Newtons zweites Gesetz mit Einheitsvektoren

Es ist äquivalent zu schreiben:

$$\vec v=v_x\cdot \hat x+v_y\cdot \hat y+v_z\cdot \hat z$$

Und

$$\vec v=v\cdot \hat v+0\cdot \hat w+0\cdot \hat \omega$$

(Letzteres vereinfacht sich zu$\vec v=v\cdot \hat v$. Und$v$passiert gleich$||\vec v||$.)

Beide beschreiben denselben Vektor, aber in unterschiedlichen Koordinatensystemen.

• Einer ist der übliche und bekannte ( kartesische ) ($\hat x$,$\hat y$,$\hat z$)-Koordinatensystem und
• der andere ist neu ($\hat v$,$\hat w$,$\hat \omega$)-Koordinatensystem, das wir extra für diese Situation erfunden haben. Es wurde erfunden, dass seine erste Achse entlang des Vektors liegt, daher sind die 2. und 3. Koordinate Null.

Sie können ein solches neues Koordinatensystem jederzeit spontan erfinden. Es enthält drei Basisvektoren – genug, um die gesamte physische 3D-Welt vollständig zu beschreiben – es ist also vollkommen legal und gültig. Sie können sich das neue Koordinatensystem als eine „geneigte“ Version des üblichen vorstellen; geneigt, um dem Vektor zu entsprechen. Unabhängig vom Koordinatensystem ist der Vektor derselbe – wir betrachten dasselbe Objekt, wechseln aber sozusagen die „Perspektive“.

Dies vereinfacht die Mathematik (reduziert die Anzahl der Koordinatenterme) und ist daher intelligent. Das Ändern von Koordinaten ist eine ganze Disziplin in der Mathematik und sehr nützlich in der Physik.

Nun zu Ihrem konkreten Beispiel

Sie schreiben Newtons 2. Gesetz so:

$$||\vec F||\cdot \hat r=m\vec a$$

aber warum dort aufhören? Warum nicht die Einheitsvektor-Notation so fortsetzen:

$$||\vec F||\cdot \hat r=m||\vec a||\cdot \hat r$$

Schließlich zeigen Kraft und Beschleunigung beide in die gleiche Richtung. Sie können beide aus demselben Einheitsvektor geschrieben werden, den Sie aufrufen möchten$\hat r$. Wir könnten es erweitern, um die vollständige Linearkombination zu zeigen:

$$||\vec F||\cdot \hat r+0\cdot\hat p+0\cdot\hat q=m(||\vec a||\cdot \hat r+0\cdot\hat p+0\cdot\hat q)$$

bei dem die ($\hat r$,$\hat p$,$\hat q$)-Koordinaten sind diejenigen, die wir für diese spezielle Situation erfunden haben, sodass die erste Achse mit dem Vektor ausgerichtet ist.

Beide$\vec F$und das$\vec a$Vektoren hätten genauso gut in üblichen kartesischen Koordinaten geschrieben werden können:

$$F_x\cdot \hat x+F_y\cdot\hat y+F_z\cdot\hat z=m(a_x\cdot \hat x+a_y\cdot\hat y+a_z\cdot\hat z)$$

Aber jetzt werden weniger Terme Null sein. Das ist komplizierter, aber genauso richtig.

Nun, was muss ich tun, um zu bekommen$\hat{r}$gleich einer linearen Kombination, so dass ich das Skalarprodukt auf beiden Seiten verwende, um meine Skalargleichungen zu erhalten?

Es scheint in diesem letzten Satz von Ihnen, dass Sie das wollen$\hat r$als Linearkombination von geschrieben werden$\hat x$,$\hat y$Und$\hat z$? Wenn ja, dann kannst du im Grunde nur durch dividieren$||\vec F||$Begriff auf beiden Seiten, und dann$\hat r$ist isoliert:

$$\begin{align} ||\vec F||\hat r&=m(a_x\cdot \hat x+a_y\cdot\hat y+a_z\cdot\hat z)\quad\Leftrightarrow\\ ~&~\\ \hat r&=\frac m{||\vec F||}(a_x\cdot \hat x+a_y\cdot\hat y+a_z\cdot\hat z)\\ &=\frac{ma_x}{||\vec F||}\cdot \hat x+\frac{ma_y}{||\vec F||}\cdot\hat y+\frac{ma_z}{||\vec F||}\cdot\hat z \end{align}$$

Voila. Meintest du das oder habe ich die Frage falsch verstanden?