Wie lang ist die Periodendauer eines Oszillators mit variierender Federkonstante?

Question

Wie lang ist die Periodendauer eines Oszillators mit variierender Federkonstante?

dr_pilz

Es ist allgemein bekannt, dass die Zeitdauer eines harmonischen Oszillators bei Masse liegt $m$ und Federkonstante $k$ konstant sind $T=2\pi\sqrt{m/k}$ .

Allerdings würde mich interessieren, wie lange der Zeitraum ist $k$ ist nicht konstant. Ich habe Stunden um Stunden nach richtigen Antworten von Google gesucht und nichts gefunden. Ich suche nach einer analytischen Lösung.

Floris

Wenn Sie "nicht konstant" sagen, meinen Sie "k hängt von der Verschiebung x ab"? In diesem Fall haben Sie einen sogenannten "nichtlinearen Oszillator" (den Sie googeln können. Es gibt keine einzige "analytische" Lösung, und die Periode hängt von der Amplitude ab). Wenn sich die Masse ändert, müssen Sie sich fragen, "wie"? Nimmt die Masse zu? Welchen Schwung hat es, wenn es „ankommt“? Nimmt es ab? Wenn ja, wird die Masse in alle Richtungen gleichmäßig ausgestoßen? Einige Klarstellungen sind erforderlich...

dr_pilz

Ich würde mich für den allgemeinen Fall interessieren, in dem k von der Verschiebung oder der Zeit oder einer anderen Variablen abhängen kann. Das ist vielleicht unmöglich? Dann könnten wir denken, dass k von t abhängt --> k(t). Die Masse ist nicht variabel, sondern konstant.

dr_pilz

Und ich vergaß zu erwähnen: Die Amplitude der Bewegung ist in dieser Situation bekannt

Floris

Wenn k mit der Verschiebung größer wird, steigt im Allgemeinen die Frequenz bei größeren Amplituden; wenn k kleiner wird, nimmt es ab. Das Standardbeispiel ist ein "echtes" Pendel, das bei größeren Auslenkungen nichtlinear wird. Das ist gut untersucht. Mir ist kein allgemeiner Ansatz für "irgendeinen" nichtlinearen Oszillator bekannt, aber diese Vorlesungsunterlagen sind ein Anfang.

dr_pilz

Danke Floris für die Antwort! Ich habe versucht zu verstehen, wie ich diese Vorlesungsnotizen verwenden könnte (ich habe versucht, viele Notizen zu lesen, die denen ähneln, die Sie mir schicken), aber ich muss sagen, sie gehen weit über mein Verständnis hinaus, selbst wenn ich eine Ausbildung in Mathematik habe (I bin Ingenieur). Diese Frage ist eine Art Nebenprojekt für mein eigentliches Arbeitsprojekt.

Floris

Wenn Sie einen allgemeinen Ansatz wünschen, wird es leider ziemlich schnell ziemlich schwierig. Wenn Sie eine bestimmte Frage stellen (hier oder auf der Mathe-Website), erhalten Sie möglicherweise eine bestimmte Antwort, die leichter zu verstehen / zu befolgen ist.

Antworten (4)

Wie lang ist die Periodendauer eines Oszillators mit variierender Federkonstante?

