Trägheitsmoment radialer Bewegungen

Question

Trägheitsmoment radialer Bewegungen

Physik
Trägheitsmoment
klassische Mechanik
Newtonsche Mechanik
Starrkörperdynamik

Cham

Ich suche nach einigen Referenzen zu einem bestimmten Trägheitsmoment für radiale Bewegungen eines kugelförmigen Körpers . In meinen Berechnungen habe ich dieses Integral erhalten:

\begin{matrix} (1) & \bar{ICH} = \int R^{2} D M = \int_{v} ρ (R) R^{2} D^{3} X, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \bar{I} = \int r^2 \, dm = \int_{\mathcal{V}} \rho(r) \, r^2 \, d^3 x, \end{equation}$ Wo

ρ

$\rho$ ist die Materiedichte und

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ definiert die übliche radiale Koordinate (der Koordinatenursprung befindet sich im Mittelpunkt des Kugelkörpers). Für eine gleichmäßige Massenverteilung ist dieses Integral einfach zu berechnen:

\begin{matrix} (2) & \bar{ICH} = \frac{3}{5} M R^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \bar{I} = \frac{3}{5} \; M R^2. \end{equation}$ Bitte verwechseln Sie dies nicht mit dem bekannten Trägheitsmoment der Kugel um eine Rotationsachse . Hier geht es um radiale Bewegungen und nicht um Rotation.

Ich habe das in keinem Buch über Mechanik gesehen.

Beachten Sie, dass der obige Ausdruck (1) auch die Hälfte der Spur des Trägheitstensors ist:

\begin{matrix} (3) & {ICH}_{ich J} = \int_{v} (R^{2} δ_{ich J} - X_{ich} X_{J}) ρ D^{3} X, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} I_{ij} = \int_{\mathcal{V}} (r^2 \, \delta_{ij} - x_i \, x_j) \, \rho \; d^3 x, \end{equation}$ Dann haben wir das:

\begin{matrix} (4) & \bar{ICH} \equiv \frac{1}{2} {ICH}_{k k} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \bar{I} \equiv \frac{1}{2} \; I_{kk}. \end{equation}$

Ich bin mir nicht sicher, ob das durch (1) definierte "radiale Trägheitsmoment" (wenn es richtig interpretiert wird) den richtigen Faktor erhält.

Irgendwelche Gedanken dazu?

Martin Üding

Ist „Radialbewegung“ nicht nur eine einfache Massenmittelpunktsbewegung und das „Trägheitsmoment“ ist nur die Masse

M

$M$ dieser Sphäre?

Cham

@MartinUeding, ich bin mir nicht sicher. Stellen Sie sich eine einheitliche Kugel im Zentrum Ihres Ursprungssystems vor. Geben Sie ihm eine radiale Bewegung (Kompression, Dehnung, Schwingungen), ohne die sphärische Symmetrie zu brechen. Ich denke, dass Integral (1) seine Trägheit für solche radialen Bewegungen misst.

Sammy Rennmaus

Welche physikalische Bedeutung hat Ihrer Meinung nach die physikalische Größe in den Gleichungen (1) oder (2)? Können Sie eine Gleichung schreiben, die es verwendet? zB etwas ähnliches wie

L = I ω

$L = I\omega$ Zusammenhang von Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit. Oder ist das vielleicht die Frage, die Sie uns stellen? Nur weil Sie eine mathematische Definition schreiben können, heißt das nicht, dass sie irgendeine physikalische Bedeutung hat.

Cham

@sammygerbil, es hängt mit Energie und radialen Schwingungen der Kugel zusammen:

\bar{ICH} \frac{D^{2} δ R}{D T^{2}} = (3 γ - 4) U δ R,

$\begin{equation} \bar{I} \; \frac{d^2 \delta R}{d t^2} = (3 \gamma - 4) \, U \, \delta R,\end{equation}$ Wo

γ

$\gamma$ ist der adiabatische Index des Materials und

U

$U$ ist die potentielle Energie der Kugel.

