Verstehen Sie den Konfigurationsraum des starren Körpers, die Notwendigkeit eines integralen Rahmens

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Verstehen Sie den Konfigurationsraum des starren Körpers, die Notwendigkeit eines integralen Rahmens

jacopoburelli

Ich möchte das Konzept des Konfigurationsraums eines starren Körpers tiefer verstehen. Aus den Formeln ergibt sich die Frage nach bekannten physikalischen Größen für starre Körper. Lassen Sie uns einen zufälligen untersuchen, zum Beispiel den Winkelmoment $M_Q$ , gegenüber $Q \in \mathbb{E}^3$ , Wo $\mathbb{E}^3$ ist der zugrunde liegende affine Raum:

M_{Q} = \int_{C} ρ (X^{'}) (χ (Q; X^{'}) - X_{Q}) \times v (Q, \dot{Q}, X^{'}) D X^{'} = \int_{C} ρ (X^{'}) (X_{Ö^{'}} + R X^{'} - X_{Q}) \times (v_{Ö^{'}} + ω \times R X^{'}) D X^{'}

$M_Q = \int_C \rho(x')(\chi(q;x')-x_Q) \times v(q,\dot{q},x')dx' = \int_C \rho(x')(x_{O'}+Rx'-x_Q)\times(v_{O'}+\omega \times R x')dx'$

Hier $C$ bezeichnet den starren Körper, $\Sigma'$ , $\rho$ die Dichte (integrierbar auf der Koordinate von $C$ In $\Sigma'$ ), $q = (x_{O'},\alpha)$ , $R = R(\alpha)$ Wo $\alpha = (\varphi,\theta,\psi)$ sind die Euler-Winkel .

Was ich mich gefragt habe, ist, warum wir in einen festen Rahmen integrieren müssen (ich glaube nicht, dass die Terminologie hier integral mit dem starren Körper sein könnte, was ich meine, ist, dass die Geschwindigkeit der Punkte des starren Körpers in $\Sigma'$ Sind $0$ , also konstante Koordinaten). Wenn ich meine Notizen durchgehe, denke ich, dass der Grund auf dem folgenden Theorem beruht:

Satz: Betrachten Sie einen starren Körper mit drei Punkten $P_1,P_2,P_3$ nicht ausgerichtet. Die Karte
$ϕ : R^{3} \times S Ö (3) ⟶ R^{9}$ $\phi : \mathbb{R}^3 \times SO(3) \longrightarrow \mathbb{R}^9$ so dass $\phi(x_{O'},R) = (x_{O'}+Rx_1',x_{O'}+Rx_2',x_{O'}+Rx_3')$ Wo $x_j'$ sind die Koordinaten von $P_j$ im festen Rahmen, ist ein Diffeomorphismus auf dem Bild $\phi(\mathbb{R}^3 \times SO(3))$ .

Zweifel, die ich ausräumen möchte:

$\bullet \hspace{0.1cm}$ Ich verstehe den Beweis des Satzes, der davon abhängt, einen festen Rahmen zu nehmen $\Sigma'$ , was ich nicht verstehe ist, warum notwendig ist. Im Allgemeinen können die Koordinaten des starren Körpers in einem festen Rahmen nicht bestimmt werden $\Sigma$ , ohne durch einen festen Rahmen zu gehen $\Sigma'$ ? Wenn ja, gibt es ein handhabbares Gegenbeispiel?

(Insbesondere sehe ich nicht, wie die Euler-Winkel eine besondere Rolle spielen, wenn es um integrale Rahmen geht. Ich denke, dieselben Euler-Winkel könnten den Übergang von zwei orthonormalen Basis zu einer anderen beschreiben, ohne dass die zweite am Körper "fixiert" wird, oder? falsch ?)

$\bullet \hspace{0.1cm}$ Im Allgemeinen, wenn ich keinen soliden Rahmen nehme, könnte der Konfigurationsraum kein Mannigfaltigkeit sein? Es sollte also keinen Sinn machen, darauf zu integrieren? Ist das richtig ? Warum sollte man sich sonst die Mühe machen, die Integrale zu definieren, die durch einen integralen Rahmen gehen?

Ich bin neu bei Physics Stack Exchange, also entschuldige ich mich, wenn ich einen Fehler in Bezug auf die Richtlinien der Fragen gemacht habe. Jede Hilfe wäre willkommen.

