Warum verwenden wir orthogonale Achsen?

Question

Warum verwenden wir orthogonale Achsen?

Lukas

Ich wurde mehrmals gefragt: „Warum verwenden wir orthogonale Achsen in Koordinatensystemen?“ und ich habe immer geantwortet, dass „der Einfachheit halber“. Aber heute Morgen hat mir jemand diese Frage gestellt und nach meiner Antwort sagte er: „Wie?“

Ich dachte, und drei Beispiele kamen mir in den Sinn, wie orthogonale Koordinatensysteme Einfachheit schaffen.

$1$ . In einer Ebene (zum Beispiel), wenn wir ein nicht orthogonales Koordinatensystem verwenden; wir werden haben:

( $\vec e$ ist Einheitsvektor)

\vec{R} = R \frac{Sünde (γ - θ)}{Sünde γ} {\vec{e}}_{X} + R \frac{Sünde θ}{Sünde γ} {\vec{e}}_{Y}

$\vec r=r\large{\frac{\sin (\gamma-\theta)}{\sin \gamma}} \vec e_X+r\large{\frac{\sin \theta}{\sin \gamma}}\vec e_Y$ Wenn

γ = 90

$\gamma=90$ ; Dann

\sin γ = 1

$\sin \gamma =1$ und Nenner werden wie unten gezeigt entfernt:

\vec{R} = R \cos θ {\vec{e}}_{X} + R Sünde θ {\vec{e}}_{j}

$\vec r=r\cos \theta \;\vec e_x+r\sin \theta \;\vec e_y$ Diese Einfachheit zeigt sich, wenn wir auch das Skalarprodukt von Vektoren verwenden. Wenn wir zum Beispiel die von einer Kraft (in einer Ebene) verrichtete Arbeit berechnen wollen, schreiben wir

W = \int \vec{F} \cdot d \vec{x}

$W=\int \vec F\cdot\mathrm d\vec x$ . Wenn wir Kraft brechen

\vec{F}

$\vec F$ zu zwei orthogonalen Vektoren, zu denen einer parallel ist

d \vec{x}

$\mathrm d\vec x$ ; dann Arbeit der anderen Kraft (senkrecht zu

d \vec{x}

$\mathrm d\vec x$ ) wird null sein.

$2$ . In einem Flugzeug (zum Beispiel), wenn $\vec a=\vec b+\vec c$ , dann Größenordnung von $\vec a$ ist gleich

A = \sqrt{B^{2} + C^{2} - 2 B C \cos θ}

$a=\sqrt {\large{b^2+c^2-2bc\cos \theta}}$ (

θ

$\theta$ ist der Winkel zwischen Vektoren

\vec{b}

$\vec b$ Und

\vec{c}

$\vec c$ ). Wenn

θ = 90

$\theta=90$ ; Dann

\cos θ = 0

$\cos \theta=0$ und wir werden haben

A = \sqrt{B^{2} + C^{2}}

$a=\sqrt {\large{b^2+c^2}}$

$3$ . Wenn wir das Kreuzprodukt von Vektoren in orthogonale Vektoren zerlegen, werden unsere Berechnungen viel einfacher. Denn das wissen wir

| \vec{A} \times \vec{B} | = A B Sünde θ

$|\vec a\times \vec b|=ab\sin \theta$ (

θ

$\theta$ ist der Winkel dazwischen

\vec{a}

$\vec a$ Und

\vec{b}

$\vec b$ ) Wenn wir orthogonale Koordinaten zum Brechen von Vektoren verwenden, werden die an unserem Problem beteiligten Winkel sein

0

$0$ oder

90

$90$ die unsere Berechnungen so einfach machen.

Also, ich habe zwei Fragen:

$1$ . Gibt es einen anderen Grund, warum wir orthogonale Koordinatensysteme außer der Vereinfachung verwenden? $2$ . Gibt es ein anderes Beispiel für Vereinfachung?

Vielen Dank.

PS $1$ . Wir sprechen nur über klassische Mechanik.

PS $2$ . Zur ersten Frage: Ich denke, es gibt keinen Grund außer der Vereinfachung. Weil ich glaube, dass physikalische Gesetze unabhängig von Koordinatensystemen sind. Ich denke, physikalische Phänomene treten so auf, wie sie sind; unabhängig davon, ob wir sie beobachten oder messen können oder nicht. Aber ich wollte fragen, ob ich etwas vermisse.

