Ist das Polarkoordinatensystem nicht-inertial oder inertial?

Question

Ist das Polarkoordinatensystem nicht-inertial oder inertial?

Larry David

Stellen Sie sich ein Auto vor, das im Kreis liegt und im Flugzeug liegt, und nehmen Sie an, wir wären daran interessiert, seine Beschleunigung zu bestimmen, wie sie von einem Beobachter gemessen wird, der auf dem "Boden" oder was auch immer steht. Die Einführung von Zylinderkoordinaten ist ein traditioneller Weg zu diesem Zweck.

Daher führen wir Zylinderkoordinaten ein, um die planare Bewegung des Reiters zu beschreiben. Wir haben einen Einheitsvektor $\textbf{e}_r$ entlang des Radius und eines weiteren Einheitsvektors $\textbf{e}_\theta$ senkrecht zu $\textbf{e}_r$ . Diese Einheitsvektoren „folgen“ dem Auto in dem Sinne, dass sie sich immer drehen.

In diesem System und ebenso für das stationäre System des Beobachters ist die Beschleunigung des Autos also gegeben durch:

A = (\ddot{R} - R {\dot{θ}}^{2}) e_{R} + (R \ddot{θ} + 2 \dot{R} \dot{θ}) e_{θ}

$\boldsymbol{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \textbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\textbf{e}_\theta$

Der Begriff $2 \dot{r} \dot{\theta} \textbf{e}_\theta$ ist die Coriolis-Beschleunigung.

Jetzt frage ich mich, warum es tatsächlich in dem Ausdruck vorkommt. Denn nach meinem Verständnis ist ein rotierendes System nicht träge. Wie können dann Messungen der Autobeschleunigung, die in diesem rotierenden, nicht trägen System durchgeführt werden, die Beschleunigung des Autos, wie sie im System des stationären Beobachters beobachtet wird, perfekt berücksichtigen und mit ihr übereinstimmen?

Was mich verwirrt, ist, dass wir ein rotierendes und nicht inertiales System verwenden , dh das zylindrische Koordinatensystem, und wir Berechnungen darin anstellen, die die Beschleunigung zufriedenstellend beschreiben, wie sie das nicht rotierende und inertiale System des stationären Beobachters messen würde. Was!?

Nun, da die Coriolis-Beschleunigung tatsächlich im Ausdruck für Beschleunigung offensichtlich ist, sagt uns das, dass das rotierende System träge ist, also sind die Beobachtungen, die in diesem rotierenden System gemacht wurden, die gleichen wie in dem stationären . Wie? Hier fehlt mir offensichtlich etwas. Was?

DJohnM

Wenn der Winkel Theta relativ zu beispielsweise Nord gemessen wird, ist dann das zylindrische System nicht auch inertial?

Larry David

Ich bin mir nicht sicher, ob ich genau verstehe, was du meinst. Soweit ich weiß, dreht sich das System, und das wirbelt die Dinge ein wenig auf. Ich denke, es stellt sich als Trägheit heraus, ich verstehe nur nicht wie.

David Hammen

Hinweis: Sie haben einen Vorzeichenfehler. Die Coriolis-Beschleunigung ist

- 2 \dot{r} \dot{θ} e_{θ}

$-2\dot r \dot \theta \mathbf e_\theta$ . Dies könnte die Quelle Ihrer Verwirrung sein.

Larry David

Hm, wirklich? Schauen Sie sich diesen Wiki-Artikel an: en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system#Vector_calculus

David Hammen

Wirklich. Du betrachtest die Dinge aus der falschen Perspektive. Jeder Begriff auf der rechten Seite außer der

\ddot{r} e_{r}

$\ddot r \mathbf e_r$ Der Begriff muss auf die linke Seite verschoben werden. Mach das und du bekommst

a - 2 \dot{r} \dot{θ} e_{θ} + other terms = \ddot{r} e_{r}

$a - 2\dot r \dot \theta \mathbf e_\theta + \text{other terms} = \ddot r \mathbf e_r$ . Das ist die Quelle Ihres Vorzeichenfehlers bei der Coriolis-Beschleunigung. (Beachte gut: Dein Ausdruck für

a

$a$ ist richtig. Nur das, was Sie Coriolis-Beschleunigung genannt haben, ist falsch.)

