Wie wirkt sich Masse auf das Rutschen aus?

Es gibt mathematische Möglichkeiten, all dies zu zeigen, aber es ist wichtig, Intuition zu haben, bevor man mit dem Rechnen beginnt. Hier ist mein intuitives Bild:

Die kinetische Energie des rollenden Zylinders hat zwei Komponenten:

1. Die kinetische Energie seiner Bewegung entlang der Ebene.

2. Die kinetische Energie seiner Rotation um die eigene Achse.

Die einzige Quelle kinetischer Energie ist der Verlust an potenzieller Energie, wenn man tiefer in der Ebene ist als zu Beginn. An einem bestimmten Punkt entlang der Ebene ist die gesamte kinetische Energie also konstant .

Somit hängt 1 , die kinetische Bewegungsenergie entlang der Ebene, von 2 , der kinetischen Rotationsenergie, ab. Je mehr kinetische Rotationsenergie vorhanden ist, desto weniger kinetische Bewegungsenergie ist vorhanden und desto langsamer ist daher die Geschwindigkeit des Zylinders in der Ebene.

• Wenn der Zylinder seine ganze Masse genau in seinem Mittelpunkt hätte, wäre seine kinetische Rotationsenergie null, und somit wäre seine kinetische Bewegungsenergie entlang der Ebene maximal – ebenso wie seine Geschwindigkeit.

• Wenn der Zylinder seine gesamte Masse auf seinem Umfang hat, wäre seine kinetische Rotationsenergie viel höher, und daher wäre seine kinetische Bewegungsenergie entlang der Ebene viel niedriger - und damit auch seine Geschwindigkeit.

Deshalb hängt die Geschwindigkeit von der Massenverteilung im Zylinder ab.

Danke für das Update, WJ47.

Die Steigung der blauen Röhre sieht sehr steil aus. Sowohl das Lineal/Rohr als auch der weiße Zylinder (Klebebandhalter) sehen ziemlich glatt aus, daher denke ich, dass es wenig Reibung geben wird, was hier zu einer Mischung aus Rollen und Gleiten führt. Es ist sehr schwierig vorherzusagen, wie viel von jedem. Dies ist meiner Meinung nach ein ziemlich "unordentliches" Experiment, das schwer mit der Theorie zu verbinden ist.

Eine weitere Schwierigkeit ist das Timing. Es scheint, dass Sie den Zylinder zwischen zwei Punkten einstellen, an denen er eine unbekannte Geschwindigkeit hat. Sie können die Durchschnittsgeschwindigkeit von Anfang bis Ende berechnen, aber dies sagt Ihnen nicht die Beschleunigung.

Ich empfehle Ihnen, die Versuchsapparatur zu wechseln und den Versuch zu wiederholen. Lassen Sie den weißen Zylinder eine hölzerne Steigung hinunterrollen, die viel weniger steil (und nicht so glatt) ist – nicht mehr als etwa$30^{\circ}$. (Überprüfen Sie, ob es rollt und nicht rutscht.) Dadurch verlängert sich die Abstiegszeit, sodass die Ergebnisse genauer sein sollten. Ich würde auch den weißen Zylinder vor jedem Lauf wiegen.
Stellen Sie sicher, dass der Kitt gleichmäßig im Loch verteilt ist - auf diese Weise können Sie das Trägheitsmoment berechnen und die folgende Theorie anwenden. Beginnen Sie mit der Zeitmessung, sobald sich der Zylinder zu bewegen beginnt – dann können Sie davon ausgehen, dass die Anfangsgeschwindigkeit Null ist.

Theorie

Rollt der Zylinder ohne Gleiten/Rutschen die Steigung hinab, entsteht kein Energieverlust durch Reibung. Anfangs-PE + KE = End-PE + KE. Angenommen, es startet aus der Ruhe und fällt durch die vertikale Höhe$h$Dann

$$\frac12Mv^2+\frac12I\omega^2 = Mgh$$ Wo $M$ist Masse, $v$ist die Endgeschwindigkeit des Massenmittelpunkts CM, $\omega=\frac{v}{R}$ist die endgültige Winkelgeschwindigkeit, $R$ist der äußere Radius des Zylinders, und $I=kMR^2$ist sein Trägheitsmoment. $k$ist eine Variable, die sich auf die Massenverteilung im Zylinder bezieht. Wenn wir diese in die Formel einsetzen und neu anordnen, erhalten wir $$(1+k)v^2 = 2gh$$

Unter Verwendung der kinematischen Gleichungen für konstante Beschleunigung, Weg$L$, Zeit$t$und Endgeschwindigkeit$v$in der Ebene sind verwandt mit

$$L = average velocity \times time = \frac12(u+v)t = \frac12 vt$$ Dies funktioniert, weil ich die Anfangsgeschwindigkeit annehme $u=0$. Durch Einsetzen in die obige Gleichung und Umordnen erhalten wir $$t^2 = 2(1+k)\frac{L^2}{gh}$$

Sie sollten eine gerade Linie erhalten, wenn Sie zeichnen$t^2$gegen$k$. Die einzige verbleibende Schwierigkeit besteht darin, den Wert zu berechnen$k$Jedes Mal, wenn Sie dem Zylinder Masse hinzufügen.

Angenommen, der Klebebandhalter hat Masse$m_1$und Außen- und Innenradien$R$Und$r_1$. Angenommen, Sie fügen Masse hinzu, indem Sie einen Massering aus Plastilin befestigen$m_2$innerhalb des Halters, wobei ein zentrales Loch mit Radius verbleibt$r_2$.

Das Trägheitsmoment (MI) um den Mittelpunkt für den Halter ist$I_1 = \frac12 m_1(R^2+r^2)$, und für das zugesetzte Plastilin ist$I_2=\frac12 m_2 (r_1^2+r_2^2)$. Die MI des Ganzen ist

$$I = I_1 + I_2 = \frac12(m_1R^2+m_1r_1^2+m_2 r_1^2+m_2 r_2^2) = \frac12(\mu_1+\rho_1^2+\mu_2\rho_2^2)MR^2$$ so dass
$$k = \frac12(\mu_1+\rho_1^2+\mu_2\rho_2^2)$$ Wo $\mu_1=\frac{m_1}{M}$, $\mu_2=\frac{m_2}{M}$, $\rho_1=\frac{r_1}{R}$, $\rho_2=\frac{r_2}{R}$Und $M=m_1+m_2$.

Sie müssen die Masse erneut wiegen$M$des Halters & Plastilin jedes Mal, wenn Sie mehr hinzufügen, auch den Innenradius neu messen$r_2$, und neu berechnen$k$unter Verwendung der obigen Formeln.

Weil$\mu_1$Und$\rho_1$nicht ändern, könnten Sie stattdessen berechnen$p=\mu_2 \rho_2^2$und Handlung$t^2$gegen$p$um eine gerade Linie zu bekommen.$p=0$wenn der Klebebandhalter leer ist.