PS $3$ . Zur zweiten Frage: Ich wollte nach nützlicheren Beispielen fragen, weil ich glaube, dass es für die Bildung besser ist, wenn Schüler Fragen wie die aktuelle Frage stellen, wenn wir so viele Beispiele wie möglich äußern. Weil mehr Beispiele, mehr Aufklärung und Interesse für Studenten.

philipp_0008

Es wurde von Rene Descartes gestartet..

Lukas

@ philip_0008 Ich meine nicht nur das kartesische Koordinatensystem.

Steeven

Ein Beispiel: Beim Auffinden von Komponenten von Kräften (und anderen Vektorgrößen). Stehen Koordinatenachsen senkrecht, haben sie keine gemeinsamen Komponenten. Jeder Kraftvektor kann dann entlang jeder Achse in eindeutige Komponenten aufgeteilt werden. Dann können wir in einem späteren Schritt, fx in den Newtonschen Gesetzen, alle Kräfte entlang der y-Richtung zB für sich selbst betrachten. Bei einem nicht senkrechten Koordinatensystem würde eine Komponente von einer anderen Komponente abhängen, und wir könnten die Berechnungen nicht in Gleichungen entlang jeder Achse für sich selbst aufteilen.

Lukas

@Steeven "Bei einem nicht senkrechten Koordinatensystem würde eine Komponente von einer anderen Komponente abhängen" Das ist nicht korrekt. Wenn

\vec{F} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2}

$\vec F=\vec F_1+\vec F_2$ , Dann

\vec{a} = {\vec{a}}_{1} + {\vec{a}}_{2}

$\vec a=\vec a_1+\vec a_2$ (

\vec{a}

$\vec a$ Beschleunigungsvektor ist).

{\vec{a}}_{1}

$\vec a_1$ ist unabhängig von

{\vec{F}}_{2}

$\vec F_2$ Und

{\vec{a}}_{2}

$\vec a_2$ ist unabhängig von

{\vec{F}}_{1}

$\vec F_1$ . Weil

{\vec{a}}_{1} = \frac{1}{m} {\vec{F}}_{1}

$\vec a_1=\large{\frac 1m}\vec F_1$ Und

{\vec{a}}_{2} = \frac{1}{m} {\vec{F}}_{2}

$\vec a_2=\large{\frac 1m}\vec F_2$

Steeven

@lucas Ahh, ja. Tut mir leid dafür - Was ich beschreiben wollte, war das Ziel, Komponenten zu haben, die eindeutige Richtungen berücksichtigen .

Peter R.

Es macht die Mathematik viel einfacher.

Solomon Langsam

Ein praktischer Grund: Stellen Sie sich vor, Sie erhalten einen Vektor, indem Sie ein physikalisches System messen . Um die Messung mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad in einem orthogonalen Koordinatensystem zu melden, ist es nur erforderlich, jede Koordinate mit diesem Genauigkeitsgrad zu melden. Wenn die Basisvektoren jedoch einen engen Winkel bilden, hängt die erforderliche Genauigkeit der Koordinaten von der Richtung des gemessenen Vektors ab.

Antworten (2)

Warum verwenden wir orthogonale Achsen?

@ philip_0008 Ich meine nicht nur das kartesische Koordinatensystem.
Ein Beispiel: Beim Auffinden von Komponenten von Kräften (und anderen Vektorgrößen). Stehen Koordinatenachsen senkrecht, haben sie keine gemeinsamen Komponenten. Jeder Kraftvektor kann dann entlang jeder Achse in eindeutige Komponenten aufgeteilt werden. Dann können wir in einem späteren Schritt, fx in den Newtonschen Gesetzen, alle Kräfte entlang der y-Richtung zB für sich selbst betrachten. Bei einem nicht senkrechten Koordinatensystem würde eine Komponente von einer anderen Komponente abhängen, und wir könnten die Berechnungen nicht in Gleichungen entlang jeder Achse für sich selbst aufteilen.
@Steeven "Bei einem nicht senkrechten Koordinatensystem würde eine Komponente von einer anderen Komponente abhängen" Das ist nicht korrekt. Wenn $\vec F=\vec F_1+\vec F_2$ , Dann $\vec a=\vec a_1+\vec a_2$ ( $\vec a$ Beschleunigungsvektor ist). $\vec a_1$ ist unabhängig von $\vec F_2$ Und $\vec a_2$ ist unabhängig von $\vec F_1$ . Weil $\vec a_1=\large{\frac 1m}\vec F_1$ Und $\vec a_2=\large{\frac 1m}\vec F_2$
@lucas Ahh, ja. Tut mir leid dafür - Was ich beschreiben wollte, war das Ziel, Komponenten zu haben, die eindeutige Richtungen berücksichtigen .
Ein praktischer Grund: Stellen Sie sich vor, Sie erhalten einen Vektor, indem Sie ein physikalisches System messen . Um die Messung mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad in einem orthogonalen Koordinatensystem zu melden, ist es nur erforderlich, jede Koordinate mit diesem Genauigkeitsgrad zu melden. Wenn die Basisvektoren jedoch einen engen Winkel bilden, hängt die erforderliche Genauigkeit der Koordinaten von der Richtung des gemessenen Vektors ab.