Wenn Sie "nicht konstant" sagen, meinen Sie "k hängt von der Verschiebung x ab"? In diesem Fall haben Sie einen sogenannten "nichtlinearen Oszillator" (den Sie googeln können. Es gibt keine einzige "analytische" Lösung, und die Periode hängt von der Amplitude ab). Wenn sich die Masse ändert, müssen Sie sich fragen, "wie"? Nimmt die Masse zu? Welchen Schwung hat es, wenn es „ankommt“? Nimmt es ab? Wenn ja, wird die Masse in alle Richtungen gleichmäßig ausgestoßen? Einige Klarstellungen sind erforderlich...
Ich würde mich für den allgemeinen Fall interessieren, in dem k von der Verschiebung oder der Zeit oder einer anderen Variablen abhängen kann. Das ist vielleicht unmöglich? Dann könnten wir denken, dass k von t abhängt --> k(t). Die Masse ist nicht variabel, sondern konstant.
Und ich vergaß zu erwähnen: Die Amplitude der Bewegung ist in dieser Situation bekannt
Wenn k mit der Verschiebung größer wird, steigt im Allgemeinen die Frequenz bei größeren Amplituden; wenn k kleiner wird, nimmt es ab. Das Standardbeispiel ist ein "echtes" Pendel, das bei größeren Auslenkungen nichtlinear wird. Das ist gut untersucht. Mir ist kein allgemeiner Ansatz für "irgendeinen" nichtlinearen Oszillator bekannt, aber diese Vorlesungsunterlagen sind ein Anfang.
Danke Floris für die Antwort! Ich habe versucht zu verstehen, wie ich diese Vorlesungsnotizen verwenden könnte (ich habe versucht, viele Notizen zu lesen, die denen ähneln, die Sie mir schicken), aber ich muss sagen, sie gehen weit über mein Verständnis hinaus, selbst wenn ich eine Ausbildung in Mathematik habe (I bin Ingenieur). Diese Frage ist eine Art Nebenprojekt für mein eigentliches Arbeitsprojekt.
Wenn Sie einen allgemeinen Ansatz wünschen, wird es leider ziemlich schnell ziemlich schwierig. Wenn Sie eine bestimmte Frage stellen (hier oder auf der Mathe-Website), erhalten Sie möglicherweise eine bestimmte Antwort, die leichter zu verstehen / zu befolgen ist.

Kapitän Numerisch · Answer 1

Hier ist eine Lösung für eine Federkraft, die sich direkt mit der Verschiebung ändert. Sie variiert somit implizit mit der Zeit, hat aber keine explizite Abhängigkeit von der Zeit oder irgendeiner anderen Variablen.

Voraussetzungen und Annahmen

Oszillator mit Masse $m$
Amplitude der Schwingung $A$
Oszillatorverschiebung, $x$ , variiert mit der Zeit, aber $x(t)$ ist unbekannt
Feder übt Kraft aus, die mit der Verschiebung variiert, $F(x)$
Die Funktion $F(x)$ ist eine ungerade Funktion, das heißt $F(-x) = -F(x)$ (Andernfalls könnte die Amplitude in positiver und negativer Richtung unterschiedlich sein - siehe unten, was in diesem Fall zu tun ist)
Gleichgewichtslage ist $x=0$ , das ist $F(0) = 0$ (nur zur Bequemlichkeit)

Zielsetzung

Finden Sie die Schwingungsdauer, $T$

Lösung

Ausgehend von der Energieerhaltung muss die Summe der kinetischen und potentiellen Energie der Masse gleich der Gesamtenergie sein, die konstant ist.

K E (X) + P E (X) = E

$KE(x)+PE(x)=E$

K E (X) = \frac{1}{2} M v^{2} (X)

$KE(x)=\frac{1}{2}mv^2(x)$

P E (X) = \int_{0}^{X} D X^{'} F (X^{'})

$PE(x)=\intop_0^xdx'\,F(x')$ So

P E (x)

$PE(x)$ ist die potentielle Energie, die in der Feder gespeichert ist, mit

x^{'}

$x'$ als reine Integrationsvariable.
Wir können uns vorstellen

P E (x)

$PE(x)$ als weitere Möglichkeit, das Kraft-Weg-Verhältnis der Feder zu definieren. Wir können die potenzielle Energie gegenüber der Verschiebung oder die Kraft gegenüber der Verschiebung definieren, und das andere ist ziemlich einfach.

Jetzt bei $x=A$ , $KE(x=A)=0$ , So $PE(A)=E$ ist bekannt.