Larry David

Ok ich glaube ich verstehe was du meinst. Ist es aber nicht so, dass die Beschleunigung positiv ist, während die Kraft definitionsgemäß negativ ist?

F_{coriolis} = - m a_{coriolis}

$\textbf{F}_{\text{coriolis}} = -m \boldsymbol{a}_{\text{coriolis}}$

David Hammen

Das ist die falsche Definition. Du denkst vielleicht, das ist pingelig, aber Definitionen sind wichtig! Lesen Sie Ihre eigene Referenz. Es ist sehr vorsichtig, diese als Zentrifugal- und Coriolis- Terme zu bezeichnen , "weil sie eine gewisse Ähnlichkeit mit den Zentrifugal- und Coriolis-Effekten haben".

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Fragen: Wie ist die Bahn eines Objekts mit einer Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null, das in diesem Koordinatensystem keinen Kräften ausgesetzt ist? (Die Möglichkeit, es zu skizzieren, reicht aus, Sie müssen zu diesem Zeitpunkt keine funktionale Form ableiten.) Das sind Trägheitsbahnen in diesem Koordinatensystem, und keine davon

r (t)

$r(t)$ ,

\dot{r} (t)

$\dot{r}(t)$ ,

θ (t)

$\theta(t)$ oder

\dot{θ} (t)

$\dot\theta(t)$ entlang dieser Pfade im Allgemeinen null sind. Das Trägheitsverhalten wird nicht durch die Koordinaten bestimmt, sondern durch die Physik.

Antworten (6)

Ist das Polarkoordinatensystem nicht-inertial oder inertial?

Wenn der Winkel Theta relativ zu beispielsweise Nord gemessen wird, ist dann das zylindrische System nicht auch inertial?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich genau verstehe, was du meinst. Soweit ich weiß, dreht sich das System, und das wirbelt die Dinge ein wenig auf. Ich denke, es stellt sich als Trägheit heraus, ich verstehe nur nicht wie.
Hinweis: Sie haben einen Vorzeichenfehler. Die Coriolis-Beschleunigung ist $-2\dot r \dot \theta \mathbf e_\theta$ . Dies könnte die Quelle Ihrer Verwirrung sein.
Hm, wirklich? Schauen Sie sich diesen Wiki-Artikel an: en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system#Vector_calculus
Wirklich. Du betrachtest die Dinge aus der falschen Perspektive. Jeder Begriff auf der rechten Seite außer der $\ddot r \mathbf e_r$ Der Begriff muss auf die linke Seite verschoben werden. Mach das und du bekommst $a - 2\dot r \dot \theta \mathbf e_\theta + \text{other terms} = \ddot r \mathbf e_r$ . Das ist die Quelle Ihres Vorzeichenfehlers bei der Coriolis-Beschleunigung. (Beachte gut: Dein Ausdruck für $a$ ist richtig. Nur das, was Sie Coriolis-Beschleunigung genannt haben, ist falsch.)
Ok ich glaube ich verstehe was du meinst. Ist es aber nicht so, dass die Beschleunigung positiv ist, während die Kraft definitionsgemäß negativ ist? $\textbf{F}_{\text{coriolis}} = -m \boldsymbol{a}_{\text{coriolis}}$
Das ist die falsche Definition. Du denkst vielleicht, das ist pingelig, aber Definitionen sind wichtig! Lesen Sie Ihre eigene Referenz. Es ist sehr vorsichtig, diese als Zentrifugal- und Coriolis- Terme zu bezeichnen , "weil sie eine gewisse Ähnlichkeit mit den Zentrifugal- und Coriolis-Effekten haben".
Fragen: Wie ist die Bahn eines Objekts mit einer Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null, das in diesem Koordinatensystem keinen Kräften ausgesetzt ist? (Die Möglichkeit, es zu skizzieren, reicht aus, Sie müssen zu diesem Zeitpunkt keine funktionale Form ableiten.) Das sind Trägheitsbahnen in diesem Koordinatensystem, und keine davon $r(t)$ , $\dot{r}(t)$ , $\theta(t)$ oder $\dot\theta(t)$ entlang dieser Pfade im Allgemeinen null sind. Das Trägheitsverhalten wird nicht durch die Koordinaten bestimmt, sondern durch die Physik.

