Was steckt hinter dem Trägheitsmoment und anderen „körperglobalen“ Eigenschaften von Körpern?

Stellen Sie sich ein einzelnes Teilchen mit Masse vor$m$bei$\vec r$von einem Koordinatenursprung. Nehmen wir nun an, dieser Körper bewege sich kreisförmig mit Winkelgeschwindigkeit$\omega$um diesen Ursprung. Der Impuls des Teilchens ist dann

$$\vec p = m{\vec v} = m\frac{d\vec r}{dt}.$$ Die Geschwindigkeit ist dann $\vec v = \vec\omega\times\vec r$. Betrachten wir nun den Drehimpuls dieses Körpers $\vec L = \vec r\times\vec p$ $$\vec L = m\vec r\times\vec r\times\vec\omega = m(\vec r\cdot\vec r)\vec\omega.$$ Der letzte Schritt ist eine Vektoridentität. Also haben wir $\vec L = mr^2\vec\omega$. Der Begriff $mr^2$ist das Trägheitsmoment dieser Masse, die sich auf einer Kreisbahn um den Koordinatenursprung bewegt.

Nehmen wir nun an, ich habe zwei Massen auf einer kreisförmigen Umlaufbahn um diesen Punkt mit unterschiedlichen Radien, aber derselben Winkelgeschwindigkeit. Der Drehimpuls ist dann nur noch eine Summe aus diesen. Ich habe dann im Allgemeinen eine Summe von vielen davon

$$\vec L_{tot} = \sum_{n=1}^N m(r_n)r_n^2\vec\omega$$ Für das Trägheitsmoment wandle ich nun die Summe in eine Riemann-Summe um und integriere über einen stetigen Festkörper.

Mir ist nicht klar, wonach Sie genau fragen: eine Ableitung, wie sie von Lawrence B. Crowell gegeben wird, oder eine empfohlene Leseliste entweder für die Mechanik makroskopischer Körper oder für die mikroskopischen Eigenschaften von Materialien.

Ihre Frage "woher weiß es?" scheint für einen Elektrotechniker eher naiv zu sein, denn Sie müssen dieselbe Frage in Ihrem eigenen Bereich unzählige Male gestellt haben.

Woher „weiß“ eine elektrische Schaltung, wie der Strom zwischen zwei parallelen Widerständen aufgeteilt werden muss? Es "kennt" weder das Ohmsche Gesetz noch die Kirchhoffschen Regeln. Es kennt nicht einmal Widerstand, Ladung, elektrische Felder und die Maxwell-Gleichungen. Es muss nicht. Diese Gesetze, Regeln, Gleichungen und Konzepte sind unsere Kurzmethoden, um die Regelmäßigkeiten oder Muster der Dinge, die in der Welt passieren, zusammenzufassen und zu beschreiben. Wenn Sie mit einer Beschreibungsebene nicht zufrieden sind, wie z. B. dass Strom ein Fluss elektrischer Ladung ist (was auch immer das ist), können Sie tiefer eintauchen, z. B. indem Sie die statistischen Bewegungen von Elektronen in Metallen analysieren oder die Maxwell-Gleichungen lösen. Aber das ist wirklich nur das Austauschen eines Satzes von Konzepten und Regeln (Widerstand, Strom, Ohmsches Gesetz) gegen einen anderen (Ladungsverteilungen, elektrische Felder,

Ebenso verhält es sich mit den mechanischen Eigenschaften der Materie. Die Drehung eines festen Objekts kann mit makroskopischen Konzepten des starren Körpers, Trägheitsmomenten und Drehimpuls beschrieben oder (wie Sie anscheinend vorschlagen und wie Lagrange und Laplace vorgeschlagen haben) anhand der mikroskopischen, lokalen Wechselwirkungen analysiert werden zwischen konstituierenden Atomen. Aber auch hier geht es nur darum, von einer Ebene der Beschreibung und Annahmen zu einer anderen zu wechseln. Möglicherweise sind Sie mit der mikroskopischen Beschreibung zufriedener, die potenziell genauer, aber nicht unbedingt besser als Berechnungs- und Vorhersagewerkzeug ist. Auch nicht zum Beschreiben, da man manche Begriffe immer als "selbstverständlich" hinnehmen muss.