Irreduzibilität hat einen physikalischen Ursprung, da irreduzible Darstellungen "einzelnen" Quantensystemen entsprechen und wenn eine Darstellung reduzierbar ist, dann kann sie auf unabhängige Subsysteme reduziert werden. Aufgrund des Satzes von Groenwold-Van Hove existiert natürlich im Allgemeinen keine solche Quantisierungsabbildung. Normalerweise geben wir die Treue zugunsten der Irreduzibilität auf.