Kann jeder physikalische starre Körper durch ein Ellipsoid mit der gleichen Winkeldynamik dargestellt werden?

Question

Kann jeder physikalische starre Körper durch ein Ellipsoid mit der gleichen Winkeldynamik dargestellt werden?

Physik
Eigenwert
Trägheitsmoment
Newtonsche Mechanik
Starrkörperdynamik
Rotationskinematik

JCooper

Laut Wikipedia der Trägheitstensor eines Ellipsoids mit Halbachsen $a,b,c$ und Masse $m$ Ist

[\begin{array}{ccc} \frac{M}{5} (B^{2} + C^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{M}{5} (A^{2} + C^{2}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{M}{5} (A^{2} + B^{2}) \end{array}] .

$\left[\begin{array}{ccc} \frac{m}{5}(b^2+c^2)&0&0\\ 0&\frac{m}{5}(a^2+c^2)&0\\ 0&0&\frac{m}{5}(a^2+b^2)\\ \end{array}\right].$

Wenn Sie eine beliebige 3x3-Matrix mit positiver Diagonale erstellen und versuchen, nach zu lösen $a,b,c$ , es ist sehr einfach, mit imaginären Dimensionen aufzuwickeln. Wenn ich versuche, separate Punktmassen zu platzieren, scheine ich auf das gleiche Problem zu stoßen.

Bedeutet das, dass der Tensor keine physikalisch mögliche Massenverteilung darstellt oder einfach keinen Körper mit einheitlicher Dichte? Zumindest scheint es intuitiv, dass es für einen Trägheitstensor unmöglich sein muss, einen einzigen großen Wert und zwei kleine Werte zu haben, da eine einzelne Punktmasse mit einem Radius ungleich Null immer zwei Dimensionen und einen Ring von infinitesimaler Höhe gleichermaßen beeinflusst belässt die beiden Nebendimensionen noch mit dem halben Impuls der großen Hauptachse.

David Hammen

Eine andere Möglichkeit, die Dreiecksungleichung auszudrücken, ist

Tr (I) \geq 2 λ_{i} (I) \geq 0

$\operatorname{Tr}(I) \ge 2\lambda_i(I) \ge 0$ : Die Spur des Trägheitstensors muss mindestens doppelt so groß sein wie jeder der Eigenwerte des Trägheitstensors, die jeweils nichtnegativ sein müssen. Eine Folge davon ist, dass ein Trägheitstensor nicht einen großen und zwei kleine Eigenwerte haben kann.

Antworten (1)

Kann jeder physikalische starre Körper durch ein Ellipsoid mit der gleichen Winkeldynamik dargestellt werden?

Eine andere Möglichkeit, die Dreiecksungleichung auszudrücken, ist $\operatorname{Tr}(I) \ge 2\lambda_i(I) \ge 0$ : Die Spur des Trägheitstensors muss mindestens doppelt so groß sein wie jeder der Eigenwerte des Trägheitstensors, die jeweils nichtnegativ sein müssen. Eine Folge davon ist, dass ein Trägheitstensor nicht einen großen und zwei kleine Eigenwerte haben kann.

QMechaniker · Answer 1

Satz: Gegeben sei ein beliebiger starrer Körper (und bzgl. einer beliebigen Wahl des Drehpunktes für den starren Körper und bzgl. einer beliebigen Wahl kartesischer Koordinaten $x$ , $y$ , Und $z$ ), dann die diagonalen Elemente $I_{xx}$ , $I_{yy}$ , Und $I_{zz}$ des Trägheitstensors erfüllen die Dreiecksungleichung ,
$\begin{matrix} (1) & {ICH}_{X X} + {ICH}_{j j} \geq {ICH}_{z z}, {ICH}_{j j} + {ICH}_{z z} \geq {ICH}_{X X}, {ICH}_{z z} + {ICH}_{X X} \geq {ICH}_{j j} . \end{matrix}$ $I_{xx} +I_{yy} ~\geq~ I_{zz}, \qquad I_{yy} +I_{zz} ~\geq~ I_{xx}, \qquad I_{zz} +I_{xx} ~\geq~ I_{yy}. \tag{1}$ Skizzierter Beweis: Geben Sie die Definition des Trägheitsmoments an. $\Box$
Beobachtung: Das folgt allein aus der Dreiecksungleichung (1).
$\begin{matrix} (2) & {ICH}_{X X}, {ICH}_{j j}, {ICH}_{z z} \geq 0 \end{matrix}$ $I_{xx}, I_{yy},I_{zz}~\geq~0 \tag{2}$ sind nichtnegativ. (Die Gl. (2) folgt natürlich auch aus der Definition des Trägheitsmoments.)
Folgerung aus Satz: Gegeben sei ein beliebiger starrer Körper (und bzgl. einer beliebigen Wahl des Drehpunktes für den starren Körper), dann die drei Trägheitsmomente $I_x$ , $I_y$ , Und $I_z$ , um die drei Hauptachsen (die wir nennen werden $x$ , $y$ , Und $z$ ) erfüllen die Dreiecksungleichung ,
$\begin{matrix} (3) & {ICH}_{X} + {ICH}_{j} \geq {ICH}_{z}, {ICH}_{j} + {ICH}_{z} \geq {ICH}_{X}, {ICH}_{z} + {ICH}_{X} \geq {ICH}_{j} . \end{matrix}$ $I_x +I_y ~\geq~ I_z, \qquad I_y +I_z ~\geq~ I_x, \qquad I_z +I_x ~\geq~ I_y. \tag{3}$
Mit anderen Worten, wenn eine semi-positive bestimmte symmetrische reelle Zahl ist $3\times 3$ Matrix mit nicht negativen Eigenwerten $I_x$ , $I_y$ , Und $I_z$ die Dreiecksungleichung (3) nicht erfüllt, stellt sie keine physikalisch mögliche Massenverteilung dar.
Umgekehrt kann man zeigen, dass drei Eigenwerte gegeben sind $I_x$ , $I_y$ , Und $I_z$ die (3) erfüllen, können durch ein festes Ellipsoid mit einer einzigartigen Auswahl nicht negativer Halbachsen reproduziert werden $a$ , $b$ , Und $c$ (einzigartig bis auf die Skalierung der Gesamtmasse $m$ ).
$\frac{2}{5} M A^{2} = {ICH}_{j} + {ICH}_{z} - {ICH}_{X} \geq 0,$ $\frac{2}{5}m a^2~=~I_y +I_z -I_x~\geq~0,$ $\frac{2}{5} M B^{2} = {ICH}_{z} + {ICH}_{X} - {ICH}_{j} \geq 0,$ $\frac{2}{5}m b^2~=~I_z +I_x -I_y~\geq~0,$ $\begin{matrix} (4) & \frac{2}{5} M C^{2} = {ICH}_{X} + {ICH}_{j} - {ICH}_{z} \geq 0. \end{matrix}$ $\frac{2}{5}m c^2~=~I_x +I_y -I_z~\geq~0.\tag{4}$

Ich habe eine Frage gestellt, die sich auf diese Antwort bezieht: physical.stackexchange.com/q/348944

Kann jeder physikalische starre Körper durch ein Ellipsoid mit der gleichen Winkeldynamik dargestellt werden?

JCooper

David Hammen

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QMechaniker

Cristóvão D. Sousa

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