Sonneneruption · Answer 1

Ich bin mir nicht sicher, ob es Ihnen bei Ihren Schülern hilft, aber vielleicht gibt es Ihnen einen Hintergrund: Ich denke, der zugrunde liegende Grund für orthogonale Basisvektoren ist, dass Sie implizit eine euklidische Metrik verwenden, die nur diagonale Werte hat. Dies wären zB

G_{μ v, e u C l ich D e A N} = ICH = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) oder G_{μ v, S P H e R ich C A l} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & R^{2} & 0 \\ 0 & 0 & R^{2} {Sünde}^{2} θ \end{matrix})

$g_\mathrm{\mu\nu, ~euclidean}=I=\pmatrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \quad{\text{or}}\quad g_\mathrm{\mu\nu,~spherical}=\pmatrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta}$

für euklidische oder sphärische Koordinatensysteme.

Ein bestimmter Vektor $u = (u^1, u^2, u^3)$ mit den Koordinaten $u^1$ , $u^2$ , $u^3$ gehört zu einer bestimmten Metrik (und damit zu Grundvektoren). Um zB einen bestimmten Punkt zu beschreiben, werden es für euklidisch die Werte sein $(x,y,z)$ , bei sphärischen Koordinaten sind es andere Koordinaten $(r, \theta, \phi)$ (die Sie aus der Transformation berechnen, z $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , also beschreiben sie denselben Punkt).

Nur diagonale Elemente zu haben impliziert eine orthogonale Basis. Wenn Sie Ihre Basis ändern (z. B. mit axis $Y$ anstatt $y$ ) ohne Ihre Metrik zu ändern, werden Ihre Formeln komplizierter.

Sie haben absolut Recht, dass die Physik und damit die Messungen nicht von dem von Ihnen verwendeten Koordinatensystem abhängen sollten. Eine Länge von 1 Meter ist eine Länge von 1 Meter (ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie). Um z. B. die Länge eines Skalars zu messen, müssen Sie das innere/skalare Produkt gemäß Ihrer Metrik berechnen, damit die Besonderheiten der Metrik dort enthalten sind.

Betrachten Sie zB die Arbeit einer konstanten Kraft $F$ entlang $x$ . In Tensorschreibweise wird das Skalarprodukt sein

W = ⟨ F, X ⟩ = G_{μ v} F^{μ} X^{v}

$W=\left<F,x\right> = g_{\mu\nu}~F^{\mu}x^{\nu}$

Dies ist bis zu diesem Punkt unabhängig von Ihrer genauen Metrik. Genau dann, wenn Sie Ihre euklidische Metrik verwenden $g_{\mu\nu}=g_\mathrm{\mu\nu,~euclidean}=I$ ,

W = ⟨ \vec{F}, \vec{X} ⟩ = G_{μ v, e u C l ich D e A N} F^{μ} X^{v} = F^{1} X^{1} + F^{2} X^{2} + F^{3} X^{3} = F_{X} X + F_{j} j + F_{z} z

$W=\left<\vec F,\vec x \right> = g_\mathrm{\mu\nu,~euclidean} ~F^{\mu} x^{\nu} = F^1 x^1 + F^2 x^2 + F^3 x^3 = F_x x + F_y y + F_z z$

Dieses Skalarprodukt ist dasselbe wie Sie es gewohnt sind.

Bei jeder anderen Metrik würde Ihre Formel bis zu dem Punkt, an dem Koordinaten ins Spiel kommen, immer noch gleich aussehen (Sie müssen die Dimension eigentlich nicht einmal kennen), und Sie erhalten dasselbe skalare Ergebnis (solange die spezifischen Koordinaten gehören zu den Metriken/Grundvektoren), nur die Metrik sieht anders aus. Sie müssten also nicht viel tun, wenn Sie von wechseln $y$ Zu $Y$ , außer für andere Koordinaten und einschließlich der Metrik, wo sie benötigt wird, aber Ihre Metrik hätte dann Werte nicht nur auf der Diagonalen. Dadurch erhalten Sie dieselben gemischten Terme wie zuvor (der Absolutwert kann sich natürlich nicht ändern), aber dies geschieht erst im "letzten Schritt" der Berechnung. Das ist übrigens. gilt immer noch für zB Kugelkoordinaten, die immer noch orthogonal sind, sie haben auch ein "einfaches" Skalarprodukt.