\bar{I}

$\bar{I}$ ist das "radiale Trägheitsmoment", das ich oben definiert habe.

R

$R$ ist der Radius der ganzen Kugel, und

δ R = R - R_{0}

$\delta R = R - R_0$ ist seine Variation (relativ zum Gleichgewichtswert

R_{0}

$R_0$ ) sich aufgrund der Schwerkraft und des Innendrucks zeitlich ändern.

Benutzer121330

Was meinst du mit Radialbewegung? Translation und Rotation beschreiben die Bewegung eines Objekts vollständig, es sei denn, Sie untersuchen die Objektverformung, die eine ganze Tüte voller Würmer ist. Wenn wir ein zweites Objekt haben, können seine Bewegungen beispielsweise durch die Relativbewegung der Körper, ihre Drehungen und die Bewegung des Systems beschrieben werden. Wie viele Körper und in welche Richtung könnten sie sich bewegen?

Cham

@ user121330, radiale Bewegungen einer Kugel! Stellen Sie sich einfach eine pulsierende Kugel vor (die sich ausdehnt und/oder zusammenzieht).

Exmaschine

Ich denke, etwas mehr Kontext könnte nützlich sein. Sie meinen eine gleichmäßig pulsierende Kugel, wie bei einem pulsierenden Stern (kein starrer Körper), richtig? In diesem Fall ist die Geschwindigkeit eines Punktes

v_{i} = \dot{ϵ} x_{i}

$v_i=\dot\epsilon x_i$ , und die kinetische Energie in einem Volumen

d V

$dV$ Ist

ρ v^{2} d V / 2

$\rho v^2 dV/2$ Wo

d \bar{I} = ρ v^{2} d V

$d\bar I=\rho v^2 dV$ ist Ihr "pulsierendes Trägheitsmoment" des Elements, wo

v^{2} = {\dot{ϵ}}^{2} x_{i}^{2}

$v^2=\dot\epsilon^2 x_i^2$ . Wenn Sie dies mit Rotationen vergleichen möchten, denken Sie daran

\vec{v} = \vec{ω} \times \vec{r}

$\vec v=\vec\omega\times\vec r$ , und Sie können dies erweitern als

ρ v^{2} d V = I_{i j} x_{i} x_{j}

$\rho v^2 dV=I_{ij}x_i x_j$ . Die Ableitungen sind ähnlich; Sie könnten eine Beziehung zwischen erwarten

\bar{I}

$\bar I$ und ich.

Cham

@exmachina, deine Berechnung scheint meiner ähnlich zu sein. Sie erhalten also dieselbe Gleichung wie in meinem Kommentar oben? Diese pulsierende Kugel sollte irgendwo freigelegt werden. Irgendwelche Referenzen dazu?

Benutzer121330

Sie betrachten also ein Objekt, das sich verformt ... Was versuchen Sie zu bestimmen - die Bewegung eines Teilchens in einem Medium? Das Volumen (/Radius/Oberfläche) der Kugel als Funktion der Zeit?

Cham

@ user121330, der Radius der Kugel als Funktion der Zeit. Ich habe bereits die Differentialgleichung (in einer Nachricht oben angegeben). Ich habe mich nur über dieses "radiale Trägheitsmoment" gewundert.

Exmaschine

@Cham Eine angemessene Google-Suche sollte Ihnen etwas bringen. Siehe zum Beispiel Gl. (6) auf p. 139 hier: adsabs.harvard.edu/full/1954AJ.....59..137H wo der Autor die

\frac{3}{5} M R^{2}

$\frac 35 MR^2$ Ausdruck für einen kugelförmigen Körper. Diese Beziehung zur Spur der Rotationsträgheitsmatrix liegt daran, dass beide auf Quadrate/Produkte von Koordinaten und bezogen sind

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$r^2=x^2+y^2+z^2$ ist die einzige Skalarkombination davon. Aber ich und

\bar{I}

$\bar I$ sehr unterschiedliche physikalische Bedeutungen haben.