David Hammen · Answer 1

In diesem System und ebenso für das stationäre System des Beobachters ist die Beschleunigung des Autos also gegeben durch:

$A = (\ddot{R} - R {\dot{θ}}^{2}) e_{R} + (R \ddot{θ} + 2 \dot{R} \dot{θ}) e_{θ}$ $\boldsymbol{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \textbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\textbf{e}_\theta$

Der Begriff $2 \dot{r} \dot{\theta} \textbf{e}_\theta$ ist die Coriolis-Beschleunigung.

Die Beschleunigung des Autos im rotierenden System und im stationären System ist nicht gleich. Die Begriffe beinhalten $\dot r$ Und $\ddot r$ verschwinden, wenn das Auto im Kreis fährt und der rotierende Beobachter im Mittelpunkt des Kreises steht. Die Beschleunigung ist dabei im rotierenden System identisch Null, im stationären System jedoch ungleich Null.

Der stationäre Beobachter muss nur die Reibungskräfte an den Rädern des Autos, den Luftwiderstand an der Karosserie des Autos und die Beschleunigung durch den Motor des Autos kennen, um die Bewegung des Autos zu erklären. Der stationäre Beobachter sieht keinen Coriolis-Effekt. Das ist ein fiktiver Effekt, den nur der rotierende Beobachter benötigt, und nur dann, wenn der rotierende Beobachter Newtons zweites Gesetz verwenden möchte, um die Bewegung des Autos zu erklären. Dies ist eine von mehreren fiktiven Kräften, die in nicht-trägen Rahmen auftreten.

Was mich verwirrt, ist, dass wir ein rotierendes und nicht inertiales System verwenden, dh das zylindrische Koordinatensystem, und wir Berechnungen darin anstellen, die die Beschleunigung zufriedenstellend beschreiben, wie sie das nicht rotierende und inertiale System des stationären Beobachters messen würde. Was!?

Hier gibt es keine Magie. Diese fiktiven Kräfte wurden speziell in einer Weise definiert, die es Beobachtern ohne Trägheit ermöglicht, Bewegungen über das zweite Newtonsche Gesetz zu beschreiben.

Update: Verwenden des zweiten Newtonschen Gesetzes in einem nicht-trägen Rahmen

Angenommen, ein Trägheitsbeobachter (ich ignoriere die Rotation der Erde) befindet sich in einem Beobachtungsstand direkt über der kreisförmigen Bahn. Der Trägheitsbeobachter kennt die auf das Auto wirkenden Einzelkräfte (Radreibung durch Lenkeinschlag, Luftwiderstand, Kraft aus Motormoment (die auch über die Räder wirkt)), summiert diese Kräfte vektoriell und nutzt sie $\mathbf F = m\mathbf a$ um die Beschleunigung des Autos zu finden.

Angenommen, ein anderer Beobachter in der Mitte der Strecke dreht sich, sodass das Auto stationär zu sein scheint. Obwohl auf das Auto eine horizontale Nettokraft wirkt, ist die Beschleunigung des Autos aus der Perspektive des rotierenden Beobachters Null (das Auto steht). Schlimmer noch, der rotierende Beobachter sieht den Trägheitsbeobachter um die Spur kreisen, entgegengesetzt zur Rotation des rotierenden Beobachters. Offensichtlich eine naive Anwendung von $\mathbf F = m\mathbf a$ funktioniert nicht für den rotierenden Beobachter. Newtons zweites Gesetz kann zum Funktionieren gebracht werden, indem einige fiktive Kräfte hinzugefügt werden.