Die zugrunde liegende Vereinfachung, die Sie verwenden, besteht also darin, dass Sie mit einer orthogonalen Basis / Metrik beginnen, und das ist natürlich eine natürliche, gute und offensichtliche Idee (es sei denn, Sie wollen Ihre Schüler quälen), aber es hätte auch anders sein können. Der Hauptgrund, warum die Verwendung einer orthogonalen Basis einfacher ist, besteht darin, dass Sie Ihre offensichtliche Metrik beibehalten (wollen). Wenn Sie zu einer nicht-orthogonalen Basis wechseln und dabei die orthogonale Metrik beibehalten, werden Ihre Formeln komplizierter. Durch die Verwendung von Tensoren (und das bedeutet im Grunde, dass die Basis UND die Metrik geändert werden) bleiben die Formeln gleich, aber die Metrik wird komplizierter.

Formeln in Tensornotation sind unabhängig von Ihrer konkreten Basis. Genauer gesagt sind diese Formeln Lorentz-invariant. Das sehr Schöne ist, dass im Grunde alle Formeln, die Sie unterrichten, als Tensor nicht viel anders aussehen (weil sie das "Konzept" beschreiben), es wird nur einen Unterschied geben, wenn Sie bestimmte Koordinaten eingeben. Erste Unterschiede ergeben sich bei der Verwendung von Vektorprodukten, z $\vec\omega = \vec{v} \times \vec{r}$ , wo eine andere Basis ein "-"-Zeichen in die einführen könnte $\vec\omega$ , während es als Tensor geschrieben wird, ändert sich das Vorzeichen nicht (leider ist ein Tensor- $\vec\omega$ es wird kein einfacher Vektor mit 3, sondern mit 9 Komponenten). Und vielleicht sind nicht alle Berechnungen, die Sie durchführen, "tensorsicher" (z. B. Schreiben $\vec F \vec x = F_x x + F_y y + F_z z$ ausdrücklich ohne das Hinzufügen der Metrik wäre nicht mehr tensorsicher - nicht, dass Sie darüber den Schlaf verlieren sollten).

Das Unglückliche (oder für Ihre Schüler: Gute) ist, dass Sie wahrscheinlich keinen Grund haben, Tensoren in Ihrem Unterricht zu verwenden, daher werden Ihnen diese Informationen nicht helfen, es zu erklären, es sei denn, Sie schließen vielleicht die spezielle Relativitätstheorie ein (obwohl es übertrieben wäre, Tensoren nur dafür einzuführen). , und es gibt wahrscheinlich nicht viel zu lernen, es sei denn, Sie wollen Physik oder Mathematik studieren).

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und Zeit. Ihre Erklärungen waren so nützlich und ich habe viel gelernt. Danke nochmal.

Wissenschaft · Answer 2

Wir verwenden nicht immer orthogonale Koordinatenrahmen. Bei der Arbeit mit Drehstrommotoren ist es beispielsweise manchmal praktisch, mit einem dreiachsigen Koordinatensystem in einer Ebene zu arbeiten. Bequemlichkeit, Einfachheit beiseite, der Hauptgrund, warum wir am häufigsten mit orthogonalen Referenzrahmen arbeiten, ist das Konzept der Dimension.

Wir können ein n-dimensionales lineares System als einen Satz von n linearen unabhängigen Gleichungen ausdrücken. Bei einem linearen System definiert die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren die Dimension des Systems.

Danke für deine Antwort. Wollen Sie damit sagen, dass wir wegen der Linearität ein orthogonales Koordinatensystem verwenden? Die Linearität gilt jedoch auch in einem nicht orthogonalen Koordinatensystem.
@hyportnex richtig. Es gibt Modelle und es gibt die physische Realität. Die Realität mag manchmal linear erscheinen, aber wenn man genauer hinschaut ... Meine Antwort, die mehr die Welt der Modelle anspricht.
@lucas "Linearität gilt auch in nicht orthogonalen Koordinatensystemen" - das kann wahr sein, aber es erschwert die Eigenanalyse und die Bestimmung der Dimensionalität unter Verwendung dieser Referenzrahmen.
@docscience "es macht es schwieriger " Sie stimmen mir also zu, dass der einzige Grund Einfachheit ist?

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