Passive Transformation, Pseudovektoren und Kreuzprodukt

Das zusätzliche Minuszeichen, das das Transformationsverhalten eines Pseudovektors von dem eines Vektors unterscheidet, entsteht in zwei unterschiedlichen Situationen - einer aktiven Transformation, die einen Vektor sendet$A\rightarrow -A$und eine orientierungsumkehrende passive Transformation .

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren$A$Und$B$wird normalerweise komponentenweise definiert als

$$C_i = \sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk} A_j B_k \tag{$\star$}$$ Mit anderen Worten, die Komponenten von$C$in gewisser Weise aus den Komponenten zu berechnen sind$A$Und$B$in dieser Basis über$(\star)$. Als Ergebnis, wenn wir eine passive Transformation zu einer neuen Basis machen$(\hat x',\hat y',\hat z')$, die Bestandteile von$A\times B$ in der neuen Basis sind gegeben durch $$\overline C_i = \sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk} \overline A^i \overline B^j\tag{$\star\star$}$$

wobei die Linie die Komponenten in der neuen Basis bezeichnet. Es ist nicht schwer, das unter einer Transformation zu zeigen$T$die die Komponenten gewöhnlicher Vektoren als transformiert$A^i\mapsto \overline A^i = T^i_{\ \ j} A^j$, die Bestandteile von$C$verwandeln als$C^i \mapsto \overline C^i =\mathrm{det}(T) T^i_{\ \ j} C^j$. Dieser zusätzliche Faktor von$\mathrm{det}(T)$bedeutet, dass$C$nimmt unter orientierungsumkehrenden Transformationen ein zusätzliches Minuszeichen auf.

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Die wahre Natur von Pseudovektoren kann durch Aufbau der äußeren Algebra verstanden werden$\mathbb R^3$, bezeichnet$\bigwedge(\mathbb R^3)$. Formal ist die Idee, dass wir unsere Basis nehmen$\hat x,\hat y, \hat z$und definieren die sogenannten Bivektoren $\hat x \wedge \hat y, \hat y \wedge \hat z$, Und$\hat z \wedge \hat x$, Wo$\wedge$wird als antisymmetrisch verstanden, also z$\hat x \wedge \hat y = - \hat y \wedge \hat x$Und$\hat x \wedge \hat x = 0$. Wir führen weiter den Trivektor ein $\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$.

Der Vektorraum der Linearkombinationen dieser Objekte ist die äußere Algebra$\bigwedge(\mathbb R^3)$. Es enthält:

$$a\tag{scalars}$$ $$a\hat x + b \hat y + c \hat z \tag{vectors}$$ $$a (\hat x\wedge\hat y) + b(\hat y \wedge \hat z) + c (\hat z \wedge \hat x) \tag{bivectors}$$ $$a(\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z) \tag{trivectors}$$

Um die Sprache zu standardisieren und eine einfachere Verallgemeinerung zu ermöglichen, nennen wir diese Objekte$k$-Klingen. Skalare sind$0$-Klingen, Vektoren sind$1$-Klingen, Bivektoren sind$2$-Klingen und Trivektoren sind$3$-Klingen.

Hier sind zwei wichtige Merkmale zu beachten. Erstens, weil$\mathbb R^3$ein 3-dimensionaler Vektorraum ist, gibt es nur einen linear unabhängigen$3$-Blade und es gibt keine Nicht-Null$k$-Klingen für$k>3$; die Antisymmetrieeigenschaft von$\wedge$bedeutet, dass wenn wir einen Vektor wiederholen (zB$\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z \wedge \hat x$) dann muss das Ergebnis Null sein.

Die zweite Sache, die zu beachten ist, ist, dass es die gleiche Anzahl von Skalaren wie gibt$3$-Klingen, und die gleiche Anzahl von$1$-Klingen als$2$-Klingen. Für einen General$n$-dimensionale Vektorräume gibt es ebenso viele$k$-Klingen als$(n-k)$-Klingen - nämlich${n\choose{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$von ihnen.

Für$\bigwedge(\mathbb R^3)$, dies deutet darauf hin, dass wir eine Paarung zwischen definieren können$k$-Klingen u$(3-k)$-Klingen, aber dazu brauchen wir noch eine Information - wir müssen ein Special auswählen$3$-Klinge$\omega$die durch Verkeilen unserer orthonormalen Basisvektoren konstruiert wird. Die Standardauswahl ist$\omega := \hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$. Sobald wir dies haben, definieren wir das Hodge-Dual $\star$von zB$\hat x$über

$$\hat x \wedge (\star \hat x) = \omega \implies \star \hat x = \hat y \wedge \hat z$$ Ähnlich, $$\star 1 = \hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$$ $$\star \hat x = \hat y\wedge\hat z \qquad \star \hat y = \hat z \wedge \hat x \qquad \star \hat z = \hat x \wedge \hat y$$ $$\star (\hat y\wedge \hat z) = \hat x \qquad \star (\hat z \wedge \hat x) = \hat y \qquad \star (\hat x \wedge \hat y) = \hat z$$ $$\star (\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z) = 1$$

Dies erstreckt sich auf alle Elemente von$\bigwedge(\mathbb R^3)$durch Linearität.

