Änderung der Basis vs. Änderung des Koordinatensystems

Question

Änderung der Basis vs. Änderung des Koordinatensystems

Anonym

Ich versuche zu verstehen, wie die Übersetzung des Koordinatensystems in der Physik funktioniert (zum Beispiel in den Galileischen Transformationen).

Wenn ich von Vektoren spreche, meine ich normalerweise Größen, die mit einem Skalar so addiert oder multipliziert werden können, dass die Axiome des Vektorraums verifiziert werden. Was mich verwirrt, sind die Illustrationen in Physiklehrbüchern, wie diese hier: Übersetzung des Koordinatensystems pic

Wenn ich zum Beispiel eine Situation modellieren muss, in der es zwei verschiedene Beobachter gibt, von denen jeder ein anderes Koordinatensystem verwendet, betrachte ich jeden Beobachter als eine (ortonormale) Basis (von $\mathbb{R}^3$ ), und dann drücke ich den Ortsvektor bezüglich des für die Beschreibung der Bewegung bequemeren nach der Basiswechselmatrix aus. Im Bild oben die Vektoren des "neuen" Koordinatensystems $O'x'y'z'$ sind per Definition durch die Transformation gegeben:

(1) τ : R \mapsto R - R_{0}

$(1)\quad \tau : r \mapsto r - r_0$ Aber wo finde ich in diesem Beispiel den Begriff des Basiswechsels? Ich bin verwirrt, wenn ich Dinge wie diese in der Physik finde:

(2) \overset{"neues" Koordinatensystem}{\overset{⏞}{R^{'}}} = \overset{"ursprüngliches" Koordinatensystem}{\overset{⏞}{R - R_{0}}}

$(2)\quad \overbrace{r'}^{\text{"new" coordinate system}} = \overbrace{r-r_0}^{\text{"original" coordinate system}}$ : hier sagen wir das

{\hat{ı}}^{'} x^{'} + {\hat{ȷ}}^{'} y^{'} + {\hat{k}}^{'} z^{'} = \hat{ı} (x - x_{0}) + \hat{ȷ} (y - y_{0}) + \hat{k} (z - z_{0})

$\hat\imath' x' + \hat\jmath' y' + \hat k' z' = \hat\imath (x-x_0)+\hat\jmath (y-y_0)+\hat k (z-z_0)$ , aber in diesem Fall wer sind

{\hat{ı}}^{'}

$\hat\imath'$ ,

{\hat{ȷ}}^{'}

$\hat\jmath'$ Und

{\hat{k}}^{'}

$\hat k'$ ? Werden sie durch unser Umwandlungsgesetz bestimmt

τ

$\tau$ ?

Ich hoffe, jemand könnte mir das allgemeine Konzept von Positionsvektoren und der Änderung des Bezugsrahmens (oder Koordinatensystems) erklären oder mir eine gute Ressource verlinken, in der dieses Zeug aus der Sicht des Mathematikers behandelt wird.

Bearbeiten: Was ich nicht verstehe, ist, wie man die Transformationsmatrix erstellt: Wenn (ich spreche von Übersetzungen zur Abkürzung der Notation, aber es kann sicher verallgemeinert werden, um Rotationen einzuschließen), kennen wir das Gesetz $T(\mathbf{v}) = \mathbf{v}' = \mathbf{R}\mathbf{v}+\mathbf{t}$ , dann können wir anrufen $\mathbf{e}^i$ Die $i$ -ten Vektor der ursprünglichen Basis schreiben $T(\mathbf{e}^i) = \mathbf{e}^i + \mathbf{t} = \sum_{i=1}^n{\alpha_{i}' {\mathbf{e}^{i}}'}$ , Wo $\{{\mathbf{e}^i}'\}_{i=1,\dots,n}$ sind die Vektoren unserer "übersetzten" Basis.

Wenn $\mathbf{t} = {^t({\alpha_j}_0)}_{\{\mathbf{e}^i\}}$ wenn ich nehme $T(\mathbf{e}^i)$ Ich bekomme $\mathbf{e}^i + \mathbf{t} = {^t({\alpha_j}_0 + \delta_{i,j})}_{\{\mathbf{e}^i\}} = {^t({\alpha_1}_0,\dots,{\alpha_i}_0+1, \dots, {\alpha_n}_0)}_{\{\mathbf{e}^i\}}$ , für $i=1,\dots,n$ . Aber wie interpretiere ich dieses Ergebnis in Bezug auf die Raumtransformation? Es bezieht sich immer noch auf den ursprünglichen Bezugsrahmen und sagt mir nichts darüber $\{{\mathbf{e}^i}'\}$ .

