Warum können Basisvektoren die Richtung ändern?

Die einzigen Anforderungen an Basisvektoren sind, dass sie linear unabhängig sind und den Vektorraum aufspannen müssen. Es ist nicht erforderlich, dass sie normalisiert oder orthogonal zueinander sind.

Wenn Sie nun von Basisvektoren sprechen, die sich in Polarkoordinaten bewegen, meinen Sie, dass Sie eine Mannigfaltigkeit mit einem Polarkoordinatendiagramm darauf haben. Diese Mannigfaltigkeit ist kein Vektorraum, aber an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit können wir einen Vektorraum konstruieren, der als Tangentenraum bezeichnet wird. Der Tangentenraum an jedem Punkt ist ein separater Vektorraum vom Tangentenraum an jedem anderen Punkt.

In jedem Tangentialraum können wir einen Satz von Basisvektoren aus den Koordinaten konstruieren, die als holonome Basis bezeichnet werden. Diese Vektoren sind linear unabhängig und spannen den Tangentialraum an dem gegebenen Punkt in der Mannigfaltigkeit auf. In diesem Sinne stehen sie also jeweils am Ursprung eines anderen Vektorraums.

Die Idee der Bewegung der Basisvektoren basiert auf einer Verbindung zwischen benachbarten Tangentialräumen, die es uns ermöglicht, einen Vektor von einem Tangentialraum in einen Nachbarraum zu transportieren. In diesem Sinne ist der holonome Basisvektor, der einer gegebenen Koordinate an einem Punkt in der Mannigfaltigkeit zugeordnet ist, nicht derselbe wie der entsprechende Basisvektor von einem anderen Punkt, der zu dem ersten Punkt transportiert wird.

Die kurze Antwort lautet: Weil es an jedem Punkt des Raumes einen eigenen Vektorraum mit eigener Basis gibt und man für jeden dieser Vektorräume unabhängig eine Basis wählen kann.

Um dies richtig zu verstehen, benötigen Sie die Theorie der Mannigfaltigkeiten (wie in Dales Antwort erklärt).

Es ist nur ein "Zufall" des euklidischen Raums, dass sich Vektoren nicht ändern, wenn Sie sie herumtransportieren. Aufgrund dieses Zufalls können wir alle Vektorräume an allen Punkten identifizieren und eine einzige Basis für sie in kartesischen Koordinaten wählen.

Tatsächlich können Sie für die Position auch in Polarkoordinaten arbeiten und dennoch die globalen kartesischen Basisvektoren verwenden, um Ihre Geschwindigkeit / Ihr elektrisches Feld / ... auszudrücken. Es ist nur sehr bequem, die Basisvektoren an Ihre Koordinaten anzupassen, da dies vereinfacht wird Berechnungen.

Die Situation, die Sie beschreiben, ist eine häufige und beruht darauf, dass es nur einen Vektorraum gibt. Außerdem werden hier die Basisvektoren normiert, so dass sie Einheitsgröße haben. Im Allgemeinen gehört jedoch ein Basisvektor zu einer Basis und dies ist eine Sammlung von linear unabhängigen und aufspannenden Mengen. Diese Vektoren müssen nicht normiert werden und haben daher möglicherweise keine Einheitsgröße.

Es muss nicht nur ein Vektorfeld vorhanden sein. Genauer gesagt, über einer Mannigfaltigkeit gibt es an jedem Punkt einen Tangentenraum, und das Bündeln aller zusammen ergibt das Tangentenbündel über dieser Mannigfaltigkeit. Wir können an jedem Punkt eine Basis von Tangentenvektoren auswählen. Und damit erhalten wir über der Mannigfaltigkeit ein Feld von Tangentenvektoren, oder kurz Tangentenfeld.

Dieses Bild ist statisch. Indem wir jedoch eine Kurve auf der Mannigfaltigkeit auswählen und ein Teilchen senden, das sich entlang dieser Kurve bewegt, sehen wir, dass wir eine bewegliche Wahl der Basis entlang der Kurve haben. Dies ist die Grundlage von Cartans Methode des beweglichen Rahmens, wobei Rahmen nur ein Synonym für Basis ist.

Als Beispiel: Nehmen Sie ein Flugzeug, das ist eine Mannigfaltigkeit. Eine Kurve, die wir nehmen können, ist der Kreis. Und eine übliche Wahl von Tangentenvektoren in der Ebene, die auf dem Kreis liegt, ist die offensichtliche, die radialen Einheitsvektoren und die tangentialen Einheitsvektoren entlang des Kreises. Wir können dies die polare Basis nennen . Wenn Sie dann ein Teilchen entlang des Kreises senden, erhalten Sie die von Ihnen erwähnte sich bewegende polare Basis.

Wenn Vektoren in kartesischen Koordinaten vorhanden sind, sehen die Basisvektoren nutzlos aus. Schließlich fügt ein Vektor (4,2) = 4(1,0) + 2(0,1) keine neuen Informationen hinzu.

In Polarkoordinaten hat jeder Punkt einen Satz von Basisvektoren, und jeder Vektor, der in dem Punkt wirkt, ist eine lineare Kombination davon.