Cham

@exmachina, dann ist das genau der Sinn meiner Frage! Was ist die physikalische Bedeutung von

\bar{I}

$\bar{I}$ ? (was ich das "radiale Trägheitsmoment" genannt habe, da es mit der Spur des Trägheitstensors zusammenhängt).

Cham

@exmachina, beachten Sie, dass Gleichung (13) in dem Dokument, auf das Sie verweisen, der Gleichung in meiner zweiten Nachricht oben ähnlich (aber nicht identisch) ist. Meine Gleichung ist allgemeiner, da es sich um eine polytrope sphärische Gaswolke (dh einen Stern) mit adiabatischem Index handelt

γ

$\gamma$ . Meine Gleichung zeigt, dass ein Stern aus relativistischem Gas besteht;

γ = \frac{4}{3}

$\gamma = \frac{4}{3}$ , ist instabil. Wenn

γ < \frac{4}{3}

$\gamma < \frac{4}{3}$ , der Stern implodiert oder explodiert (seit

U < 0

$U < 0$ ).

John Alexiou

Wie kann es ein Trägheitsmoment ohne Rotation geben? Keine Rotation => kein Drehimpuls => kein MMOI. Sie müssen in der Frage mehr Kontext bereitstellen oder einige Links hinzufügen, wo dies der Fall ist

I

$I$ wird eingesetzt.

Antworten (2)

