Trägheitsmoment Bedeutung?

Intuitiv kann man sich das so vorstellen: Das Trägheitsmoment misst, wie schwer es ist, den Drehimpuls des Objekts zu ändern .

Nun, der Drehimpuls eines einzelnen Punktes der Masse$i$Ist:

Damit sich dieser Punkt schneller dreht, müssen Sie ein gewisses Drehmoment anwenden. Der Massenteil ist einfach, und einer der$r_i$ist auch gerade da.

Aber beachten Sie die Wirkung von$r_i$wie sich das Drehmoment auf die Geschwindigkeit auswirkt: Je weiter der Punkt vom Rotationszentrum entfernt ist (größer$r_i$), dann wirkt sich das Drehmoment am wenigsten auf die Geschwindigkeit aus$v_i$. Dies liegt daran, dass dieser Punkt eine höhere Lineargeschwindigkeit benötigt, um die gleiche Winkelgeschwindigkeit zu erhalten.

Der Nettoeffekt besteht darin, dass das Trägheitsmoment proportional zum Quadrat von ist$r_i$: eins$r_i$weil so eben der Drehimpuls gemessen wird und ein anderer, weil die Lineargeschwindigkeit von diesem Betrag beeinflusst wird.

Eine mathematischere, aber nicht sehr strenge Betrachtungsweise ist die Analogie zwischen Linear- und Drehimpuls. Beachten Sie, dass diese Gleichungen für ein einzelnes Teilchen gelten:

Aber auch per Definition:

So

Vereinfachen Sie beides$\vec{r} \times \vec{v}$und bewege die quadrierte Distanz:

Jetzt, da Sie den Trägheitsimpuls für ein Teilchen mit einer einzigen Masse haben, integrieren Sie über Ihren ganzen Körper und Sie erhalten Ihre ursprüngliche Gleichung.

Ich ziehe es vor, darüber nachzudenken, dass ein ausgedehntes Objekt eine Massenverteilung ist , ähnlich wie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik.

Ein Moment ist eine Zahl (normalerweise eine Summe oder ein Integral), die die Form einer Verteilung beschreibt. Wenn Sie alle Momente haben, können Sie die Verteilung vollständig rekonstruieren. Der$n^\textrm{th}$Moment einer Verteilung$\rho(x)$wird durch Einnahme berechnet

Wenn wir den Ersatz vornehmen$\rho(x)dx=dm$, wo wir nehmen$\rho(x)$Um die Dichte eines Objekts zu sein, erhalten wir, dass das nullte Moment ist$\int dm=m$, die Gesamtmasse des Objekts. Das erste Moment einer Verteilung ist ihr Mittelwert, also sagt Ihnen das erste Moment in seltsamen Einheiten die "durchschnittliche Position" eines Objekts (dh die Position seines Massenschwerpunkts, skaliert durch die Gesamtmasse). Das zweite Moment einer Verteilung,$\int \rho(x)x^2 dx$, sagt Ihnen im Wesentlichen, wie „ausgebreitet“ die Verteilung um ihren Mittelwert ist. Das merkt man im zweiten Moment$\int \rho(x)x^2 dx=\int x^2 dm$ist das Trägheitsmoment, was intuitiv sinnvoll ist; Je mehr das Objekt "ausgebreitet" ist, desto schwieriger wird es, es zu drehen.

Das Trägheitsmoment hat also seinen Namen bekommen, weil es das zweite Moment der Massenverteilung ist.