Bearbeiten: Die Definition von "solidem" Rahmen, die ich verwende, lautet: gegebener Rahmen $\Sigma' = O' e_1',e_2',e_3'$ , das nennt man solidale zum starren Körper $C$ sind alle Punkte $P_j$ des Körpers haben $0$ Geschwindigkeit bezüglich $\Sigma'$ , dh die Koordinaten der Punkte $P_j$ sind kostenintensiv $\Sigma'$ .

Michael Seifert

Willkommen in der Physik ! Ich bin mit den Begriffen „Vollrahmen“ und „Integralrahmen“ nicht vertraut; kannst du sie definieren? Insbesondere wenn Sie diese Begriffe in einer anderen Sprache gelernt haben, kann es hilfreich sein, sie in dieser Sprache bereitzustellen, da englische Übersetzungen von Fachbegriffen nicht immer einfach sind.

jacopoburelli

@MichaelSeifert Die Definitionen mit einer Bearbeitung hinzugefügt, könnten Sie mir den richtigen Begriff auf Englisch vorschlagen?

Michael Seifert

Das ist hilfreich; Ich denke, was Sie den "soliden Rahmen" nennen, wird im Englischen häufiger als "Körperrahmen" bezeichnet. Siehe Seite 2 dieser Notizen . Können Sie eine ähnliche Definition für "Integralrahmen" geben?

jacopoburelli

@MichaelSeifert Ich habe Integral Frame als gleichwertiges Wort für Solidal verwendet, weil ich dachte, der Name könnte eindrucksvoll sein

jacopoburelli

@MichaelSeifert Unter Berufung auf Ihre Notizen "Um dies zu beschreiben, geben wir Positionen in einem festen Raumrahmen an". Das ist genau das, was ich in meiner Frage frage, die ich nicht verstehe

Antworten (1)

Verstehen Sie den Konfigurationsraum des starren Körpers, die Notwendigkeit eines integralen Rahmens

Willkommen in der Physik ! Ich bin mit den Begriffen „Vollrahmen“ und „Integralrahmen“ nicht vertraut; kannst du sie definieren? Insbesondere wenn Sie diese Begriffe in einer anderen Sprache gelernt haben, kann es hilfreich sein, sie in dieser Sprache bereitzustellen, da englische Übersetzungen von Fachbegriffen nicht immer einfach sind.
@MichaelSeifert Die Definitionen mit einer Bearbeitung hinzugefügt, könnten Sie mir den richtigen Begriff auf Englisch vorschlagen?
Das ist hilfreich; Ich denke, was Sie den "soliden Rahmen" nennen, wird im Englischen häufiger als "Körperrahmen" bezeichnet. Siehe Seite 2 dieser Notizen . Können Sie eine ähnliche Definition für "Integralrahmen" geben?
@MichaelSeifert Ich habe Integral Frame als gleichwertiges Wort für Solidal verwendet, weil ich dachte, der Name könnte eindrucksvoll sein
@MichaelSeifert Unter Berufung auf Ihre Notizen "Um dies zu beschreiben, geben wir Positionen in einem festen Raumrahmen an". Das ist genau das, was ich in meiner Frage frage, die ich nicht verstehe

Vasily Mitch · Answer 1

Sie benötigen keinen Körperrahmen, um eine der physikalischen Größen (Winkelimpuls, Trägheitsmoment, Energie usw.) zu integrieren. Überschaubares Gegenbeispiel? Stellen Sie sich ein Rad vor, das sich um seine Achse dreht. Ich wette, Sie können seinen Schwung sowohl in festen als auch in Körperrahmen berechnen. Euler-Winkel müssen nicht am Körper befestigt werden. Wenn Sie eine komplexe Bewegung lösen (z. B. einen Kegel, der auf einem Tisch rollt), werden Sie manchmal einen rotierenden Zwischenrahmen betrachten, der keinem Körper zugeordnet ist, und ihn mit Euler-Winkeln beschreiben.
Der Konfigurationsraum konnte im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeit sein. Aber im Fall eines starren Körpers ist es so. Es ist Ihre Erwähnung $\mathbb R^3\times SO(3)$ .

Der Grund, warum es manchmal nützlich ist, in einen Körperrahmen zu integrieren, ist, dass er das Problem in Teile aufteilt wie 1) die Berechnung von Größen in einem Körperrahmen, die nicht von Zeit oder Ausrichtung eines Körpers abhängen, 2) unter Verwendung bekannter Transformationsgesetze um es bei Bedarf zum Laborsystem zurückzubringen. Mit anderen Worten, es nutzt die Symmetrie der Starrkörperbewegung.

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jacopoburelli

Michael Seifert

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Michael Seifert

jacopoburelli

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Vasily Mitch

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