Und das haben wir

\frac{1}{2} M v^{2} (X) = P E (A) - P E (X)

$\frac{1}{2}mv^2(x)=PE(A)-PE(x)$ Auflösen für

v (x)

$v(x)$ ,

v (X) = \sqrt{\frac{2}{M} (P E (A) - P E (X))}

$v(x)=\sqrt{\frac{2}{m}\left(PE(A)-PE(x)\right)}$

Weil $v=\frac{dx}{dt}$ , wir können auch schreiben

D T = \frac{D X}{v (X)}

$dt=\frac{dx}{v(x)}$ Die Integration beider Seiten, die Zeit, von einer Position zu gehen

x_{0}

$x_0$ Zu

x_{1}

$x_1$ Ist

Δ T = \int_{X_{0}}^{X_{1}} \frac{D X}{v (X)}

$\Delta t = \intop_{x_0}^{x_1}\frac{dx}{v(x)}$ Insbesondere kennen wir die Zeit, die benötigt wird, um von zu gehen

x = 0

$x=0$ Zu

x = A

$x=A$ Ist

T / 4

$T/4$ , So

T = 4 \int_{0}^{A} \frac{D X}{v (X)}

$T=4\intop_0^A\frac{dx}{v(x)}$

T = 4 \int_{0}^{A} \frac{D X}{\sqrt{\frac{2}{M}} \sqrt{P E (A) - P E (X)}}

$T=4\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$ was weiter vereinfacht zu ...

Endergebnis

T = \sqrt{8 M} \int_{0}^{A} \frac{D X}{\sqrt{P E (A) - P E (X)}}

$T=\sqrt{8m}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

Überprüfung des Ergebnisses

Für den linearen Fall gilt $F(x)=kx$ , So $PE(x)=\frac{1}{2}kx^2$ Und $PE(A)=\frac{1}{2}kA^2$ , was gibt

T = \sqrt{8 M} \int_{0}^{A} \frac{D X}{\sqrt{\frac{k}{2}} \sqrt{A^{2} - X^{2}}} = 4 \sqrt{\frac{M}{k}} \int_{0}^{A} \frac{D X}{\sqrt{A^{2} - X^{2}}}

$T=\sqrt{8m}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2}}\sqrt{A^2-x^2}} =4\sqrt{\frac{m}{k}}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}$ Dieses Integral kann in einer Tabelle nachgeschlagen werden, um es zu erhalten

T = 4 \sqrt{\frac{M}{k}} ({Sünde}^{- 1} (1) - S ich N^{- 1} (0)) = 4 \sqrt{\frac{M}{k}} \frac{π}{2}

$T=4\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\sin^{-1}(1)-sin^{-1}(0)\right)=4\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{2}$

T = 2 π \sqrt{\frac{M}{k}}

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ wie erwartet. (QED)

Auf die Annahme können wir verzichten $F(x)$ ist ungerade, wenn wir zwei Amplitudenwerte definieren: $A_+ > 0$ für die Amplitude in positiver Richtung und $A_- < 0$ für die Amplitude in negativer Richtung.

Die gesamte Oszillatorenergie, $E = PE(A_+) = PE(A_-)$ , also können wir es immer noch nennen $PE(A)$ solange wir uns daran erinnern, was das jetzt bedeutet.

Dann ist die Zeitspanne doppelt so lang wie die benötigte Zeit, um ab zu gehen $A_-$ Zu $A_+$ , und so

T = 2 \int_{A_{-}}^{A_{+}} \frac{D X}{\sqrt{\frac{2}{M}} \sqrt{P E (A) - P E (X)}}

$T=2\intop_{A_-}^{A_+}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

T = \sqrt{2 M} \int_{A_{-}}^{A_{+}} \frac{D X}{\sqrt{P E (A) - P E (X)}}

$T=\sqrt{2m}\intop_{A_-}^{A_+}\frac{dx}{\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

Tolle Skizze eines allgemeinen Rahmens. Nützlicher als die Frobenius-Methode in der anderen Antwort und verzichtet auch auf die Frage der Konvergenz der Reihe (die in der anderen Antwort vollständig überprüft werden müsste).
+1 - definitiv viel praktischer als die Frobenius-Methode, haha. Der einzige Vorteil, den ich bei der Frobenius-Methode sehe, ist, dass man das nicht nehmen muss $F\left(x\right)$ ist eine ungerade Funktion.
Ich denke immer noch, dass die Frobenius-Methode der richtige Weg für explizite Zeitabhängigkeit ist und auch auf andere Fälle ausgedehnt werden könnte. Ich habe eine Ergänzung hinzugefügt, die erklärt, was zu tun ist, wenn die Funktion nicht seltsam ist. Ich denke nur, dass die ursprüngliche Erklärung einfacher ist, wenn "Amplitude" immer noch das bedeutet, was wir vom linearen Oszillator kennen.