Für einen Punkt auf der Erdoberfläche ist es leicht zu verstehen. Es wird durch 2 Koordinaten definiert: Längengrad und Breitengrad. Für jedes Paar dieser Koordinaten können wir 2 Vektoren festlegen: Einer von ihnen zeigt zum Beispiel nach Norden und der andere nach Osten. Nun ist es möglich, basierend auf diesen Basisvektoren für eine Nachbarschaft dieses Ortes einen Geschwindigkeitsvektor mit einer Größe und einer Richtung zu definieren.

Sie kennen die Komponenten ($~v_x~,v_y~$) eines Vektors an Punkt 1

$$\vec v=\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{bmatrix}=v_x\,\underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}}_{\vec e_x}+v_y\,\underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}}_{\vec e_y}$$

Wo$~\vec e_x~,\vec e_y~$sind die Basisvektoren, sie sind linear unabhängig mit$~\vec e_x\cdot e_x=1~,~\vec e_y\cdot e_y=1~,\vec e_x\perp\vec e_y~$

Beachten Sie, dass die Komponenten sind

$$v_x=\vec v\,\cdot \vec e_x\\ v_y=\vec v\,\cdot \vec e_y$$

und die Größenordnung$~v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

Wenn Sie den Vektor verschieben$~\vec v~$zu Punkt 2 und Sie wählen der Einfachheit halber neue Basisvektoren$~\vec e_t~,\vec e_n~$somit

$$\vec v=\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{bmatrix}=v_t\,\vec e_t+v_n\,\vec e_n$$

die Basisvektoren erfüllten die Anforderungsform$~\vec e_x~$Und$~\vec e_y~$Basisvektoren.

die neuen Komponenten sind

$$v_t=\vec v\,\cdot \vec e_t\\ v_n=\vec v\,\cdot \vec e_n$$

und die Größe bleibt unverändert$~v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

bei Punkt 3 erhält man weitere Komponenten des Vektors$\vec v~$, auch hier bleibt die Größe unverändert.

An dieser Berechnung ist also nichts auszusetzen. Die Auswahl der Basisvektoren hängt nur davon ab, was Sie erreichen möchten

Teil 1 – Ihre Verwirrung über Basisvektoren ansprechen

Ich dachte, dass Basisvektoren von der Größenordnung eins sind

Überlegen Sie, was es bedeutet, denselben Punkt auf zwei verschiedenen Basen auszudrücken.

Angenommen, Sie haben die kanonische (Standard-)Basis$B = \{\hat I, \hat J\}$. Nehmen Sie ein beliebiges Paar raumaufspannender (also linear unabhängiger) Vektoren$\vec i$Und$\vec j$(nicht unbedingt orthogonal und nicht unbedingt von Einheitslänge) und sie eine andere Basis bilden lassen$B' = \{\vec i, \vec j\}$.

---

Beiseite: Üblicherweise (in einem leichten Schreibfehler) schreibt man eine geordnete Basis als$B = \{e_1, e_2\}$, wobei die Indizes die Reihenfolge definieren (damit Sie wissen, welche Koordinate welchem ​​Basisvektor zugeordnet ist). Da benutze ich$I, J$Und$i, j$, gibt es keine Indizes, aber die übliche Reihenfolge wird angenommen (Wörterbuchreihenfolge,$i \to j$).

---

Angenommen, Sie haben einen Vektor$\vec r$. In der Standardbasis ausgedrückt, ist es eine Linearkombination der Basisvektoren in$B$:

$$\vec{r} = x\hat I + y\hat J\space, \space\text{coordinates:}\space(x, y)$$

und in Bezug auf die gestrichene Basis kann derselbe Vektor als Linearkombination von ausgedrückt werden$\vec i$&$\vec j$, es ist nur so, dass die Koordinaten unterschiedlich sein werden. Also in Bezug auf$B'$, es ist:

$$\vec{r} = u\vec i + v\vec j\space, \space\text{coordinates:}\space(u, v)$$

Es heißt im Grunde "nimm$u$Schritte in die$\vec i$Richtung und nehmen$v$Schritte in die$\vec j$Richtung". Beachten Sie, dass dies bedeutet, dass die$(u, v)$Koordinaten von$\vec i$Und$\vec j$ in der grundierten Basis sind$(1, 0)$Und$(0, 1)$, bzw. Also, ausgedrückt in ihrer eigenen Basis ,$\vec i$&$\vec j$ sind beide von Einheitslänge und orthogonal. Grundsätzlich ist das Arbeiten in Bezug auf (u, v)-Koordinaten dasselbe wie das Arbeiten in der Standardbasis, es gibt nur diesen größeren Kontext, einen koordinatenunabhängigen Raum von Punkten, und der konkrete Punkt, der jedem Koordinatenpaar zugeordnet ist, ist je nachdem unterschiedlich auf welcher Grundlage Sie sich entscheiden.