Trägheitsmoment radialer Bewegungen

Ist „Radialbewegung“ nicht nur eine einfache Massenmittelpunktsbewegung und das „Trägheitsmoment“ ist nur die Masse $M$ dieser Sphäre?
@MartinUeding, ich bin mir nicht sicher. Stellen Sie sich eine einheitliche Kugel im Zentrum Ihres Ursprungssystems vor. Geben Sie ihm eine radiale Bewegung (Kompression, Dehnung, Schwingungen), ohne die sphärische Symmetrie zu brechen. Ich denke, dass Integral (1) seine Trägheit für solche radialen Bewegungen misst.
Welche physikalische Bedeutung hat Ihrer Meinung nach die physikalische Größe in den Gleichungen (1) oder (2)? Können Sie eine Gleichung schreiben, die es verwendet? zB etwas ähnliches wie $L = I\omega$ Zusammenhang von Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit. Oder ist das vielleicht die Frage, die Sie uns stellen? Nur weil Sie eine mathematische Definition schreiben können, heißt das nicht, dass sie irgendeine physikalische Bedeutung hat.
@sammygerbil, es hängt mit Energie und radialen Schwingungen der Kugel zusammen: $\bar{ICH} \frac{D^{2} δ R}{D T^{2}} = (3 γ - 4) U δ R,$ $\begin{equation} \bar{I} \; \frac{d^2 \delta R}{d t^2} = (3 \gamma - 4) \, U \, \delta R,\end{equation}$ Wo $\gamma$ ist der adiabatische Index des Materials und $U$ ist die potentielle Energie der Kugel. $\bar{I}$ ist das "radiale Trägheitsmoment", das ich oben definiert habe. $R$ ist der Radius der ganzen Kugel, und $\delta R = R - R_0$ ist seine Variation (relativ zum Gleichgewichtswert $R_0$ ) sich aufgrund der Schwerkraft und des Innendrucks zeitlich ändern.
Was meinst du mit Radialbewegung? Translation und Rotation beschreiben die Bewegung eines Objekts vollständig, es sei denn, Sie untersuchen die Objektverformung, die eine ganze Tüte voller Würmer ist. Wenn wir ein zweites Objekt haben, können seine Bewegungen beispielsweise durch die Relativbewegung der Körper, ihre Drehungen und die Bewegung des Systems beschrieben werden. Wie viele Körper und in welche Richtung könnten sie sich bewegen?
@ user121330, radiale Bewegungen einer Kugel! Stellen Sie sich einfach eine pulsierende Kugel vor (die sich ausdehnt und/oder zusammenzieht).
Ich denke, etwas mehr Kontext könnte nützlich sein. Sie meinen eine gleichmäßig pulsierende Kugel, wie bei einem pulsierenden Stern (kein starrer Körper), richtig? In diesem Fall ist die Geschwindigkeit eines Punktes $v_i=\dot\epsilon x_i$ , und die kinetische Energie in einem Volumen $dV$ Ist $\rho v^2 dV/2$ Wo $d\bar I=\rho v^2 dV$ ist Ihr "pulsierendes Trägheitsmoment" des Elements, wo $v^2=\dot\epsilon^2 x_i^2$ . Wenn Sie dies mit Rotationen vergleichen möchten, denken Sie daran $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ , und Sie können dies erweitern als $\rho v^2 dV=I_{ij}x_i x_j$ . Die Ableitungen sind ähnlich; Sie könnten eine Beziehung zwischen erwarten $\bar I$ und ich.
@exmachina, deine Berechnung scheint meiner ähnlich zu sein. Sie erhalten also dieselbe Gleichung wie in meinem Kommentar oben? Diese pulsierende Kugel sollte irgendwo freigelegt werden. Irgendwelche Referenzen dazu?
Sie betrachten also ein Objekt, das sich verformt ... Was versuchen Sie zu bestimmen - die Bewegung eines Teilchens in einem Medium? Das Volumen (/Radius/Oberfläche) der Kugel als Funktion der Zeit?
@ user121330, der Radius der Kugel als Funktion der Zeit. Ich habe bereits die Differentialgleichung (in einer Nachricht oben angegeben). Ich habe mich nur über dieses "radiale Trägheitsmoment" gewundert.
@Cham Eine angemessene Google-Suche sollte Ihnen etwas bringen. Siehe zum Beispiel Gl. (6) auf p. 139 hier: adsabs.harvard.edu/full/1954AJ.....59..137H wo der Autor die $\frac 35 MR^2$ Ausdruck für einen kugelförmigen Körper. Diese Beziehung zur Spur der Rotationsträgheitsmatrix liegt daran, dass beide auf Quadrate/Produkte von Koordinaten und bezogen sind $r^2=x^2+y^2+z^2$ ist die einzige Skalarkombination davon. Aber ich und $\bar I$ sehr unterschiedliche physikalische Bedeutungen haben.
@exmachina, dann ist das genau der Sinn meiner Frage! Was ist die physikalische Bedeutung von $\bar{I}$ ? (was ich das "radiale Trägheitsmoment" genannt habe, da es mit der Spur des Trägheitstensors zusammenhängt).
@exmachina, beachten Sie, dass Gleichung (13) in dem Dokument, auf das Sie verweisen, der Gleichung in meiner zweiten Nachricht oben ähnlich (aber nicht identisch) ist. Meine Gleichung ist allgemeiner, da es sich um eine polytrope sphärische Gaswolke (dh einen Stern) mit adiabatischem Index handelt $\gamma$ . Meine Gleichung zeigt, dass ein Stern aus relativistischem Gas besteht; $\gamma = \frac{4}{3}$ , ist instabil. Wenn $\gamma < \frac{4}{3}$ , der Stern implodiert oder explodiert (seit $U < 0$ ).
Wie kann es ein Trägheitsmoment ohne Rotation geben? Keine Rotation => kein Drehimpuls => kein MMOI. Sie müssen in der Frage mehr Kontext bereitstellen oder einige Links hinzufügen, wo dies der Fall ist $I$ wird eingesetzt.

John Alexiou · Answer 1

Natürlich ist es die halbe Spur. Gegeben sind die drei Hauptkomponenten auf irgendeinem Koordinatensystem

\begin{aligned} {ICH}_{X X} & = \int (j^{2} + z^{2}) D M \\ {ICH}_{j j} & = \int (z^{2} + X^{2}) D M \\ {ICH}_{z z} & = \int (X^{2} + j^{2}) D M \end{aligned}

$\begin{align} I_{xx} & = \int (y^2+z^2) {\rm d}m \\ I_{yy} & = \int (z^2+x^2) {\rm d}m \\ I_{zz} & = \int (x^2+y^2) {\rm d}m \end{align}$