Eric R. Anschütz · Answer 2

Aus Newtons zweitem Gesetz haben wir (ob $k$ konstant ist oder nicht), dass:

M \ddot{X} + k X = 0

$\begin{equation} m\ddot{x}+kx=0 \end{equation}$ Der einzige Unterschied ist ob oder nicht

k

$k$ ist eine Funktion von

t

$t$ oder nicht. Wenn es eine Funktion von ist

t

$t$ , ist der einzige allgemeine Weg, diese Differentialgleichung zu lösen, die Verwendung von Taylor-Entwicklungen. Lass uns nehmen:

X (T) = \sum_{N = 0}^{\infty} A_{N} T^{N}

$\begin{equation} x\left(t\right)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n \end{equation}$ Und:

k (T) = \sum_{N = 0}^{\infty} B_{N} T^{N}

$\begin{equation} k\left(t\right)=\sum_{n=0}^\infty b_nt^n \end{equation}$ Unsere Differentialgleichung lautet dann:

\begin{aligned} M \ddot{X} + k X & = 0 \\ ⟹ \sum_{N = 2}^{\infty} M N (N - 1) A_{N} T^{N - 2} + (\sum_{N = 0}^{\infty} B_{N} T^{N}) (\sum_{N = 0}^{\infty} A_{N} T^{N}) & = 0 \\ ⟹ \sum_{N = 0}^{\infty} [M (N + 2) (N + 1) A_{N + 2} + \sum_{ich = 0}^{N} A_{ich} B_{N - ich}] T^{N} & = 0 \\ ⟹ M (N + 2) (N + 1) A_{N + 2} + \sum_{ich = 0}^{N} A_{ich} B_{N - ich} & = 0 \forall N \\ ⟹ A_{N + 2} & = - \frac{\sum_{ich = 0}^{N} A_{ich} B_{N - ich}}{M (N + 2) (N + 1)} \forall N \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} m\ddot{x}+kx&=0\\ \implies\sum_{n=2}^\infty mn\left(n-1\right)a_nt^{n-2}+\left(\sum_{n=0}^\infty b_nt^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\right)&=0\\ \implies\sum_{n=0}^\infty\left[m\left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}+\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}\right]t^n&=0\\ \implies m\left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}+\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}&=0\forall n\\ \implies a_{n+2}&=-\frac{\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}}{m\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\forall n \end{aligned} \end{equation}$ Als die

k (t)

$k\left(t\right)$ ist alles bekannt

b_{n}

$b_n$ bekannt sind, und wenn wir zwei unserer Anfangsbedingungen kennen, zwei der

a_{n}

$a_n$ sind bekannt (sagen wir

a_{0}

$a_0$ Und

a_{1}

$a_1$ ). Anhand dieser Wiederholungsrelation kann man alle ablesen

a_{n}

$a_n$ – das heißt, man kennt alle Koeffizienten der Taylor-Reihe für

x

$x$ . Man kann in diesem superallgemeinen Fall nicht viel analytischer sehen (um einen Punkt zu finden, müsste man a finden

k (t)

$k\left(t\right)$ das generiert

a_{n}

$a_n$ so dass

x (t)

$x\left(t\right)$ war periodisch, und lesen Sie die Periode aus dieser Funktion ab), aber eine gute Plausibilitätsprüfung besteht darin, zu prüfen, ob wir wann dieselbe Antwort erhalten

k

$k$ ist eine Konstante

k_{c}

$k_c$ ; das ist wenn

b_{0} = k_{c}

$b_0=k_c$ Und

b_{n} = 0

$b_n=0$ für alle

n > 0

$n>0$ . In diesem Fall finden wir Folgendes:

\begin{aligned} A_{2} & = - \frac{A_{0} k_{C}}{2 M} \\ A_{3} & = - \frac{A_{1} k_{C}}{6 M} \\ A_{4} & = \frac{A_{0} k_{C}^{2}}{24 M^{2}} \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} a_2&=-\frac{a_0k_c}{2m}\\ a_3&=-\frac{a_1k_c}{6m}\\ a_4&=\frac{a_0k_c^2}{24m^2}\\ &\vdots \end{aligned} \end{equation}$ Wenn wir dem Muster folgen, bemerken wir, dass die

a_{n}

$a_n$ für sogar

n

$n$ Geben Sie die Taylor-Reihe für an

a_{0} \cos (\sqrt{\frac{k_{c}}{m}} t)

