Mehr zur geschlossenen Form für ein einfaches Pendel

Das einfache Pendel ist dasjenige, das die Kleinwinkelnäherung verwendet. Die Verwendung eines masselosen Stabes ist nicht erforderlich, da jedes Trägheitsmoment ausgedrückt werden kann als$mr^2$für einige$r$. Also werde ich eine schnelle Ableitung der Bewegungsgleichungen durchgehen und die exakte Lösung der angenäherten (lokal linearisierten) Gleichung vergleichen, und ich werde besprechen, wie man zum elliptischen Integral für die reelle Gleichung kommt.

Ich glaube auch, dass Sie möglicherweise einen Fehler gemacht haben, als Sie von der Gleichung zweiter Ordnung zur Gleichung erster Ordnung gingen, aber ich sehe keine Arbeit, daher kann ich es nicht wirklich sagen. Das Ende sieht ähnlich aus wie Wikipedia, aber das basiert nicht auf der linearisierten Gleichung, also wäre das höchst unerwartet. Außerdem sagen Sie, dass die Gleichung für nicht spezifiziert ist$\dot{\theta}_0$aber die Quadratwurzel impliziert das$cos\theta\geq cos\theta_0$Wenn ich also ein Pendel mit hoher Geschwindigkeit aus der Horizontalen sende, wird seine Ausrichtung komplex. Etwas scheint seltsam.

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Betrachtet man die Gleichung für das ungedämpfte Pendel – masseloser Stab um einen Punkt fixiert, das andere Ende an einer Punktmasse fixiert – wo$\theta$der Winkel von der Vertikalen ist, können wir die Lagrange-Funktion schreiben und dann die Bewegungsgleichungen.

$$L = ml^2{\dot{\theta}}^2 - mgl (1-cos\theta)\\ \frac{d}{dt}\bigg[\frac{\delta L}{\delta \dot{\theta}} \bigg] - \frac{\delta L}{\delta \theta}=0 \\ ml^2\ddot{\theta} + mgl~sin\theta = 0 \\ \ddot{\theta} + \frac{g}{l}~sin\theta = 0$$

Von hier aus können wir die Annäherung vornehmen,$sin\theta\approx\theta$das für klein$\theta$was eine Gleichung erzeugt, die Sie haben, wo$l{\omega_0}^2=g$. Dies ist eine lineare Gleichung zweiter Ordnung, es gibt keinen Term erster Ordnung, die möglichen Lösungen sind$\theta=0$oder$\theta=exp(rt)$und wenn Sie das zweite ersetzen, werden Sie das finden$r^2+{\omega_0}^2=0$So$r$eine reine imaginäre Zahl ist und die Lösungen Sinus und Cosinus der Frequenz sind$\omega_0$. Diese Tatsache ist unabhängig von der Anfangsbedingung. Wichtig ist, dass die Periode konstant ist, wenn Sie diese Gleichung verwenden, es ist eine lineare, einzelne Variable.

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Spannender ist das Lösen des Originals, das ich mit einer kleinen Modifikation umschreiben werde, indem ich multipliziere$\dot{\theta}$,

$$\dot{\theta}\ddot{\theta} + \dot{\theta}\frac{g}{l}sin\theta = 0$$

Von hier aus mache ich es einfach, lass C eine Integrationskonstante sein.

$$\frac{d}{dt} \bigg[\dot{\theta}^2/2 - \frac{g}{l}cos\theta\bigg] = 0 \\ \dot{\theta}^2/2 - \frac{g}{l}cos\theta = C \\ \frac{d\theta}{dt} = \sqrt{ 2C+2\frac{\strut g}{l}cos\theta} \\ \int d\theta\bigg/\sqrt{ 2C+2\frac{\strut g}{l}cos\theta} = \int{dt}$$ Der letzte Teil ist ein Toughie. Aber das einzige, was ich sagen kann, ist das $C$ist wahrscheinlich proportional zur Gesamtenergie des Systems, da es konserviert ist und es hat $s^{-2}$drin.