Ausdrücken kartesischer Einheitsvektoren in Form von ebenen polaren Einheitsvektoren, um zu beweisen, dass Ersteres nicht von der Position abhängt

Wie drücke ich nun kartesische Einheitsvektoren in Form von polaren Einheitsvektoren aus, um zu zeigen, dass sie unabhängig von sind$r$Und$θ$?

Wenn Sie die kartesischen Einheitsvektoren in Form von polaren Einheitsvektoren ausdrücken, bedeutet dies, dass sie nicht unabhängig voneinander sind. Die Einheitsvektoren$i$Und$j$unabhängig sind und so ist$\hat{r}$Und$\hat{\theta}$. Aber eine Menge ist nicht unabhängig von anderen.

Finden$i$bezüglich$r$Und$\theta$durch Eliminieren$j$aus zwei Gleichungen. Folgendermaßen

$$\cos(\theta)\hat{r}=\cos^2(\theta)\hat{i}+\cos\theta\sin(\theta)\hat{j}$$ $$\sin(\theta)\hat{\theta}=-\sin^2(\theta)\hat{i}+\cos(\theta)\sin(\theta)\hat{j}$$ subtrahieren:

$$\hat{i}=\cos(\theta)\hat{r}-\sin(\theta)\hat{\theta}$$ ähnliches Verfahren für$\hat{j}$.

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Wenn Sie die lineare Unabhängigkeit von zeigen möchten$\hat{r}$Und$\hat{\theta}$dann können Sie zeigen, dass sie senkrecht zueinander stehen:

$$\hat{r}\cdot\hat{\theta}=0$$ und für Einheitsvektoren$\hat{r}\cdot\hat{r}=1=\hat{\theta}\cdot \hat{\theta}$.