Können Sie die abnehmende Schwingungsdauer mit zunehmender Pendellänge in manchen Fällen intuitiv erklären?

Stellen Sie sich einen starren Körper vor, der um eine Rotationsachse aufgehängt ist und im Allgemeinen nicht durch seinen Massenmittelpunkt (COM) verläuft und ein Trägheitsmoment (MOI) hat. 0 < ICH A X ich S um diese Achse. Lassen ICH C bezeichnen das Trägheitsmoment des Objekts um eine Achse, die parallel zu der zuvor erwähnten ist und durch die COM geht. Das impliziert der Parallelachsensatz ICH A X ich S = ICH C + M l 2 Wo 0 ≤ l ist der Abstand zwischen den beiden Achsen. Aus der Rotationsdynamik des Objekts ICH A X ich S θ ¨ = − M G l θ , Wo 0 ≤ θ → 0 ist die (kleine) Winkelverschiebung des Objekts, können wir die Zeitdauer der Oszillation als fein definieren T = 2 π M G l ICH A X ich S so dass T ∝ ICH A X ich S M l .

Beim einfachen Pendel ICH C ≈ 0 so dass ICH A X ich S = M l 2 , und somit T ∝ l was zu der üblichen Schlussfolgerung führt (die unserem intuitiven physikalischen Verständnis entspricht), dass die Zeitspanne kleiner Schwingungen mit der Länge zunimmt l steigt . Bei allgemeinen starren Körpern, also nicht bei Punktmassen, ergibt sich jedoch die Algebra T ∝ ICH C M l + l . Aus der Darstellung ist ersichtlich, dass dieser Ausdruck die scheinbar kontraintuitive Beobachtung erklärt, dass für allgemeine starre Körper (dh keine Punktmassen) für kleine l , verringert sich die Zeitdauer kleiner Schwingungen mit der Länge l erhöht sich im mathematischen Sinne.

Im Fall eines einfachen Pendels ist es physikalisch intuitiv, dass die Zeitspanne mit zunehmendem in zunehmen sollte l (Der über eine Schwingung zurückgelegte Weg nimmt linear mit zu l , während die motivierende Kraft unabhängig davon in etwa gleich groß bleibt l ). Was ist im gleichen Sinne die intuitive physikalische Erklärung für dieses scheinbar kontraintuitive Verhalten?

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Antworten (2)

Stellen Sie sich ein Pendel vor, das aus 2 Massenpunkten besteht M verbunden durch einen masselosen starren Längenstab H . Hängen Sie es am Massenmittelpunkt auf. Es schwingt nicht.

Hängen Sie es in geringer Entfernung auf, δ X , über dem Massenmittelpunkt. Drehen Sie es um 90 Grad. Es schwingt langsam. Der Moment der Zwischenzeit, ICH , ist fast so, als ob es in der Mitte aufgehängt wäre. Das Drehmoment ist τ = M G δ X . Die Winkelbeschleunigung ist a = τ / ICH .

Unterbrechen Sie es 2 δ X über dem Massenmittelpunkt. ICH ist immer noch fast gleich. τ hat sich verdoppelt, und so hat a .

Betrachten Sie andere Eigenschaften der beiden Fälle.

  • Der Weg, den der Massenmittelpunkt bei einer halben Schwingung zurücklegt, hat sich verdoppelt π δ X Zu π 2 δ X .
  • Die potentielle Energieabnahme bei aufrechter Drehung hat sich verdoppelt M G δ X Zu M G 2 δ X . Hat also die maximale kinetische Rotationsenergie.
  • Die maximale Winkelgeschwindigkeit, ω hat sich vervierfacht.

Diese Verhältnisse gelten bei jedem Winkel während der jeweiligen Halbschwingungen. ω auf einer doppelt so langen Bahn vervierfacht. Die Periode hat sich halbiert.

