Kinetische Energie eines Objekts, das sich um eine Achse dreht, die nicht durch den Massenmittelpunkt verläuft

Ich bin etwas verwirrt über die kinetische Energie eines rotierenden Objekts, wenn die Rotationsachse nicht durch den Massenmittelpunkt verläuft. Stellen Sie sich zum Beispiel einen dünnen Massering vor M und Radius R das an einem Drehpunkt hängt und sich frei um diesen Drehpunkt drehen kann. Wenn sich der Reifen um seinen Massenschwerpunkt drehen würde, wäre die kinetische Energie nur

K = 1 2 ICH ω 2 = 1 2 M R 2 ω 2 ,
weil sich der Schwerpunkt des Reifens nicht bewegt (dh die kinetische Translationsenergie ist Null). Wenn sich der Reifen jedoch um den Drehpunkt dreht, ist der Massenmittelpunkt nicht mehr stationär. Wird dies durch die Änderung des Trägheitsmoments kompensiert oder muss dieses Translationsstück hinzugefügt werden? Mit anderen Worten, haben wir
K T Ö T = K T R A N S + K R Ö T = 1 2 M v 2 + 1 2 ICH ω 2 = 1 2 M ( R ω ) 2 + 1 2 ( 2 M R 2 ) ω 2 = 3 2 M R 2 ω 2
oder
K T Ö T = K T R A N S + K R Ö T = 0 + 1 2 ICH ω 2 = 1 2 ( 2 M R 2 ) ω 2 = M R 2 ω 2
Ich bin mir ziemlich sicher, dass letzteres die richtige Antwort ist, aber ich wollte nur sichergehen, dass ich richtig darüber nachdenke.

Der Fehler liegt in Ihrer 1. Gleichung für K T Ö T : Sie haben das Trägheitsmoment um einen Punkt auf der Felge verwendet ( 2 M R 2 ), stattdessen hätten Sie das Trägheitsmoment um den Mittelpunkt ( M R 2 ).
Was ist, wenn sich der Körper zusätzlich zur Rotation um eine externe Achse auch um eine Achse durch com dreht, wie findet man dann die gesamte kinetische Energie?

Antworten (2)

Bei richtiger Anwendung erhalten Sie mit beiden Methoden das gleiche Ergebnis. Wenn Sie sich dafür entscheiden, die Bewegung in eine Bewegung des COM und eine Drehung um den COM zu zerlegen , sollte der Rotationsteil natürlich das Trägheitsmoment um den COM verwenden. Es gibt also keinen Unterschied. Sie können beides verwenden, verwenden Sie einfach die richtigen Begriffe.

Was ist, wenn sich der Ring zusätzlich zur Drehung um die externe Achse durch seine eigene Achse um eine Achse dreht?

Die kinetische Energie eines starren Massenkörpers M Rotation um einen festen Punkt Ö ' mit Winkelgeschwindigkeit ω → = ω N ^ und mit Geschwindigkeit übersetzen v → wird von gegeben

T = 1 2 M v 2 + 1 2 ω 2 ICH N + M R → C M ' ⋅ ( v → × ω → ) ,
Wo ICH N das Trägheitsmoment um die Achse entlang N ^ Und R → C M ' ist der Massenschwerpunktsvektor in Bezug auf den Punkt Ö ' . Wenn Ö ' ist dann der Massenmittelpunkt R → C M ' = 0 .

In Ihrem Beispiel ist der Drehpunkt der Punkt Ö ' und da es fest ist, v → = 0 . Andererseits, ICH N = 2 M R 2 ist das Trägheitsmoment relativ zur Achse durch den Drehpunkt und senkrecht zur Ebene des Reifens. Daher

T = M R 2 ω 2 .

Kinetische Energie eines Objekts, das sich um eine Achse dreht, die nicht durch den Massenmittelpunkt verläuft
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