Klassische Mechanik ohne Koordinatenbuch

1.

Ich bin verliebt in Feckos Differentialgeometrie und Lügengruppen für Physiker . Obwohl es nicht nur um Mechanik geht (sondern um mehr oder weniger die gesamte rudimentäre moderne theoretische Physik), diskutiert es sowohl den Lagrange- als auch den Hamilton-Formalismus. Es bietet auch unzählige Übungen (mit netten Hinweisen), damit Sie wirklich ein Gefühl für die Materie bekommen.

2.

Ich kann mir keine großen Nachteile vorstellen. Wenn das Problem keine Symmetrie hat, bleibt Ihnen natürlich manchmal keine andere Wahl, als zu einigen Koordinaten zurückzukehren und es numerisch zu lösen. Aber das ist wahrscheinlich kein Problem für Sie, weil Sie vermutlich zunächst körperliche Probleme mit einer gewissen Struktur verstehen möchten.

3.

Es gibt unzählige Vorteile. Um nur einige davon aufzuzählen.

1. Beziehung zu Symmetrien und Erhaltungsgrößen wird offensichtlich. Noethers Theorem im Hamiltonschen Formalismus ist eine so verblüffend einfache Aussage (Hamiltonian ist für Symmetriefluss konstant, wenn und nur wenn der Generator der Symmetrie für Hamiltonschen Fluss konstant ist), dass man sich fragen muss, wo all die langatmigen Koordinatenberechnungen geblieben sind.

2. Nicht nur die Berechnungen sind kurz, man gewinnt auch wertvolle geometrische Erkenntnisse zB über die Strömung der Anordnung auf dem Verteiler.

3. Es ist ein schöner Formalismus.

4. Ich weiß nicht, wie es anderen geht, aber immer wenn ich Koordinaten berechnen muss, werde ich nervös. Ich kann die Ergebnisse berechnen, aber nach ein paar Seiten, wenn sich die meisten Mengen auf mysteriöse Weise aufheben, wissen Sie nicht wirklich, warum das, was Sie abgeleitet haben, wahr ist. Dann gehen Sie zurück zur Geometrie und siehe da, die Ableitung ist nur ein paar Zeilen und offensichtlich. Natürlich übertreibe ich jetzt, aber so fühle ich mich.

5. Es ist die Grundlage für die gesamte moderne Physik. Wenn die oben genannten vier Punkte auf die klassische Mechanik zutrafen, trifft dies noch mehr zu, wenn es um Dinge wie Eichtheorien geht (und hier kommt die volle Schönheit und Kraft der Mathematik zum Vorschein).

Ein klassisches Buch in dieser Richtung ist

Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik . VI Arnold. Graduiertentexte in Mathematik vol. 60, Springer, New York, 2000. Erhältlich zB hier .

Dieses Buch ist mathematisch sehr formal und sehr klar; Ich habe es geliebt, als ich analytische Mechanik genommen habe, weil es die Schmutzflecken der Physiker der Strenge vermeidet und eine klare, kohärente Struktur präsentiert. Er beginnt nicht mit einem überlieferten Großen Prinzip (wie in, das sind Hamiltons Gleichungen in symplektischer Form und mal sehen, wie man daraus experimentelle Mechanik konstruieren kann), aber er formuliert die grundlegende Theorie sehr sauber und von dort aus bewegt er sich höher in der Abstraktion.

Die Geschichte ist nicht sehr lang. Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit$X$mit einer nicht entarteten, geschlossenen Zweierform,$\omega$. Angesichts dessen aus einer Funktion$h$("Hamiltonsch") können wir ein Vektorfeld konstruieren$v$durch$\omega(v,-) = dh$.

Fließ vorbei$v$definiert die klassischen Trajektorien. (Beachten Sie, dass wir keine Metrik für verwendet haben$X$, dh$v$ist NICHT der Gradient von$h$.) In der Tat,$h$bleibt in der Strömung konstant (konserviert), da$v(h) = \omega(v,v) = 0.$Beachten Sie auch${\mathcal L}_v \omega = 0$, Bedeutung$\omega$in der Strömung konserviert – insbesondere auch die Liouville-Phase$\omega^{\wedge n}$.

Nehmen Sie zum Beispiel$X$der Kotangensraum sein$T^*({\mathbb R}^n)$mit Koordinaten$x$(Position) und$y$(Schwung), mit$\omega = {\rm d}x \wedge {\rm d}y$. Nehmen$h = y^2/2 + V(x)$, dh KE + PE. Dann$v = y {\partial \over \partial x} - V' {\partial \over \partial y}$, so lauten die Strömungsgleichungen$\dot{x} = y$,$\dot{y} = -V'$, oder$\ddot{x} = -V'$, Newtonsches Gesetz.

