Äquivalente Definitionen von Vektoren

Äquivalente Definitionen von Vektoren .

In der Mathematik ist ein Vektor ein Objekt, das einigen Axiomen eines Vektorraums gehorcht. Aber in der Physik kann man sich einen Vektor als ein Objekt vorstellen, das unter Drehungen der Koordinaten des Systems unveränderlich ist.

Gibt es eine Möglichkeit, diese Äquivalenz zu beweisen?

Aber in der Physik kann man sich einen Vektor als ein Objekt vorstellen, das unter Drehungen der Koordinaten des Systems unveränderlich ist. Ich würde einen Skalar als ein Objekt betrachten , das unter Drehungen unveränderlich ist. Ein Vektor transformiert sich unter Drehungen, z. B. kehrt er bei einer 180-Grad-Drehung seine Richtung um. Gibt es eine Möglichkeit, diese Äquivalenz zu beweisen? Sie sind nicht gleichwertig. Die mathematische Definition umfasst alle Arten von Objekten, die nichts mit Raum oder Drehungen zu tun haben. Sie könnten zB einen Vektor haben, dessen 19 Komponenten die Produktion von 19 Fabriken repräsentieren.
@ Ben das wäre wahrscheinlich eine gute Antwort.
@BenCrowell Ich denke, "invariant unter Koordinatenänderung" bedeutet, dass, wenn Sie einen Vektorpunkt an einem bestimmten Punkt im Raum haben und dann Ihr Koordinatensystem ändern, der Vektor immer noch auf denselben Punkt zeigt. Im neuen Koordinatensystem hat er natürlich andere Komponenten, repräsentiert aber immer noch dasselbe, nämlich diesen Punkt. Daher denke ich, dass Ihre Antwort falsch ist, da sie bei einem Wechsel des Koordinatensystems tatsächlich invariant ist, weil sie weiterhin dasselbe darstellt.

Antworten (1)

Was passiert ist, ist, dass Sie Opfer eines üblichen physikalischen Missbrauchs einer Nichtunterscheidung (ich selbst war einmal ein Opfer) zwischen einem Vektorraum und einem Vektorraum geworden sind, der mit einer bestimmten Vorstellung davon ausgestattet wurde, wie Elemente von dieser Raum sollte transformieren (was eine zusätzliche mathematische Eingabe ist).

Sowohl Physiker als auch Mathematiker verwenden den Begriff "Vektor", um ein Element eines Vektorraums zu bezeichnen. In der klassischen Mechanik wird beispielsweise die Geschwindigkeit eines Teilchens, das sich in drei Dimensionen bewegt, als Element von modelliert R 3 . In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems als Element eines Hilbertraums modelliert, einer speziellen Art eines komplexen Vektorraums, der entweder endlich- oder unendlichdimensional sein kann. Es gibt auch viele andere Beispiele.

Wo also kommt diese Idee der Transformation ins Spiel?

Nun, in der Physik ist es relevant zu fragen, was mit bestimmten Vektoren passiert, wenn wir eine physikalische Transformation an dem System vornehmen, das wir untersuchen. Wenn wir das einzelne Teilchen und seinen Geschwindigkeitsvektor als Beispiel nehmen, könnten wir uns fragen, was mit diesem mathematischen Vektor passiert v wenn wir die Achsen physisch drehen, in Bezug auf die wir ihre Komponenten bestimmt haben. Wenn wir hinausgehen und dies in der realen Welt tun, stellen wir fest, dass die Komponenten der Position des Vektors sind X gedreht werden,

X → R X
und unseren Zeitmessungen passiert nichts, also wird unsere Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors, der nur die zeitliche Ableitung des Positionsvektors ist, ebenfalls gedreht;
v → R v
Beachten Sie, dass in die ursprüngliche mathematische Beschreibung von Geschwindigkeitsvektoren als Elemente von kein solcher Transformationsbegriff eingebaut war R 3 , es ist eine zusätzliche Überlegung, die wir als Physiker machen. Mit anderen Worten, was wir hier tun, ist zu sagen:

„Lassen Sie uns überlegen, auf Elemente des Vektorraums einzuwirken R 3 durch Drehungen in einer physikalisch sinnvollen Weise.

Wenn Sie einen solchen physikalisch sinnvollen Transformationsbegriff ermittelt haben, fragen Sie nach

"Wenn ich einen Vektor aus anderen Vektoren baue, die so definiert sind, dass sie sich auf diese Weise transformieren, wird sich dann der resultierende Vektor auf die gleiche Weise transformieren?"

Genau das haben wir mit Position und Geschwindigkeit gemacht. Wir haben definiert, dass sich die Position auf eine bestimmte (physikalisch motivierte und sinnvolle) Weise unter Rotationen ändert, und dann haben wir festgestellt, dass sich die Position auf diese Weise ändert, dann auch die Geschwindigkeit.