Lassen Sie die Spur oval statt kreisförmig machen. Jetzt sieht der rotierende Beobachter eine gewisse Beschleunigung. Das Auto nähert sich dem Beobachter und entfernt sich davon, wenn das Auto um die Strecke fährt. Die vom rotierenden Beobachter beobachtete Beschleunigung ist $\mathbf a_\text{rotating} = \ddot r \mathbf e_r$ . Die vom Trägheitsbeobachter beobachtete Beschleunigung des Autos, transformiert in den Referenzrahmen des rotierenden Beobachters, ist $\mathbf a_\text{inertial} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\mathbf e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\mathbf e_\theta$ . (Beachten Sie, dass dies derselbe Ausdruck in der Eröffnungsfrage ist). Der allererste Begriff, $\ddot r \mathbf e_r$ , ist die vom rotierenden Beobachter beobachtete Beschleunigung. Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann dies umgeschrieben werden als

\frac{F_{ext}}{M} = A_{rotierend} - R {\dot{θ}}^{2} e_{R} + (R \ddot{θ} + 2 \dot{R} \dot{θ}) e_{θ}

$\frac {\mathbf F_\text{ext}} m = \mathbf a_\text{rotating} - r\dot\theta^2\mathbf e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\mathbf e_\theta$ oder

F_{ext} + M R {\dot{θ}}^{2} e_{R} - M R \ddot{θ} e_{θ} - 2 M \dot{R} \dot{θ}) e_{θ} = M A_{rotierend}

$\mathbf F_\text{ext} + mr\dot\theta^2\mathbf e_r - mr\ddot\theta\mathbf e_\theta - 2m\dot r \dot\theta)\mathbf e_\theta = m\mathbf a_\text{rotating}$ Bezeichnen

\begin{aligned} F_{zentrifugal} & \equiv M R {\dot{θ}}^{2} e_{R} \\ F_{Koriolis} & \equiv - 2 M \dot{R} \dot{θ}) e_{θ} \\ F_{Euler} & \equiv - M R \ddot{θ} e_{θ} \\ F_{Knirps} & \equiv F_{ext} + F_{zentrifugal} + F_{Koriolis} + F_{Euler} \end{aligned}

$\begin{aligned} &\mathbf F_\text{centrifugal} && \equiv mr\dot\theta^2\mathbf e_r \\ &\mathbf F_\text{coriolis} && \equiv -2m\dot r \dot\theta)\mathbf e_\theta \\ &\mathbf F_\text{euler} && \equiv -mr\ddot\theta\mathbf e_\theta \\ &\mathbf F_\text{tot} && \equiv \mathbf F_\text{ext} + \mathbf F_\text{centrifugal} + \mathbf F_\text{coriolis} + \mathbf F_\text{euler} \end{aligned}$

Damit vereinfacht sich der Ausdruck, der die vom rotierenden Beobachter beobachtete Kraft und Beschleunigung in Beziehung setzt

F_{Knirps} = M A_{rotierend}

$\mathbf F_\text{tot} = m\mathbf a_\text{rotating}$ Newtons zweites Gesetz!