Zu Antwort 3: Es hängt wirklich davon ab, warum Sie dieses Material lernen möchten. Für mich ist die moderne Sichtweise wichtig, weil sie sehr elegant und verallgemeinerbar ist (man kann klassische Mechanik auf jeder Poisson-Mannigfaltigkeit „machen“). Es führt auch zu sehr interessanter Mathematik. Beispielsweise ist die Evolution einer Observablen gegeben durch$f' = \{H,f\}$wo$H$ist die Hamilton-Funktion und$\{,\}$ist die Poisson-Klammer. Im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist eine Observable (dargestellt durch einen Operator$A$) entwickelt sich entsprechend$A' = [H,A]$wo$H$ist der quantenmechanische Hamiltonoperator und$[,]$ist die Lie-Klammer (Kommutator). Diese Ähnlichkeit hat zu Dingen wie Deformationstheorie und Quantisierung geführt.

Ich empfehle ein aktuelles Buch von Leon Takhtajan, „Quantenmechanik für Mathematiker“. Es beginnt mit einer an Mathematiker gerichteten Einführung in die klassische Mechanik und erläutert unter anderem den koordinatenfreien Ansatz.

Ich denke, dass Geometric Algebra zu Classical Mech ohne Coords und mehr passt.
Es gibt viele kostenlose Ressourcen im Netz.

Der Ansatz ist rechnerisch einfach.

aus dem Hestenes -Buch New Foundations for Classical Mechanics
zitierend:

...Einführung in die geometrische Algebra als einheitliche Sprache für Physik und Mathematik... führt neue, koordinatenfreie Methoden zur Rotationsdynamik und Orbitalmechanik ein und entwickelt diese Themen weit über das Niveau anderer Lehrbücher hinaus. Diese Methoden wurden in den letzten Jahren in großem Umfang in der Biomechanik und Robotik, in Computervision und geometrischem Design, in der Orbitalmechanik in staatlichen und industriellen Raumfahrtprogrammen sowie in anderen Bereichen der Physik angewendet. Das Buch wendet sie auf die großen Störungen im Sonnensystem an, ...

oder Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics von Chris JL Doran (Chris Thesis) kostenloser Download
....
oder Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics (GA) kostenloser Download

... Dies hat eine umfassende Sprache namens Geometrische Algebra hervorgebracht , die ich mit Betonung darauf einführe, wie sie klassische und Quantenphysik vereinfacht und integriert.
... Nach der Erläuterung der äußersten Einfachheit der GA-Grammatik ... einzigartige Merkmale der mathematischen Sprache: (1) GA integriert nahtlos die Eigenschaften von Vektoren und komplexen Zahlen, um eine vollständig koordinatenfreie Behandlung der 2D-Physik zu ermöglichen.
(2) GA artikuliert nahtlos mit Standardvektoralgebra, um einen einfachen Kontakt mit Standardliteratur und mathematischen Methoden zu ermöglichen.
(3) GA Reduziert „grad, div, curl und all das“ auf eine einzige Vektorableitungdie unter anderem den Standardsatz von vier Maxwell-Gleichungen zu einer einzigen Gleichung kombiniert und neue Methoden zu ihrer Lösung bereitstellt.
(4) Die GA-Formulierung von Spinoren erleichtert die Behandlung von Rotationen und Rotationsdynamiken sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik ohne Koordinaten oder Matrizen .
(5) GA liefert neue Einblicke in die geometrische Struktur der Quantenmechanik mit Implikationen für ihre physikalische Interpretation.
All dies lässt sich nahtlos zu einer vollständig koordinatenfreien Sprache für die Raumzeitphysik und die allgemeine Relativitätstheorie verallgemeinern, die in nachfolgenden Artikeln eingeführt werden soll.

Das Buch Marsden and Ratiu, Introduction to mechanics and symmetry präsentiert die klassische Mechanik aus der Sicht der modernen Differentialgeometrie.

Obwohl es nichts für Anfänger ist, ist es einzigartig, indem es einen Standpunkt präsentiert, in dem alle klassischen konservativen Systeme (einschließlich der Feldtheorie) in einem Hamiltonschen Rahmen dargestellt werden.

Diese Antwort enthält einige zusätzliche Ressourcen, die nützlich sein können. Bitte beachten Sie, dass von Antworten, die lediglich Ressourcen auflisten, aber keine Details enthalten, aufgrund der Richtlinien der Website zu Fragen zu Ressourcenempfehlungen dringend abgeraten wird . Diese Antwort wird hier hinterlassen, um zusätzliche Links zu enthalten, die noch keinen Kommentar haben.

• WM Oliva. Geometrische Mechanik (Lecture Notes in Mathematics, Bd. 1798. Springer, Berlin, 2002).

• J. José und EJ Saletan. Klassische Dynamik: ein zeitgenössischer Ansatz (Cambridge University Press, Cambridge, 1998). Dies erfolgt über einen Ansatz, der auf Tangentialbündeln basiert.