Das Schöne ist, dass Sie damit zwischen den beiden konvertieren können. Nehme an, dass

$$\vec{i} = (2, 0.5)_B = 2\hat I + 0.5\hat J \\ \vec{j} = (0.5, 1)_B = 0.5\hat I + 1\hat J$$

(der Index$(x, y)_B$Angabe des Koordinatenrahmens) und die Sie haben$\vec r = (u, v)_{B\space '} = (1, 2)_{B\space '}$, und Sie möchten das entsprechende wissen$(x, y)_B$Darstellung. Nun, einfach skalieren$\vec i$&$\vec j$von$u$&$v$, bzw:

$$\vec{r} = 1\vec i + 2\vec j \\ = 1(2\hat I + 0.5\hat J) + 2(0.5\hat I + 1\hat J) \\ = 3\hat I + 2.5\hat J$$

So bekommt man das entsprechende$(x, y)_B$Ist$(3, 2.5)_B$.

In Matrixform:

$$\begin{bmatrix} 3 \\ 2.5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$$

Teil 2 – Ihre Verwirrung über lokale Frames ansprechen

Ich dachte, dass sich Basisvektoren [...] am Ursprung befinden [...], also wie können sich die Basisvektoren in Dingen wie Polarkoordinaten bewegen?

Mathematisch gesehen haben Vektoren keine eindeutigen Ursprungspunkte - sie sind nur eine Richtung und eine Größe (jedenfalls geometrische Vektoren). Sie können sich das vorstellen, indem Sie sich vorstellen, dass alle Vektoren vom Ursprung eines euklidischen Koordinatensystems ausgehen; der Endpunkt entspricht dann der Koordinatendarstellung in der Standardbasis.

Mit anderen Worten, sogar Dinge wie Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte – all diese haben keinen intrinsischen Ursprungspunkt. Jedes ist wirklich nur eine Richtung und eine Größe. Damit klappt die Mathematik. Aber in der Physik möchte man solchen Vektoren oft ein zusätzliches Bit an „Metadaten“ anhängen, um das Gesamtbild besser zu beschreiben (über das „mathematische Werkzeug“ der linearen Algebra hinaus), also übersetzt man den Vektor oft so in den Raum, dass es beginnt an einem vernünftig aussehenden Punkt auf einem Objekt.

Oder denken Sie an Kraftfelder; An jedem Punkt im Raum hängt ein Vektor (Kraft). Die Vektoren werden oft so dargestellt, als würden sie von dem zugeordneten Punkt ausgehen. Aber eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass Sie eine Funktion haben, die einen Punkt im Raum nimmt und einen Vektor erzeugt. Stellen Sie sich also eine Anwendung vor, die eine Benutzeroberfläche bereitstellt, mit der Sie einen Punkt als Eingabe auswählen können, und die ein separates Fenster hat, um den Ausgabevektor anzuzeigen, der vom Ursprung ausgeht. Wenn Sie den Eingabepunkt verschieben, ändert der Ausgabevektor Größe und Richtung. Sie können zum gewohnten Bild zurückkehren, indem Sie den Vektor gedanklich zum Eingabepunkt übersetzen.

Dasselbe können Sie mit Koordinatenrahmen tun. Ein Problem kann in der Standardbasis schwer zu lösen oder auszudrücken und in einer anderen (grundierten) Basis leichter zu handhaben sein. Die neuen Basisvektoren gehen zwar vom Ursprung aus, aber die gestrichene Basis selbst ist oft mit einem Punkt im Raum verbunden - vielleicht ist sie nur in unmittelbarer Nähe dieses Punktes nützlich (gut genug für Kalkül!).

Sie können es sich also wie einen lokalen Rahmen vorstellen , der diesem Punkt zugeordnet ist.

Wenn Sie den "Eingabepunkt" ändern, ändert sich die zugehörige Basis - die Basisvektoren ändern Richtung und Größe. Im Wesentlichen haben Sie für jeden Punkt im Raum eine andere lokale Basis. Da sich Richtungen und Größen jedoch gleichmäßig ändern, können Sie sich den Prozess als eine lokale Basis vorstellen, die sich "bewegt", "rotiert" und allgemeiner "die Form ändert".

"Koordinaten" ist ein allgemeinerer Begriff als "Basisvektoren". Basisvektoren gelten nur für Vektorräume, während Koordinaten für jede Mannigfaltigkeit gelten (und, wenn man den Begriff locker genug verwendet, für so ziemlich jeden Raum). Basisvektoren liefern ein Koordinatensystem, indem sie einfach ihre Koeffizienten nehmen, aber nicht alle Koordinatensysteme entsprechen einem Satz von Basisvektoren. Auch wenn Basisvektoren unabhängig sein müssen, müssen sie keine Größe haben$1$, und tatsächlich müssen Vektorräume überhaupt keine Norm haben, um Basisvektoren zu haben, und wenn ein Raum keine Norm hat, dann "Größe$1$" ist bedeutungslos. Außerdem "befinden" sich Vektoren nicht wirklich am Ursprung. Sie werden oft als Verschiebungen vom Ursprung zu einem anderen Punkt im affinen Raum dargestellt, aber das ist nicht ganz dasselbe wie "am" Ursprung zu sein.

Polarkoordinaten basieren nicht auf Basisvektoren, obwohl wir sie verwenden können, um lokale Basisvektoren für jeden Punkt zu definieren.