Biophysiker

Aus Ihrem Diagramm sieht es so aus, als wäre Ihre Transformation mehr als nur eine Übersetzung. Es sieht so aus, als ob es auch eine Rotation beinhaltet. Aber Sie haben die Transformation nur als Übersetzung geschrieben. Fragen Sie nur nach Übersetzungen oder einer allgemeinen Transformation, die Rotationen oder sogar "Strecken / Komprimieren" der Achsen beinhalten könnte?

Benutzer178093

Ich frage nach einer allgemeinen Transformation, die auch Rotation beinhaltet. Hier

τ

$\tau$ ist eine Übersetzung, aber ich hätte eine allgemeinere (lineare) Transformation schreiben können, die auch eine Rotationsmatrix beinhaltet. In

(2)

$(2)$ zum Beispiel könnten die "neuen" Basisvektoren ein orthonormales Tripel sein, roto-translatiert bezüglich des ursprünglichen.

Antworten (3)

Änderung der Basis vs. Änderung des Koordinatensystems

Aus Ihrem Diagramm sieht es so aus, als wäre Ihre Transformation mehr als nur eine Übersetzung. Es sieht so aus, als ob es auch eine Rotation beinhaltet. Aber Sie haben die Transformation nur als Übersetzung geschrieben. Fragen Sie nur nach Übersetzungen oder einer allgemeinen Transformation, die Rotationen oder sogar "Strecken / Komprimieren" der Achsen beinhalten könnte?
Ich frage nach einer allgemeinen Transformation, die auch Rotation beinhaltet. Hier $\tau$ ist eine Übersetzung, aber ich hätte eine allgemeinere (lineare) Transformation schreiben können, die auch eine Rotationsmatrix beinhaltet. In $(2)$ zum Beispiel könnten die "neuen" Basisvektoren ein orthonormales Tripel sein, roto-translatiert bezüglich des ursprünglichen.

David Hammen · Answer 1

Ich hoffe, jemand könnte mir das allgemeine Konzept von Positionsvektoren und der Änderung des Bezugsrahmens (oder Koordinatensystems) erklären oder mir eine gute Ressource verlinken, in der dieses Zeug aus der Sicht des Mathematikers behandelt wird.

Zunächst einmal ist ein besserer Name für einen Positionsvektor ein Verschiebungsvektor. Verschiebungsvektoren sind keine freien Vektoren. Sie sind nicht ganz Vektoren, Punkt, im Sinne des mathematischen Konzepts eines Vektorraums. Sie sind stattdessen Mitglieder eines affinen Raums , wobei die Transformation zwischen zwei affinen Räumen durch eine affine Transformation gegeben ist $\boldsymbol x' = \boldsymbol {\mathrm M} \boldsymbol x + \boldsymbol b$ , Wo $\boldsymbol {\mathrm M}$ ist eine umkehrbare Matrix (oder eine richtige orthogonale Matrix, wenn Sie die Dinge einfach halten wollen) und $\boldsymbol b$ ist der Verschiebungsvektor von einem Ursprung zum anderen.

Sie haben nach einer guten Ressource gefragt, in der dieses Zeug aus der Sicht eines Mathematikers behandelt wird. Die Schwesterseite Mathematics StackExchange hat eine gute Anzahl von Fragen und Antworten zu den Themen affine Räume und affine Transformationen.

Okarin · Answer 2

Eine Änderung der Basis bedeutet einfach eine Transformation der Art und Weise, wie Sie Ihre Vektoren darstellen. Im 3D-Raum werden alle Vektoren normalerweise als lineare Kombination von drei "Achsen", auch bekannt als Basisvektoren, dargestellt: $\hat{i}$ , $\hat{j}$ Und $\hat{k}$ in deinem beispiel. Es ist aber auch wichtig zu beachten, wo der Ursprung der Vektoren festgelegt ist, nämlich die Nullstelle des Vektorraums, $O$ .

Nun, jede Änderung in beiden $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ oder $O$ stellt einen Basiswechsel dar. Ein Wechsel ein $O$ ist eine Übersetzung; Die Richtung der Basisvektoren ändert sich nicht, sie werden nur im Raum verschoben. Eine Änderung der anderen drei ist normalerweise entweder eine Drehung oder eine Spiegelung (das heißt, wenn Sie weiterhin eine orthogonale Basis verwenden möchten, andernfalls sind andere Transformationen wie eine Neigung möglich).

Das, was Sie präsentieren, erscheint mir wie eine Übersetzung von $O$ von $r_0$ , während die anderen drei unverändert bleiben. Andernfalls hätten Sie mit new einen komplexeren Ausdruck $\hat{i}'$ , $\hat{j}'$ Und $\hat{k}'$ selbst ausgedrückt als lineare Kombinationen von $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ . Normalerweise ist es für diese Zwecke am bequemsten, eine Rotationsmatrix zu verwenden; Der allgemeine Weg, einen Basiswechsel in Vektorform zu schreiben, wäre:

v^{'} = R v + T

$\mathbf{v}' = \mathbf{R}\mathbf{v}+\mathbf{t}$

Wo $\mathbf{R}$ ist die Rotationsmatrix, $\mathbf{t}$ der Übersetzungsvektor und $\mathbf{v}$ Und $\mathbf{v}'$ der Vektor vor und nach der Transformation.