Wenn Sie den zusätzlichen Begriff der Transformation von Vektoren in Vektorräume mathematisch formalisieren möchten, würden Sie sich auf ein mathematisches Gebiet namens Darstellungstheorie berufen , in dem man verschiedene mathematische Möglichkeiten untersucht, wie man auf Elemente von Vektorräumen durch Elemente von (unter anderem) einwirken kann ) Gruppen. Insbesondere betrachtet man zusätzlich einen Vektorraum v Zuordnungen ρ : G → G L ( v ) von einer Gruppe (oder Algebra usw.) zur Menge invertierbarer, linearer Operatoren auf einem Vektorraum v . Man entscheidet sich dann dafür, bestimmte dieser Repräsentationen nach dem physikalischen Kontext zu untersuchen, nämlich danach, welche Repräsentation eine Art von Transformation ergibt, die physikalisch sinnvoll ist.

Im obigen Beispiel mit Position und Geschwindigkeit betrachten wir implizit die Darstellung ρ : S Ö ( 3 ) → G L ( R 3 ) definiert von ρ ( R ) = R , wo hier S Ö ( 3 ) bezeichnet die Rotationsgruppe des dreidimensionalen euklidischen Raums, und wir sagen dann

"Positionsvektoren zum Transformieren als definieren X → ρ ( R ) X = R X unter Drehungen, und beachten Sie nun, dass gezeigt werden kann, dass sich die Geschwindigkeit auf die gleiche Weise verändert.

+1 Ich würde hinzufügen, dass die meisten Physiker einen Vektor als etwas in der realen Welt betrachten, das mit einer Größe und einer Richtung gemessen werden kann, obwohl es Kindern in Schulen beigebracht wird. Der Mathematiker abstrahiert dann diese Definition, indem er sie von „Richtung“ und „Größe“ befreit, so wie ein Topologe den Raum von „Entfernung“ befreit und den Rest von uns benommen und verwirrt zurücklässt.
Nicht viel verwandt: Ö ( 3 ) ist definiert als die orthogonalen 3x3-Matrizen. Könnten wir es stattdessen durch eine seiner Repräsentationen definieren?
@jinawee Wenn die Darstellung treu wäre, dann ja.
Ich stimme dem ersten Absatz zu, aber nicht unbedingt dem Rest. Zum Beispiel, wenn v ein Vektorraum ist, der mit einem inneren Produkt ausgestattet ist, dann können wir Ausdrücke wie "Rotation von" verstehen v ." Mir scheint, wenn Physiker "Vektor" sagen, meinen sie normalerweise "Element eines endlichdimensionalen inneren Produktraums".
@goblin Wenn das wahr wäre, wie würde man dann Vektorräume in der Physik erklären, für die es möglicherweise kein physikalisch natürliches inneres Produkt gibt? Nehmen Sie zum Beispiel den Tangentialraum an den Phasenraum (eine symplektische Mannigfaltigkeit) eines Systems in der klassischen Mechanik.
Wenn das, was Sie sagen, richtig ist, dann widerlegt es meine Behauptung. Ich weiß nicht genug Physik, um viel weiter kommentieren zu können. Ich denke jedoch, dass zumindest in der Physik im Grundstudium die Idee, dass Sie das Türprodukt von zwei beliebigen Vektoren nehmen können, wirklich nur angenommen wird.
Punktprodukt eher.
Es gibt einige Vektorräume, auf denen das innere Produkt nicht definiert werden kann, beispielsweise Vektorräume über endlichen Körpern. "Rotation" ist eine Funktion, die bestimmte Eigenschaften hat. Nun kann es Vektorräume geben, in denen es für eine Funktion nicht möglich ist, solche Eigenschaften zu haben, dh "Rotation" kann auf solchen Vektorräumen nicht definiert werden. Bedeutet das, dass jeder Vektor in der Mathematik kein Vektor in der Physik ist?
Ich bin etwas verwirrt über die Logik im allerletzten Satz. Wollen Sie damit sagen, dass wir Positionsvektoren als solche definieren, die mit einem Element von multipliziert werden? S Ö ( 3 ) wenn wir physikalische Drehungen ausführen, oder dass wir bereits eine Art Vorstellung von Positionsvektoren haben und dass wir die Drehung eines solchen Vektors als Multiplikation mit einem Element von definieren S Ö ( 3 ) ? Definieren wir also „Positionsvektoren“ oder „Drehungen“? Oder etwas ganz anderes?
@DannyHansen Lassen Sie mich wissen, ob dies klarer wird: Physische Positionen werden mathematisch als Elemente modelliert X von R 3 . Man kann empirisch zeigen, dass das physikalische Drehen der Positionen von Objekten in der realen Welt im mathematischen Modell dem Einwirken entspricht X durch ein geeignetes Element von R 3 . Also die Aktion von S Ö ( 3 ) An R 3 definiert von X ↦ R X ist der physikalisch relevante. Diese Gruppenaktion kann dann Aktionen von auslösen S Ö ( 3 ) auf andere mathematische Objekte versuchen wir, aus mathematischen Positionen aufzubauen.
@joshphysics Das macht absolut Sinn, danke!
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