Aber es ist in Bezug auf geschrieben $\textbf{e}_r$ Und $\textbf{e}_\theta$ das sind die Einheitsvektoren für das rotierende zylindrische System. Warum ist dann zB der Coriolios-Term vorhanden? Sollte es nicht verschwinden? Wird diese fiktive Kraft vom rotierenden oder nicht rotierenden System beobachtet? Für einen von ihnen muss es verschwinden, nein?
@larrydavid (1) Diese Antwort war ehrlich gesagt eine der hilfreichsten, die ich gelesen habe, um dies zu verstehen. Die Verwirrung, die ich hier denke, besteht darin, zwischen fiktiven Kräften und Beschleunigungen zu unterscheiden (Sie nennen beide "Coriolis-Begriffe". Die fiktiven Kräfte sind in einem Nicht-Trägheitssystem vorhanden, insbesondere weil sie die Beschleunigungen beim Beobachten in der Rotation erklären sollen Beachten Sie, dass der Beobachter im rotierenden System keine Beschleunigung sieht (im kreisförmigen Beispiel).Dies ist nur sinnvoll, wenn "irgendeine Art von Kraft" vorhanden wäre, um den beobachteten "entgegenzuwirken".
@larrydavid(2)Das sind die fiktiven Kräfte. Die Beschleunigungsterme in der von Ihnen vorgestellten Gleichung sind das Ergebnis der Transformation der Beschleunigung im Trägheitsrahmen in das rotierende Koordinatensystem. Dies ist die Beschleunigung im inertialen Bezugssystem, mathematisch beschrieben durch das rotierende Koordinatensystem. Für den rotierenden Beobachter sind diese Beschleunigungen nicht vorhanden und daher sind die fiktiven Kräfte da, um die anderen realen Kräfte, die der Beobachter in der rotierenden Referenz sieht, "auszugleichen", da keine Beschleunigung beobachtet wird.

DJohnM · Answer 2

Lassen Sie uns hier klar sein.

Sie haben ein Auto, das sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und natürlich konstantem Radius um einen Mittelpunkt in einem Kreis dreht.

Sie verwenden einen kartesischen Bezugsrahmen mit seinem Ursprung im Mittelpunkt des Kreises, der z-Achse vertikal, der x-Achse nach Osten und der y-Achse nach Norden. Nennen Sie es Rahmen Nr. 1

In diesem Bezugsrahmen gelten alle Newtonschen Gesetze, und alle Beschleunigungen in x-, y- oder z-Richtung zu einem bestimmten Zeitpunkt können durch die x-, y- und z-Komponenten aller realen Kräfte in diesem Moment erklärt werden die deutlich vorhanden und sichtbar sind: die Schwerkraft, die Reibung zwischen Reifen und Straße, die Reaktionskraft des (möglicherweise) aufgeschütteten Bodens. Sie können alle Bewegungsgleichungen aufschreiben, und sie gelten für die beobachteten Bewegungen und Kräfte.

Jetzt haben Sie sich entschieden, einen zylindrischen polaren Referenzrahmen zu verwenden. Nennen Sie es Rahmen Nr. 2. In diesem Bezugsrahmen ist die z-Achse vertikal und Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn von Osten aus gemessen. In diesem Bezugsrahmen ist die Bewegung des Autos einfacher zu beschreiben: z = 0, r = konstant, und die Winkelgeschwindigkeit ist konstant.

Dies ist kein rotierender Bezugsrahmen.

Es gibt Transformationen, mit denen Sie jede Instanz von x oder seinen Ableitungen durch eine Funktion von nur r ersetzen können. $\theta$ und z und ihre Ableitungen. Dasselbe gilt für y und z. Die kartesischen Versionen der Newtonschen Bewegungsgesetze würden also jeweils in eine rein zylindrische polare Version derselben Gleichungen umgewandelt. Die Newtonschen Gesetze würden immer noch gelten.

Eine dritte Möglichkeit besteht darin, CylPol-Koordinaten zu verwenden, bei denen die Winkel von der Position des Autos aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen werden! Jetzt bist du wirklich in Schwierigkeiten. Auf das Auto wirken alle realen Kräfte, sie gleichen sich nicht aus und das Auto sitzt absolut still. Keine Bewegung, keine Beschleunigung. Jetzt brauchen Sie ein paar fiktive Kräfte ...