Danke für die Antwort! Ich werde meine Frage bearbeiten, um klarer zu machen, was ich frage, unter Berücksichtigung des Umwandlungsgesetzes, das Sie hier geschrieben haben.
Eine Sache: Die Verse i, j und k werden bei der Transformation nicht übersetzt. Sie drücken keinen bestimmten Vektor aus, sondern nur eine „Richtung“, und es macht keinen Sinn, sie zu übersetzen. Sie werden lediglich gedreht. Unter diesem Link erfahren Sie, wie Rotationsmatrizen aufgebaut sind und was sie physikalisch darstellen: en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix .

Biophysiker · Answer 3

Die Antwort von Okarin ist sehr gut (hat mir selbst +1 gegeben). Ich wollte nur eine Unterscheidung zwischen einer Koordinatenänderung wie der von Ihnen vorgestellten und einer Basisänderung wie in der Quantenmechanik (falls Sie jemals in die QM einsteigen) hinzufügen.

In dem von Ihnen geposteten Beispiel bewegen Sie sich im Weltraum von einem Ort zum anderen. Möglicherweise sehen Sie Ihre Vektoren an dieser neuen Position anders, aber das neue und das alte Koordinatensystem befinden sich immer noch im Raum.

Das Ändern der Basis kann jedoch abstrakter sein. In der Quantenmechanik kann unser System durch einen Zustandsvektor beschrieben werden $| \Psi \rangle$ die wir in verschiedenen Basen ausdrücken können. Zum Beispiel können wir ausdrücken $| \Psi \rangle$ in Form von Eigenzuständen des Hamiltonoperators (Zustände mit bestimmter Energie):

\hat{H} | ψ_{N} ⟩ = E_{N} | ψ_{N} ⟩

$\hat H |\psi_n \rangle=E_n |\psi _n\rangle$

| Ψ ⟩ = \sum_{N} E_{N} | ψ_{N} ⟩

$|\Psi \rangle=\sum_n E_n|\psi_n \rangle$

Oder wir können denselben Zustandsvektor durch Zustände mit bestimmter Position ausdrücken. Dies ist normalerweise das, was Studenten, die zum ersten Mal in QM einsteigen, als Wellenfunktion sehen:

⟨ X | Ψ ⟩ = ψ (X)

$\langle x|\Psi\rangle =\psi(x)$

dh jede Komponente des Zustandsvektors im Ortsraum kann durch die Wellenfunktion bestimmt werden.

Die Ähnlichkeit zwischen Ihrer Änderung der Koordinaten und dieser abstrakteren Änderung der Basis besteht darin, dass wir unsere Vektoren aus „verschiedenen Blickwinkeln“ sehen und sie so ausdrücken, dass sie dieser Ansicht entsprechen. Der Unterschied besteht darin, dass Sie den abstrakten Basiswechsel nicht nur durch Bewegen / Drehen / Strecken / etc. erklären können. das ursprüngliche Koordinatensystem.

Ich bin kein Experte für abstrakte Algebra, aber ich denke, das würde im Grunde für jede Gruppe gelten, die in Bezug auf ein Skalarprodukt abgeschlossen ist. Vektoren sind einfach sehr einfach zu visualisieren!
@Okarin Ja, ich stimme zu! Und es scheint, als wäre das OP wirklich nur an Dingen wie galiläischen Transformationen interessiert. Ich habe nur Basis gesehen und an QM gedacht. Also dachte ich, es wäre schön, darüber zu reden.

Änderung der Basis vs. Änderung des Koordinatensystems

Anonym

Biophysiker

Benutzer178093

Antworten (3)

David Hammen

Okarin

Benutzer178093

Okarin

Biophysiker

Okarin

Biophysiker

Warum verwenden wir Vektoren?

So berechnen Sie Roll-, Gier- und Nickwinkel aus 3D-Koordinaten (Euler-Winkel)

Wie versteht man die Definition von Vektor und Tensor?

Passive Transformation, Pseudovektoren und Kreuzprodukt

Warum ist Kraft ein Vektor? (Die Feynman-Vorlesungen)

Warum können Basisvektoren die Richtung ändern?

Wie definieren wir ein Koordinatensystem richtig, insbesondere seine Beziehung zu Vektorräumen?

Eine einfache Möglichkeit, Euler-Winkel aus der Rotationsmatrix zu berechnen --- Hilfe!

Was ist die physikalische Bedeutung der Standardbasisvektoren?

Möglicher Fehler in Marion und Thorntons klassischer Dynamik von Teilchen und Systemen