Fügen Sie sie hinzu, um zu erhalten

{ICH}_{X X} + {ICH}_{j j} + {ICH}_{z z} = \int (2 X^{2} + 2 j^{2} + 2 z^{2}) D M

$I_{xx}+ I_{yy}+I_{zz} = \int (2 x^2+2 y^2+2 z^2) {\rm d}m$

das ist der doppelte Wert in Ihrer Definition von

{ICH}_{R A D ich A l} = \int (X^{2} + j^{2} + z^{2}) D M

$I_{radial} = \int ( x^2+y^2+ z^2) {\rm d}m$

Die größere Frage hier ist, wie wird das obige abgeleitet und wie wird es verwendet ? Ich denke, das OP muss mehr Details liefern, damit die Frage effektiv beantwortet werden kann.

Ich habe das "radiale Trägheitsmoment" gefunden $\bar{I}$ indem man die Differentialgleichung eines radial pulsierenden Sterns aufschreibt . Die Quantität $\bar{I}$ in meine Gleichung als Trägheitsfaktor vor einer zweiten zeitlichen Ableitung (aus Newtons Gleichung) eingegeben, also wunderte ich mich über ihre richtige physikalische Bedeutung.
Wenn es eine physikalische Bedeutung gibt, dann ist es kein MMOI oder etwas, das damit verwandt ist.

gbbb89 · Answer 2

Das Trägheitsmoment ist das Maß für den Widerstand gegen Winkelbeschleunigung um eine Achse. Wenn ich mich nicht irre, ist das, wonach Sie suchen, der Elastizitätsmodul $E$ (oder Poissonzahl $\nu$ ) des Objekts. Dies bestimmt die Reaktion auf radiale Bewegung bei einem gleichmäßigen Druckfeld, das auf die Oberfläche der Kugel wirkt.

Beachten Sie, dass das für radiale Bewegungen definierte Integral I die Spur des Trägheitstensors für jede Drehung ist. Hängt der Elastizitätsmodul mit dem Trägheitstensor zusammen?
Nein, es hat nichts mit dem Trägheitstensor zu tun, aber auch nicht mit der radialen Bewegung. Der Elastizitätsmodul ist eine Materialeigenschaft und wird als das Verhältnis von Spannung zu Dehnung für ein bestimmtes Material definiert. Sie können den Widerstand gegen axiale (oder radiale) Dehnung einfach nicht mit einem Trägheitstensor quantifizieren.
Warum nicht ? In meinen Berechnungen habe ich dieses radiale Integral erhalten (das zufällig die Spur des Trägheitstensors ist). Ich bin daher der festen Überzeugung, dass das Integral etwas über den "Widerstand" der radialen Bewegung (dh Trägheit) zu sagen hat.

Trägheitsmoment radialer Bewegungen

Cham

Martin Üding

Cham

Sammy Rennmaus

Cham

Benutzer121330

Cham

Exmaschine

Cham

Benutzer121330

Cham

Exmaschine

Cham

Cham

John Alexiou

Antworten (2)

John Alexiou

Cham

John Alexiou

Cham

John Alexiou

gbbb89

Cham

gbbb89

Cham

Was ist schneller? Reines Rollen oder Rollen mit Rutschen?

Kann der Drehimpuls eines beliebigen starren Körpers (symmetrisch oder asymmetrisch) auf diese Weise ermittelt werden?

Können Sie die abnehmende Schwingungsdauer mit zunehmender Pendellänge in manchen Fällen intuitiv erklären?

Was ist das Problem, wenn ein Trägheitstensor die Dreiecksungleichung nicht erfüllt?

Wie beweisen wir die Existenz der momentanen Rotationsachse?

Trägheitsmoment Bedeutung?

Trägheitsmoment der umlaufenden Kugel

Rotationsbewegungsintegration (Starrkörperdynamik)

Warum dreht sich ein Quader stabil um zwei Achsen, aber nicht um die dritte?

Warum muss das Trägheitsmoment eine lineare Transformation sein?