Die Schlüsselidee ist also, dass jeder Vektor $(r,\theta)$ im Zylinder gegebenen kann immer in einen Vektor umgewandelt werden $(x,y)$ im kartesischen System also dem nicht rotierenden Bezugssystem. Aber ist das nicht immer wahr, egal ob der rotierende Bezugsrahmen ein zylindrischer oder was auch immer ist? Bedeutet dies, dass kein rotierendes Bezugssystem ein rotierendes Bezugssystem ist, nur weil es immer Rücktransformationen zum kartesischen System gibt? Übrigens, fantastische Gliederung in Ihrer gesamten Antwort. Ich glaube, ich bin kurz davor, das endlich zu verstehen, ich muss nur ein paar Dinge herausfinden
Wie kommt es, dass das zylindrische polare Bezugssystem kein rotierendes Bezugssystem ist? Sicher, alle Koordinaten im Polarsystem können in das kartesische System transformiert werden, aber warum bedeutet das, dass es sich nicht um ein rotierendes System handelt? Nehmen Sie einen beliebigen rotierenden Rahmen und Sie können seine Koordinaten in kartesische Koordinaten umwandeln. Wann genau ist der Rahmen also tatsächlich eine rotierende Referenz?

Larry David · Answer 3

Nachdem ich eine Weile darüber nachgedacht habe, denke ich, dass die einfachste Antwort die Formel sein muss

A = (\ddot{R} - R {\dot{θ}}^{2}) e_{R} + (R \ddot{θ} + 2 \dot{R} \dot{θ}) e_{θ}

$\boldsymbol{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \textbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\textbf{e}_\theta$ kann nur erzeugt werden, wenn wir nach dem Trägheitsbeobachter differenzieren. Erst durch unsere Differenzierung der Terme im Inertialsystem erzeugen wir die Coriolis-Terme und so weiter.

Es handelt sich also im Grunde um ein Trägheitsergebnis, da im Inertialsystem differenziert wurde, obwohl der Ortsvektor im rotierenden Polarkoordinatensystem geschrieben wurde.

Keith · Answer 4

Im euklidischen Raum wird ein Punkt oft mit kartesischen Koordinaten beschrieben. Diese Koordinaten haben Einheitsvektoren, die sich nicht mit Zeit und Position ändern: $\bf{e}_{x}$ , $\bf{e}_{y}$ Und $\bf{e}_{z}$ . Je nach Problem gibt es alternative Beschreibungen, um diesen Punkt bequemer zu beschreiben.

Zylindrische Koordinaten: Wikipedia-Link (Cylindrical)

Mit Einheitsvektoren $\bf{e}_{\theta}$ , $\bf{e}_{r}$ Und $\bf{e}_{z}$

Kugelkoordinaten: Wikipedia-Link (Sphärisch)

Mit Einheitsvektoren $\bf{e}_{\theta}$ , $\bf{e}_{r}$ Und $\bf{e}_{z}$

Wir können feststellen, dass sich diese Einheitsvektoren mit der Zeit und mit der Position in Bezug auf den Ursprung ändern .

Wenn wir die Lage eines Punktes im Raum mit kartesisch oder mit zylindrisch beschreiben:

P = X e_{X} + j e_{j} + z e_{z} = R e_{θ} + θ e_{R} + z e_{z}

$P=x {\bf{e}_{x}}+y {\bf{e}_{y}} + z {\bf{e}_{z}}= r {\bf{e}_{\theta}}+\theta {\bf{e}_{r}}+z \bf{e}_{z}$

Sie können sich diesen Link für die Ableitung von ansehen $\dot{P}$ Und $\ddot{P}$ , Wo:

\dot{P} = \dot{X} e_{X} + \dot{j} e_{j} + \dot{z} e_{z} = \dot{R} e_{θ} + R \dot{θ} e_{R} + \dot{z} e_{z}