$a_0\cos\left(\sqrt{\frac{k_c}{m}}t\right)$ und das

a_{n}

$a_n$ für ungerade

n

$n$ Geben Sie die Taylor-Reihe für an

a_{1} \sin (\sqrt{\frac{k_{c}}{m}} t)

$a_1\sin\left(\sqrt{\frac{k_c}{m}}t\right)$ , was eine Winkelfrequenz von ergibt

\sqrt{\frac{k_{c}}{m}}

$\sqrt{\frac{k_c}{m}}$ und damit einen Zeitraum von

2 π \sqrt{\frac{m}{k_{c}}}

$2\pi\sqrt{\frac{m}{k_c}}$ .

Guill · Answer 3

Guill

Um eine praktische Antwort zu erhalten, müssen Sie bestimmen, wie k variiert. Wenn beispielsweise k mit der Temperatur variiert, würde ich seinen Wert bei -50, 0 und 50 Grad bestimmen, dann diese Werte verwenden und T berechnen (das sich umgekehrt als Quadratwurzel von k ändert). Ich würde mehr Punkte verwenden, wenn eine höhere Genauigkeit erforderlich ist. Wenn eine Formel erforderlich ist, würde ich die "Best-Fit-Kurve" durch die Punkte verwenden, um sie zu generieren.

dr_pilz

Ich zeige Ihnen gerne, was ich tue, nachdem ich einige vorläufige Ergebnisse habe. Das Problem hatte etwas mit einem mit Flüssigkeit gefüllten Zylinder zu tun. Zylinder hat auch Kolben. Dieser Kolben wird durch ein von oben herabfallendes Gewicht nach unten gedrückt. Dieser ganze Vorgang lässt sich recht genau mit der Gleichung mx''(t)+k(p)x(t)=0 beschreiben, in der k druckabhängig ist. Diese Druckabhängigkeit von k liegt daran, dass Flüssigkeit eine druckabhängige Steifheit hat (ja, das stimmt wirklich, der Druck beträgt Tausende von Bar). Flüssigkeit wirkt also wie eine Feder. Nun, dann ist die Frage, wie man k(p) -> k(x) erhält.

dr_pilz

Der Trick dabei ist, dass ich das auch weiß, weil ich x(t) und das entsprechende p(t) gemessen habe. Aus diesem Wissen denke ich, dass ich k(x) berechnen kann. Warum mich das so interessiert? Weil ich die Steifigkeit dieser Feder aus der Schwingungsdauer messen möchte. Und vielleicht kann ich es jetzt tun, wenn du mir geholfen hast

dr_pilz

Und fast hätte ich vergessen zu sagen: das Gewicht aus unterschiedlichen Höhen fallen gelassen, also kenne ich Schwingungsdauern mit unterschiedlichen Druck-"Pulsen"..

dr_pilz

Und was könnte hier das praktische Ergebnis sein? Nur um zu wissen, wie diese Art von Gerät theoretisch funktioniert, nicht nur praktisch

Przemo · Answer 4

Okay, meines Wissens nach gibt es einige Fälle mit einer zeitabhängigen Federkonstante, bei denen eine Lösung in geschlossener Form bekannt ist. Einer meiner Favoriten ist der folgende, bei dem die Federkonstante eine Potenzfunktion ist. Annehmen, dass $k/m = \omega^2/t^\beta$ Wo $\omega \in {\mathbb R}$ Und $\beta \ge 0$ . Dann nimmt die betreffende ODE eine Form an:

