Einfaches Pendel Warum verallgemeinerte Koordinate immer Winkel?

Die Schwerkraft liegt in der$\hat y$Richtung, aber das ist nicht die einzige Kraft in dem Problem. Es gibt auch Spannung in der Saite, die entlang der Saite zeigt. Die Gesamtkraft zeigt dann tangential zum Kreis.

Anders ausgedrückt: Sie können in Koordinaten arbeiten$x,y$mit Basisvektoren$\hat x$,$\hat y$, aber dann die Kraftpunkte in beiden$\hat x$Und$\hat y$Richtungen. Wenn Sie stattdessen in den Koordinaten arbeiten$r,\theta$, mit Einheitsvektoren$\hat{r}$,$\hat{\theta}$, Sie werden feststellen, dass die Kraftpunkte nur in der$\hat \theta$Richtung, ohne Komponente entlang$\hat r$. Das sind also schönere Koordinaten!

Da die Zeichenkette eine feste Länge l hat, können wir schreiben$x=\sqrt(l^2-y^2)$

Ähm nein

$x=\pm\sqrt{l^2-y^2}$

Es gibt also zwei verschiedene Positionen des Systems mit dem gleichen$y$Wert, eins mit positiv$x$und eins mit negativ$x$, ein wenig darüber nachzudenken, wie ein Pendel schwingt, zeigt das sowohl positiv als auch negativ$x$Werte sind Teil des normalen Betriebsbereichs des Pendels.

Die Antwort von Peter Green hat Ihnen bereits den Fehler gezeigt ($x=\sqrt{l^2-y^2}$stimmt nicht generell), aber das sieht man auch direkt$y$ist keine ausreichende Koordinate:

Egal wie schnell sich das Pendel bewegt, am Boden haben wir immer$y=-l$Und$\dot{y}=0$. Daher kann man den Zustand des Systems nicht einfach so beschreiben$y$Und$\dot{y}$.

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Bearbeiten: Es ist auch erwähnenswert, dass die anderen Antworten tatsächlich richtig sind$\theta$wird anstelle von kartesischen Koordinaten verwendet, auch weil es tatsächlich die Wahl ist, die die einfachsten (und subjektiv natürlichsten) Gleichungen ergibt.

Sie können jedes beliebige Koordinatensystem verwenden. Einige von ihnen machen es jedoch viel einfacher, die Bewegungsgleichungen zu lösen. Vor allem, wenn Sie wählen$\theta$dann haben Sie am Ende ein System, das offensichtlich einen Freiheitsgrad hat, während, wenn Sie es wünschen$x$&$y$Sie müssen es in zwei Dimensionen mit einer Einschränkung zwischen ihnen ausdrücken:$y = -\sqrt{l^2 - x^2}$.

Die Leute wählen im Allgemeinen gerne das Koordinatensystem, das die Lösung am einfachsten macht.

Die Koordinaten$x$,$y$oder gerade (Bogenlänge)$s$sind so gut wie$\theta$als verallgemeinerte Koordinate. Der Unterschied zwischen ihnen kann nur eine Frage der Bequemlichkeit sein.

Lassen Sie uns als kurze Übung sehen, was passiert, wenn wir uns für eines der beiden entscheiden$\theta$oder$y$als verallgemeinerte Koordinate.

Erste$q=\theta$. Dann ist der Lagrangian

$$L=\frac{1}{2}l^2\dot\theta^2+gl\cos\theta,$$ wobei wir der Einfachheit halber die Einheitsmasse wählen. Die Bewegungsgleichung lautet $$\ddot \theta+\frac gl\sin\theta=0,$$ und kleine Schwingungen bedeutet $\sin\theta\approx\theta$, somit $$\ddot \theta+\frac gl\theta=0.$$

Nun lass$q=y$. Dann

$$L=\frac 12\left(1+\frac{y^2}{l^2-y^2}\right)\dot y^2+gy=\frac 12\frac{l^2\dot y^2}{l^2-y^2}+gy,$$ seit wir eliminieren $x$unter Verwendung der Einschränkung $x^2+y^2=l^2$. Die Bewegungsgleichung sieht viel schlechter aus, $$\frac{d}{dt}\left(\frac{l^2\dot y}{l^2-y^2}\right)-\frac{l^2y\dot y^2}{(l^2-y^2)^2}-g=0.$$ da die Zeitableitung auf beide wirken muss $\dot y$Und $y$. Darüber hinaus ist die Annäherung an kleine Oszillationen nicht einfach wie im vorherigen Fall. Sie werden überlegen $l-y\ll l$und Taylor erweitern.

Beachten Sie auch, dass Sie, da die Beschränkung holonom ist, ein duales Problem betrachten können , das tatsächlich drei Freiheitsgrade hat ($x$,$y$Und$\lambda$)

$$L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2)+gy+\lambda(x^2+y^2-l^2).$$ Unter Verwendung von Euler-Lagrange-Gleichungen für $q_i=x,\ y,\ \lambda$, $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,$$ wir erhalten die Bewegungsgleichungen für $x$, $y$Und $\lambda$, wobei letzteres nur die Einschränkung ist. Es ist jedoch viel einfacher, mitzuhalten $q=\theta$.

In der Lagrange-Mechanik ist die Spannung der Saite eine einschränkende (unbekannte) Kraft, daher wird sie durch eine holonome Einschränkung "ersetzt":

$$x^2+y^2=\ell^2 \tag 1\\$$

Sie haben die freie Wahl$x$oder$y$als verallgemeinerte Koordinate, aber Sie können nur eine davon auswählen, da es eine Einschränkung und zwei kartesische Koordinaten gibt$(x,y)$, also ist die Anzahl der Freiheitsgrade (die mit der Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten identisch ist) einfach:$2-1=1$Freiheitsgrad ($1$verallgemeinerte Koordinate). Darüber hinaus müssen die verallgemeinerten Koordinaten unabhängig sein, dh es gibt keine Beziehung oder Formel, die sie zusammenfasst, was nicht der Fall ist, wie aus der Beschränkung hervorgeht$(1)$( z . B. wenn ich den Wert von kenne$x$zum Zeitpunkt$t_1$und setze es in Gl$(1)$Ich kann den Wert reduzieren$y$).

Es gibt jedoch eine andere äquivalente Einschränkung:

$$S=\ell \theta \tag 2\\$$ Wo $S$ist die Bogenlänge der Kreisbahn des Bobs.
Diese beiden Einschränkungen sind im Grunde gleich (und sie zählen als eine), weil sie die gleiche Information über die Geometrie des Systems enthalten: Der Bewegungspfad ist kreisförmig und sie sagen uns, dass die Saite nicht dehnbar ist (mit konstanter Länge). Nach der gleichen Argumentation können Sie wählen $S$oder $\theta$als verallgemeinerte Koordinate. Da wir eine Rotationsbewegung haben, ist es bequem, den Winkel zu verwenden $\theta$als verallgemeinerte Koordinate.

Es ist wichtig zu beachten, dass jede Wahl der verallgemeinerten Koordinaten dieselbe Bewegungsdifferentialgleichung ergibt (daher dieselbe Lösung für die Koordinate und dieselbe Eigenschwingungsfrequenz).$\omega_0$).