Mechanik: Drehimpuls der Scheibe

Die Komponenten des Scheibendrehimpulses$\vec{L}_D$hineingegeben$(e^*_1\,,e^*_2\,,e^*_3)_P$Koordinatensystem sind:

$$\vec{L}_D=\vec{L}_P+\Theta_0\,\vec{\omega}_{rel}$$

mit$\vec{L}_P=\vec{r}_P\times m\,\vec{v}_P$wir erhalten:

$$\vec{L}_D=\vec{r}_P\times m\,\vec{v}_P+\Theta_0\,\vec{\omega}_{rel}\tag 1$$

$\vec{v}_P$ist die Geschwindigkeit am Punkt$p\quad$,$\vec{v}_P=\vec{\omega}_f\times \vec{r}_P$

Mit:

$\vec{r}_P=\begin{bmatrix} -l\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

$\vec{\omega}_{rel}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_r\\ \end{bmatrix}$

$\vec{\omega}_{f}=\begin{bmatrix} 0\\ \omega_f\\ 0\\ \end{bmatrix}$

Die Komponenten der Scheibendrehimpulsgleichung (1)

$\vec{L}_D=\begin{bmatrix} 0\\ m\,l^2\,\omega_f\\ \Theta_0\,\omega_r\\ \end{bmatrix}$

Für$\vec{\omega}_f\parallel \vec{\omega}_{rel}$

$\Rightarrow$

$\vec{\omega}_{f}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_f\\ \end{bmatrix}$

erhält man für die Komponenten der Scheibe den Drehimpuls

$\vec{L}_D=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ m\,l^2\,\omega_f+\Theta_0\,\omega_r\\ \end{bmatrix}$

Die Richtung der Drehbewegung der Scheibe um ihren Mittelpunkt zeigt in eine Richtung senkrecht zur Rotationsrichtung der Welle, dh der Winkelimpulsvektor für die Drehung um die Welle ist orthogonal zum Winkelimpulsvektor um den Mittelpunkt der Scheibe. In diesem Fall können Sie die Addition von Drehimpulsvektoren verwenden. Der Gesamtdrehimpuls lautet:

$\vec L = \vec L_{shaft} + \vec L_{center}$

Der Beitrag aufgrund der Wellendrehung ist gegeben durch$\vec L_{shaft} = (l\vec{e_1^*}) \times (mv \vec{e_3^*})$, wobei die Rotationsgeschwindigkeit$v$hat Größe$v = l \omega_f$.

Durch Auswertung des Kreuzprodukts erhalten Sie einen Winkelimpulsvektor, der in die Richtung zeigt$\vec{e_2^*}$. Die Drehung um das Zentrum erfolgt parallel zur Richtung$\vec{e_3^*}$. Der resultierende Drehimpuls$\vec L$wird als lineare Kombination zweier Einheitsvektoren ausgedrückt. Um die Größe zu bestimmen, nehmen Sie einfach ihren absoluten Wert (Satz des Pythagoras für Vektorlängen).

Nun zu deiner zweiten Frage: Wenn die beiden Winkelgeschwindigkeiten parallel sind, kannst du gleich vorgehen. In diesem Fall wird es geben$\vec L_{shaft} \parallel \vec{e_2^*}$, während die Magnitude gleich ist. Der resultierende Drehimpuls wird genau in Richtung zeigen$\vec{e_2^*}$. Sie erhalten dasselbe wie mit dem Parallelachsensatz.