{\ddot{X}}_{T} + \frac{ω^{2}}{T^{β}} X_{T} = 0

$\begin{equation} \ddot{x}_t + \frac{\omega^2}{t^\beta} x_t = 0 \end{equation}$ und es hat die folgenden linear unabhängigen Lösungen:

\sqrt{T} J_{\pm \frac{1}{2 β - 2}} [\frac{ω}{β - 1} T^{1 - β}]

$\begin{equation} \sqrt{t} J_{\pm \frac{1}{2 \beta-2}}\left[\frac{\omega}{\beta-1} t^{1-\beta} \right] \end{equation}$ Wo

J_{\cdot} []

$J_\cdot[]$ ist eine Bessel-Funktion.

Das Ergebnis wird in https://math.stackexchange.com/questions/673737/solution-to-a-second-order-ordinary-differential-equation auf verschiedene Weise bewiesen .

Einen schnellen und schmutzigen "Beweis" liefert der folgende Mathematica-Code:

In[166]:= w =.; b =.; t =.;
Table[FullSimplify[(D[#, {t, 2}] + w^2/t^(2 b) #) & /@ {Sqrt[
      t] BesselJ[eps/(2 b - 2), w/(b - 1) t^(1 - b)]}], {eps, -1, 1, 
  2}]

Out[167]= {{0}, {0}}

Nachdem wir dies alles gesagt haben, wäre es natürlich, unsere ODE zu verallgemeinern, indem wir die Potenzfunktion durch eine lineare Kombination von zwei Potenzfunktionen ersetzen. Mit anderen Worten, wir suchen Lösungen für die folgende ODE:

{\ddot{X}}_{T} + (\frac{ω_{1}^{2}}{T_{1}^{β}} + \frac{ω_{2}^{2}}{T_{2}^{β}}) X_{T} = 0

$\begin{equation} \ddot{x}_t + \left(\frac{\omega_1^2}{t^\beta_1} + \frac{\omega_2^2}{t^\beta_2}\right)x_t = 0 \end{equation}$

Ich habe lange versucht, dieses Problem ohne nennenswerten Erfolg zu lösen (siehe jedoch https://math.stackexchange.com/questions/1018897/an-ordinary-differential-equation-with-time-varying-coefficients ). Der übliche Weg „Ergebnis in Mathematica stecken“ oder „Mathematiker fragen“ hat zu nichts geführt. Wie es scheint, hinkt die Mathematik wie üblich mehrere Jahrzehnte hinter der Physik her und wird sie niemals einholen...;-).

Wie lang ist die Periodendauer eines Oszillators mit variierender Federkonstante?

dr_pilz

Floris

dr_pilz

dr_pilz

Floris

dr_pilz

Floris

Antworten (4)

Kapitän Numerisch

Voraussetzungen und Annahmen

Zielsetzung

Lösung

Endergebnis

Überprüfung des Ergebnisses

Selene Rouley

Eric R. Anschütz

dr_pilz

Kapitän Numerisch

Eric R. Anschütz

Selene Rouley

dr_pilz

Guill

dr_pilz

dr_pilz

dr_pilz

dr_pilz

Przemo

Langfristige Lösung für einen angetriebenen harmonischen Oszillator

Ermitteln der Periode einer anharmonischen Schwingung durch Einsetzen der Lösung für SHM

Schreiben der Gleichung für die Amplitude des angesteuerten harmonischen Oszillators in Lorentz-Form

Position zweier durch eine Feder verbundener Blöcke als Funktion der Zeit

Ist die üblicherweise gelehrte Lösung für erzwungene harmonische Bewegung nur eine spezielle Lösung?

Einfache harmonische Bewegung: Warum ist die Periode unabhängig von der Amplitude, selbst wenn die Winkelgeschwindigkeit mit der Amplitude in Beziehung steht?

Mehr zur geschlossenen Form für ein einfaches Pendel

Anfangsbedingungen der gedämpften harmonischen Bewegung

Unabhängigkeit von Periode und Amplitude in einfachen harmonischen Bewegungen

Exakte Gleichung der Exponentialkurven der unterdämpften harmonischen Bewegung