$\dot{P}=\dot{x} {\bf{e}_{x}}+\dot{y} {\bf{e}_{y}} + \dot{z} {\bf{e}_{z}}= \dot{r} {\bf{e}_{\theta}}+r\dot{\theta} {\bf{e}_{r}}+\dot{z} \bf{e}_{z}$

\ddot{P} = \ddot{X} e_{X} + \ddot{j} e_{j} + \ddot{z} e_{z} = (\ddot{R} - R {\dot{θ}}^{2}) e_{θ} + (2 \dot{R} \dot{θ} + R \ddot{θ}) e_{R} + \ddot{z} e_{z}

$\ddot{P}=\ddot{x} {\bf{e}_{x}}+\ddot{y} {\bf{e}_{y}} + \ddot{z} {\bf{e}_{z}}= (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) {\bf{e}_{\theta}}+(2\dot{r}\dot{\theta} +r\ddot{\theta}){\bf{e}_{r}}+\ddot{z} \bf{e}_{z}$

Wie Sie sehen, beschreibe ich nur die Kinematik eines Punktes in Bezug auf einen statischen Ursprung. Das heißt, ich befinde mich in einem inertialen Bezugssystem und messe Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung nur mit einem neuartigen Lineal.

Ich befinde mich nicht in einem rotierenden Referenzrahmen, wenn Sie an dieser Art von nicht-inertialem Referenzrahmen interessiert sind, gehen Sie zu diesem Link .

Wenn sich das Auto in Ihrem Beispiel mit dem Auto dreht, beachten Sie einen Punkt. Ich kann seine Bewegung mit zylindrischen Koordinaten beschreiben, aber wie ich bereits sagte, benutze ich nur eine andere Art von Lineal. Ich kann auch kartesische Koordinaten verwenden, aber die Dinge werden viel komplexer.

Da ich mich in einem stationären Trägheitsreferenzrahmen befinde, gelten die Newton-Gesetze ohne Korrekturen. Diese Coriolis-Beschleunigung ist wahr , wie Sie aus der Ableitung ersehen können, wenn Sie wissen wollen, warum sie manchmal als fiktive Beschleunigung bezeichnet wird, lesen Sie diesen Link . Aber das ist, wenn ich mich in einem nicht-trägen Referenzrahmen befinde, insbesondere rotiere.

Dies könnte ein Missverständnis sein, wenn Sie denken, dass dies eine fiktive Beschleunigung in allen Bezugssystemen ist, ist wie zu sagen, dass ich alle Zeiten in kartesischen Koordinaten eine "fiktive" Beschleunigung messe, wenn ich in einem beschleunigten Zug bin. Das liegt daran, dass ich es "Zugbeschleunigung" nenne und dieselbe mathematische Notation hat wie die wahre reale Beschleunigung, die von einem Inertialsystem gemessen wird.

Fiktive Zugbeschleunigung: $\vec{a}_{\text{tr}}=\ddot{\vec{a}}$

Trägheitsbeschleunigung: $\vec{a}=\ddot{\vec{a}}$

Sie sind gleich, weil der Buchstabe am Ende derselbe ist und ich es Zugbeschleunigung nenne und es ist fiktiv, also ist es in kartesischen Koordinaten vorhanden. GEFÄLSCHT

Stan Liou · Answer 5

Lassen Sie uns hier die Terminologie klarstellen, denn wörtlich genommen ist Ihre Frage ein bisschen wie die Frage, ob der Drehimpuls grün oder nicht grün ist.

Polarkoordinaten existieren im Raum. Kurven konstant $r$ sind kreisförmig und Kurven konstant $\theta$ sind in der üblichen Weise radial. Wenn wir ihre Tangentenvektoren nehmen und sie normalisieren, erhalten wir $\hat{\mathbf{e}}_\theta$ Und $\hat{\mathbf{e}}_r$ wie gewöhnlich. Sie "folgen" dem Auto nicht. Sie sind nicht einmal einzelne Vektoren, da sie je nach Ort in der euklidischen Ebene variieren. Sie sind also Vektorfelder über den gesamten Raum.