Wichtiger Hinweis: die Orientierung$\omega$ist als Teil der Definition der Basis, dh ihrer Ordnung, zu verstehen;$(\hat x,\hat y,\hat z)$unterscheidet sich von$(\hat y,\hat x,\hat z)$trotz Verwendung der gleichen drei Einheitsvektoren. Infolgedessen, wenn wir die Basis ändern$(\hat x,\hat y,\hat z)\rightarrow (\hat x',\hat y',\hat z')$, versteht es sich, dass wir auch die Ausrichtung ändern$\omega = \hat x \wedge\hat y \wedge \hat z \rightarrow \hat x' \wedge \hat y' \wedge \hat z' = \omega'$.

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Nachdem wir all diese Mechanismen definiert haben, können wir das Kreuzprodukt zweier Vektoren als das Hodge-Dual ihres Keilprodukts verstehen, dh

$$A \times B := \star (A\wedge B)$$ Lassen Sie zum Beispiel$A = 3\hat x + \hat z$Und$B = \hat x + \hat y$. Ihr Keilprodukt ist $$A\wedge B = (3\hat x + \hat z)\wedge(\hat x + \hat y) = 3\underbrace{\hat x \wedge \hat x}_{=0} + 3\hat x \wedge \hat y + \hat z \wedge \hat x + \hat z \wedge \hat y$$ $$= 3\hat x \wedge \hat y + \hat z \wedge \hat x \color{red}{-} \hat y \wedge \hat z$$ Das Nehmen des Hodge-Duals unter Verwendung der oben definierten Paarungen ergibt $$\star (A\wedge B) = 3\star(\hat x \wedge \hat y) + \star(\hat z \wedge \hat x) - \star(\hat y \wedge \hat z) = 3 \hat z + \hat y - \hat x$$ was tatsächlich das Kreuzprodukt ist$A\times B$wie erwartet.

Dies gibt uns die Möglichkeit, das Kreuzprodukt auf einer viel tieferen Ebene zu verstehen. Das ist unter der Umkehrung leicht zu erkennen$(\hat x,\hat y,\hat z)\rightarrow (\hat x',\hat y',\hat z')=(-\hat x,-\hat y, - \hat z)$, die Komponenten eines Vektors (1-Blatt)$A$ändern ihr Vorzeichen, aber die Komponenten der 2-Blatt$A\wedge B$ nicht ; das liegt daran, dass bspw.

$$\hat x \wedge \hat y \rightarrow \hat x' \wedge \hat y' = (-\hat x)\wedge(-\hat y) = \hat x \wedge \hat y$$ Eine neue Orientierung erben$\omega'=\hat x'\wedge\hat y'\wedge \hat z'$, finden wir, dass die Komponenten von$A\times B := \star(A\wedge B)$sind invariant, unterscheiden sich also vom Transformationsverhalten der Komponenten eines Vektors durch einen Vorzeichenwechsel.

. . . Umkehrung nur der Basisvektoren (Koordinatenachsen) . . .

$\hat x \to \hat x' = -\hat x,\, \hat y \to \hat y' = -\hat y$Und$\hat z \to \hat z' = -\hat z,$

Drehen Sie die neuen Koordinatenachsen um$\pi$um die z-Achse.

Jetzt$\hat x' = \hat x,\, \hat y' = \hat y$Aber$\hat z' = -\hat z$die neuen Koordinatenachsen sind also linkshändig.

Falls Sie es wollen$a\,\hat x' \times b\,\hat y'$gleich$ab\,\hat z'$dann müssen Sie die linke Hand verwenden.

Konventionell wird von den meisten das rechtshändige System verwendet, obwohl es einige gibt, die dies nicht tun, z. B. Warum verwendet DirectX ein linkshändiges Koordinatensystem?

mit

$$\vec a=a_1\hat g_1+a_2\hat g_2+a_3\,\hat g_3\\ \vec b=b_1\hat g_1+b_2\hat g_2+b_3\hat g_3$$

Wo$~a_i~,b_i~$sind die Vektorkomponenten und$~\hat g_i~$sind die Basisvektoren

mit$~\hat g_i\cdot\hat g_j=1~,i=j~$Und$~\hat g_i\cdot\hat g_j=0~,i\ne j$

das Kreuzprodukt

$$\vec c=\vec a\times \vec b$$

Jetzt$~\hat g_i\mapsto -\hat g_i~$

$$\vec a\mapsto -a_1\hat g_1-a_2\hat g_2-a_3\hat g_3=-\vec a\\ \vec b\mapsto -b_1\hat g_1-b_2\hat g_2-b_3\hat g_3=-\vec b$$

das Kreuzprodukt

$$\vec c\mapsto -\vec a\times (-\vec b)=\vec a\times \vec b$$

Koordinatenachsen sind linkshändig.

$$\hat g_1\times \hat g_3=\hat g_2\\ \hat g_2\times \hat g_1=\hat g_3\\ \hat g_3\times \hat g_2=\hat g_1$$

Koordinatenachsen sind rechtshändig.

$$\hat g_1\times \hat g_2=\hat g_3\\ \hat g_2\times \hat g_3=\hat g_1\\ \hat g_3\times \hat g_1=\hat g_2$$