Was ist das Problem, wenn ein Trägheitstensor die Dreiecksungleichung nicht erfüllt?

Die Hauptträgheitsmomente eines starren Körpers ergeben sich aus diesen Gleichungen:

$$I_1=\int_V\,(x_2^2+x_3^2)\,\rho\,dV$$ $$I_2=\int_V\,(x_3^2+x_1^2)\,\rho\,dV$$ $$I_3=\int_V\,(x_1^2+x_2^2)\,\rho\,dV$$

Wo$x=x_1~,y=x_2~,z=x_3$und der Trägheitstensor ist:

$$I= \left[ \begin {array}{ccc} I_{{1}}&0&0\\ 0&I_{{2}}&0 \\ 0&0&I_{{3}}\end {array} \right]$$

mit

$$i_\alpha=\int_V\,x_\alpha^2\,\rho\,dV> 0~,\alpha=1,2,3$$ daher: $$I_1=i_2+i_3$$ $$I_2=i_3+i_1$$ $$I_3=i_1+i_2$$

Und

$$I_1+I_2=i_1+i_2+2\,i_3=I_3+2\,i_3 > I_3$$ $$I_2+I_3=2\,i_1+i_2+i_3=I_1+2\,i_1 > I_1$$ $$I_3+I_1=i_1+2\,i_2+i_3=I_2+2\,i_3 > I_2$$

somit ist die Dreiecksungleichung ein physikalisches Merkmal eines Trägheitstensors eines starren Körpers. Wenn der starre Körper symmetrisch ist, dann sind die Symmetrieachsen Hauptachsen und das Hauptträgheitsmoment muss der Dreiecksungleichung gehorchen, sonst beschreiben Sie den starren Körper nicht, den Sie beschreiben möchten.

Die Dreiecksungleichung für den Moment des Trägheitstensors ergibt sich letztendlich aus der Positivität der Trägheitsmasse (wie in Elis Antwort gezeigt ). Ein Körper, dessen Trägheitstensor die Dreiecksungleichungen nicht erfüllt, hätte notwendigerweise einen Bereich, in dem$\rho < 0$.

Wir könnten diesen Körper dann als aus zwei Teilkörpern zusammengesetzt betrachten, von denen einer eine streng positive Trägheitsmasse hat$m_1 > 0$und eine mit strikt negativer Trägheitsmasse$m_2 < 0$. Alle inneren Kräfte zwischen diesen Körpern würden dazu führen, dass diese beiden Teilkörper spontan in die gleiche Richtung beschleunigen : die inneren Kräfte an$m_1$Und$m_2$nach Newtons drittem Gesetz in entgegengesetzte Richtungen wirken würden, aber ihre Beschleunigungsvektoren aufgrund ihrer unterschiedlichen Massenvorzeichen in die gleiche Richtung zeigen würden.

Solche "Ausreißerlösungen" werden allgemein als schlechte Sache angesehen. Die einzigen Schlupflöcher, die ich sehe, sind (a) die Aufgabe von Newtons drittem Gesetz, aber das würde Emmy Noether traurig machen; oder (b) zu fordern, dass diese Unterkörper niemals eine Nettokraft aufeinander ausüben, was problematisch wäre, wenn wir wollen, dass der Körper starr ist.

Es ist nützlich, Trägheitstensoren in der sphärischen Basis zu betrachten – in der die Basistensoren Eigentensoren von Drehungen um die z-Achse sind. Anstatt also 3 x 3 = 9 zu berücksichtigen$T_{ij}$für i, j$\in (x, y, z)$, on hat 1 + 3 + 5 = 9 Basiszustände wie folgt:

$T^{(0)} = \frac{1}{3}T_{ii}\ {\bf I}$

ist kugelsymmetrisch und proportional zur Identität. Als Trägheitstensor entspricht es einer Kugel.

Der antisymmetrische Teil eines Tensors:

$T^{(1)} = A_{ij} \equiv \frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji})$

transformiert sich wie ein Vektor (ähnlich wie ein Kreuzprodukt) und hat KEINEN PLATZ in den Trägheitstensoren. Es gibt 3 Komponenten.

Schließlich hat der spurfreie symmetrische Teil 5 Komponenten:

$T^{(2)} = S_{ij} \equiv \frac{1}{2}(T_{ij}+T_{ji})) - T^{(0)}$

die sich wie sphärische Harmonische transformieren:$Y_{l=2}^m\ \ (\theta, \phi)$für$m \in\ (-2, -1, 0, 1, 2)$.

Der$|m|=1$Komponenten:

$T^{(2, m=\pm 1)}\ \ \ \ = S_{xz} \pm i S_{yz}$

kann durch eine geeignete Koordinatendrehung wegdiagonalisiert werden, so dass:

$l=2, m=0$:

$T^{(2, 0)} \ \ = \sqrt{\frac{1}{2}} S_{zz}$

Dieser Teil entspricht der Oblatität/Prolatität des Objekts; also für ein Ellipsoid wäre das mit der Exzentrizität, wobei die Symmetrieachse mit der z-Achse ausgerichtet wäre.

$l=2, |m|=2$:

$T^{(2, m=\pm 2)} \ \ \ \ \ = \frac{1}{2}(S_{xx} - S_{yy} \pm 2iS_{xy})$

Bei Trägheitstensoren sind m=2 und m=-2 gleich, sodass die kartesischen Komponenten reell sind. Dieser Teil der Tensoren entspricht jeder zylindrischen Asymmetrie – also ist er Null für ein Rotationsellipsoid.