Die Richtung der Erklärung erscheint mir großartig. Erlauben Sie mir, darauf hinzuweisen, dass die potentielle Energie mit dem Faktor verbunden ist ( δ X ) 2 (also Einführung θ 2 verbunden mit der Feder-Masse-Analogie des harmonischen Oszillators mit Federkonstante M G l hier betrachtet). Darüber hinaus spricht die Antwort nicht die Intuition hinter diesem scheinbar kontraintuitiven Verhalten nur im Fall einer geringen absoluten Länge an l (anstelle der Längenänderung δ X in Ihrer qualitativen Analyse).
U = M G H , Wo H ist die Höhenänderung der COM. In diesem Fall, H = δ X oder 2 δ X . Es gibt kein ( δ X ) 2 Abhängigkeit. Die Periode verkürzt sich nur in besonderen Fällen, wenn die Unterstützung sehr nahe an der COM liegt. Bei einem gewöhnlichen Pendel würde eine geringfügige Erhöhung der Länge zu einer Verlängerung der Periode führen. Das gilt für ein Standuhrpendel mit großem Messingblock ebenso wie für ein ideales Pendel mit Punktmasse.
Einverstanden. Anscheinend habe ich die Variable falsch verstanden δ X . Die Antwort spricht jedoch nicht das scheinbar kontraintuitive Verhalten von abnehmender Zeitdauer mit zunehmendem Zeitraum an l und warum es nur bei geringer absoluter Länge passiert l .
Ich bin mir nicht sicher, wie viel ich dem hinzufügen kann. Das ist so ziemlich die ganze Antwort, die ich habe. Es passiert für niedrige absolute l = δ X Weil ICH ändert sich nicht viel und τ tut. Bei größer l , beide ICH Und τ ändern.
Ok, danke für die sehr subtile und nette Antwort!
Sie haben nach kleinen Winkelverschiebungen aus der Gleichgewichtsposition gefragt. Dazu drehen 90 Ö aus dem Gleichgewicht war bequem.
Ich finde deine Erklärung aber sinnvoll 90 ∘ ist keine kleine Winkelverschiebung. Wenn die Verschiebung nicht klein ist, ist die Bewegung außerdem schwer zu analysieren, dh es ist nicht einfach, die Beziehung zwischen der Zeitdauer und dem Trägheitsmoment zu erhalten.

Im Fall eines einfachen Pendels ist es physikalisch intuitiv, dass die Zeitdauer mit zunehmendem l zunehmen sollte (der Weg, der über eine Schwingung zurückgelegt wird, steigt linear mit l). Was ist im gleichen Sinne die intuitive physikalische Erklärung für dieses scheinbar kontraintuitive Verhalten?

Das Verhalten eines einfachen Pendels ist meiner Meinung nach nicht so intuitiv. Ich denke, wenn ein gewöhnlicher Besucher des Pariser Pantheons nach der Periode des Foucault-Pendels gefragt wird, wäre es nicht verwunderlich, wenn einige Antworten beispielsweise die Masse als Variable setzen und die Rolle der Länge übersehen.

Aber wir können eine "gebildete" Intuition der Schwingungen des starren Körpers haben: wie das Trägheitsmoment ist a M R 2 , Wo a ist etwas konstantes, zunehmendes l bedeutet Verringern des Längenparameters ( R 2 l ) innerhalb der Quadratwurzel. Die Periode ist sozusagen proportional zur Quadratwurzel der „Länge“, wenn l klein gegenüber dem anderen Term ist. Und die Messe fällt aus.

Sein Verhalten ist also in diesem Sinne intuitiv.

Tatsächlich ist es auf den ersten Blick nicht trivial, dass die Zeitspanne unabhängig von der Masse ist. Danke für die Antwort, da sie die Grundlage der gestellten Frage verdeutlicht. Es geht jedoch nicht auf das scheinbar kontraintuitive Verhalten von abnehmender Zeitdauer mit zunehmender Zeitdauer ein l und warum es nur bei geringer absoluter Länge passiert l . Ich verstehe, warum dies mathematisch geschieht, aber ich denke, es muss eine intuitive Erklärung dafür geben.
Können Sie die abnehmende Schwingungsdauer mit zunehmender Pendellänge in manchen Fällen intuitiv erklären?
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