Verwirrung über die Beziehung zwischen Trägheits- und Nicht-Trägheitsbezugssystem in Bezug auf die Bewegung eines starren Körpers

Question

Verwirrung über die Beziehung zwischen Trägheits- und Nicht-Trägheitsbezugssystem in Bezug auf die Bewegung eines starren Körpers

Genie

In „ Analytical Mechanics “ von NA Lemos bestimmt der Autor auf Seite 99 die zeitliche Ableitungsbeziehung zwischen einem Trägheitsrahmen $\Sigma$ ein nicht inertialer Rahmen $\Sigma'$ in einem starren Körper mit Winkelgeschwindigkeit fixiert $\mathbf{\omega}$ um seinen Ursprung $O$ , so dass

{(\frac{D}{D T})}_{träge} = {(\frac{D}{D T})}_{Körper} + ω \times

$\left(\frac{d}{d t}\right)_{\text {inertial}}=\left(\frac{d}{d t}\right)_{\text {body}}+\omega \times$ Auch in diesem Buch versucht der Autor auf Seite 100 die Eindeutigkeit der Winkelgeschwindigkeit des Körpers zu beweisen, und er betrachtet zwei Rahmen

Σ

$\Sigma$ Und

Σ^{'}

$\Sigma'$ , letztere mit Winkelgeschwindigkeit

ω_{1}

$\omega _1$ , so dass ein beliebiger Punkt

P

$P$ des Körpers kann durch den Vektor dargestellt werden

r

$\mathbf{r}$ und auch durch die Summe von Vektoren dargestellt werden

r_{1}

$\mathbf{r_1}$ Und

R

$\mathbf{R}$ , Wo

R

$\mathbf{R}$ ist der

Σ^{'}

$\Sigma'$ Ursprungsposition in Bezug auf

Σ

$\Sigma$ Und

r_{1}

$\mathbf{r_1}$ ist der Punkt

P

$P$ Stellung bzgl

Σ^{'}

$\Sigma'$ 's Herkunft, so dass

r = R + r_{1}

$\mathbf{r} = \mathbf{R} + \mathbf{r_1}$ . Der Autor stellt das fest

{(\frac{D R}{D T})}_{Σ} = {(\frac{D R}{D T})}_{Σ} + {(\frac{D R_{1}}{D T})}_{Σ} = {(\frac{D R}{D T})}_{Σ} + ω_{1} \times R_{1}

$\left(\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right)_{\Sigma}=\left(\frac{d \mathbf{R}}{d t}\right)_{\Sigma}+\left(\frac{d \mathbf{r_1}}{d t}\right)_{\Sigma}=\left(\frac{d \mathbf{R}}{d t}\right)_{\Sigma}+\omega_{1} \times \mathbf{r_1}$

was meiner Auffassung nach offensichtlich richtig ist, aber wenn ich versuche, die zeitliche Ableitungsbeziehung für nicht inertiale Systeme anzuwenden, erhalte ich

{(\frac{D R}{D T})}_{Σ} = {(\frac{D (R + R_{1})}{D T})}_{Σ^{'}} + ω_{1} \times (R + R_{1}) = {(\frac{D R}{D T})}_{Σ^{'}} + ω_{1} \times (R + R_{1})

$\left(\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right)_{\Sigma}=\left(\frac{d( \mathbf{R} + \mathbf{r_1})}{d t}\right)_{\Sigma'}+ \mathbf{\omega_1} \times (\mathbf{R} + \mathbf{r_1}) = \left(\frac{d \mathbf{\mathbf{R}}}{d t}\right)_{\Sigma'} + \omega_1 \times (\mathbf{\mathbf{R} + \mathbf{r_1}})$

was sich deutlich von der letzten Gleichung unterscheidet. Wo ist mein Fehler?

Antworten (1)

Verwirrung über die Beziehung zwischen Trägheits- und Nicht-Trägheitsbezugssystem in Bezug auf die Bewegung eines starren Körpers

Eli · Answer 1

Sie können die richtige Antwort erhalten, wenn Sie diese Notationen verwenden:

$(\vec a)_B$ bedeuten, dass die Komponenten des Vektors a im B-Frame angegeben sind
$(\vec {\dot a})_B$ bedeuten, dass die zeitliche Ableitung der Vektorkomponenten
${_B^O}\,S$ ist die Transformationsmatrix zwischen B-Frame und O-Frame (Anfangsframe)
${_O^B}\,S\,{_B^O}\,S=I_3$ Einheitsmatrix

daher

${_B^O}\,S(\vec {\dot a})_B= (\vec {\dot a}_B)_O$ , wird die zeitliche Ableitung im B-Frame genommen, aber die Komponenten des Ergebnisses sind im O-Frame

Ihr Problem:

Die Komponenten des Vektors r sind im O-Frame angegeben und Sie möchten die Zeitableitung im B-Frame nehmen, also wandeln Sie zuerst die Komponenten in das B-Frame um

{\vec{R}}_{B} =_{Ö}^{B} S (\vec{R})_{Ö}

$\vec{r}_B={_O^B}\,S\,(\vec{r})_O$

die Zeitableitung ist:

\begin{matrix} (1) & {\vec{\dot{R}}}_{B} =_{Ö}^{B} S (\vec{\dot{R}})_{Ö} +_{Ö}^{B} \dot{S} (\vec{R})_{Ö} \end{matrix}

$\vec{\dot r}_B={_O^B}\,S\,(\vec{\dot r})_O+ {_O^B}\,\dot S\,(\vec{ r})_O\tag 1$

mit :

_{Ö}^{B} \dot{S} =_{Ö}^{B} S {\tilde{ω}}_{Ö}

${_O^B}\,\dot S={_O^B}\,S\,\tilde{\omega}_O$

Und

\vec{ω} \times \vec{R} = \tilde{ω} \vec{R}

$\vec{\omega}\times \vec r=\tilde{\omega}\,\vec r$

daher :

\begin{matrix} (2) & {\vec{\dot{R}}}_{B} =_{Ö}^{B} S (\vec{\dot{R}})_{Ö} +_{Ö}^{B} S ({\vec{ω}}_{Ö} \times {\vec{R}}_{Ö}) \end{matrix}

$\vec{\dot r}_B={_O^B}\,S\,(\vec{\dot r})_O+ {_O^B}\,S\, (\vec \omega_O\times\,\vec{ r}_O)\tag 2$

Multipliziere Gleichung (2) von links mit ${_B^O}\,S$

_{B}^{Ö} S {\vec{\dot{R}}}_{B} = {\vec{\dot{R}}}_{Ö} + {\vec{ω}}_{Ö} \times {\vec{R}}_{Ö}

${_B^O}\,S\,\vec{\dot r}_B=\vec{\dot r}_O+ \vec\omega_O\times\,\vec{ r}_O$

({\vec{\dot{R}}}_{B})_{Ö} = {\vec{\dot{R}}}_{Ö} + {\vec{ω}}_{Ö} \times {\vec{R}}_{Ö}

$\boxed{(\vec{\dot r}_B)_O=\vec{\dot r}_O+ \vec\omega_O\times\,\vec{ r}_O}$

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Genie

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Eli

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