Daher stellen Polarkoordinaten weder einen Trägheitsrahmen noch einen Nicht-Trägheitsrahmen dar, weil sie kein Rahmen sind.

Ein Rahmen würde aus Vektorfeldern über der Raumzeit bestehen, aber da die Zeit in der Newtonschen Mechanik wirklich einfach ist, können wir uns das einfach als eine Abbildung der Zeit vorstellen $t$ zu einem Paar glatter Vektorfelder über dem Raum. Wenn wir hier Polarkoordinaten verwenden wollen, dann:

T \mapsto ({\hat{e}}_{R} (T), {\hat{e}}_{θ} (T)) .

$t\mapsto (\hat{\mathbf{e}}_r(t),\hat{\mathbf{e}}_\theta(t))\text{.}$ Stellen Sie sich den Rahmen als die Zuordnung von Zeit zu Vektorfeldern über den Raum vor. Diese Zuordnung kann träge oder nicht träge sein.

Nun frage ich mich, warum [der Coriolis-Begriff $2 \dot{r} \dot{\theta}\hat{\mathbf{e}}_\theta$ ] taucht tatsächlich im Ausdruck auf. Denn nach meinem Verständnis ist ein rotierendes System nicht träge. Wie können dann Messungen der Autobeschleunigung, die in diesem rotierenden, nicht trägen System durchgeführt werden, die Beschleunigung des Autos, wie sie im System des stationären Beobachters beobachtet wird, perfekt berücksichtigen und mit ihr übereinstimmen?

Sie fragen sich also im Wesentlichen, warum die Gleichung $\ddot{\mathbf{x}} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{\mathbf{e}}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\mathbf{e}}_\theta$ ist so oder so richtig. Der Grund ist einfach: Es ist im Allgemeinen für Polarkoordinaten korrekt.

In einem mitrotierenden Rahmen mit Polarkoordinaten um den Mittelpunkt der Strecke hat das Auto $r\dot\theta = 2\dot{r}\dot{\theta} = 0$ Weil $\dot\theta = 0$ für die Fahrbahn des Autos. Daher müssen wir unserem zweiten Newtonschen Gesetz Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte hinzufügen, um dies zu "reparieren".

Da die Coriolis-Beschleunigung tatsächlich im Ausdruck für Beschleunigung zu sehen ist, sagt uns nun klar, dass das rotierende System träge ist, ...

Dies ist nicht der Fall, da der Ausdruck vollständig Frame-agnostisch ist. Es betrifft überhaupt keine Rahmen.

... also sind die Beobachtungen in diesem rotierenden System die gleichen wie in dem stationären. Wie? Hier fehlt mir offensichtlich etwas. Was?

Ich habe oben bewusst vermieden, die Koordinatenbeschleunigung gleichzusetzen $\ddot{\mathbf{x}}$ mit der beschleunigung $\mathbf{a}$ , weil ich letzteres für die absolute Beschleunigung reservieren wollte . Wenn wir diese Interpretationen für diese Symbole zuweisen, dann (1) in einem Inertialsystem, $\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{x}}$ , während (2) im mitrotierenden Rahmen, $\mathbf{a} \neq \ddot{\mathbf{x}}$ weil Sie die Zentrifugal- und Coriolis-Terme des Autos (Rahmens) zu Newtons zweitem Gesetz hinzufügen müssen.

John Darby · Answer 6

Siehe Diskussion in Warum tritt die Coriolis-Kraft auf, wenn die Kräfte auf ein Teilchen in Polarkoordinaten abgeleitet werden? . Der Hauptpunkt ist, dass in einem Inertialsystem die Einheitsvektoren der Polarkoordinaten die Richtung ändern.

Ist das Polarkoordinatensystem nicht-inertial oder inertial?

Larry David

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David Hammen

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dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

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