Ist die üblicherweise gelehrte Lösung für erzwungene harmonische Bewegung nur eine spezielle Lösung?

Nehmen wir an, wir haben eine Masse an einer Feder, die von einer Zwangsfunktion angetrieben wird. Angesichts des Hook-Gesetzes$F = -kx$, und eine Zwangsfunktion von

$$F(t) = F_0\sin(\omega t) .$$ Wir können schreiben:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx + F_0\sin(\omega t)$$

Alle physikalischen Ressourcen, auf die ich gestoßen bin, gehen davon aus, dass die Bewegung der Feder der ausgeübten Kraft folgt, und präsentieren die Lösung als eine Form von:

$$x = C\sin(\omega t)$$

Sie gehen dann typischerweise auf den Ersatz x in der Differentialgleichung ein und erhalten:

$$C = \frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}$$

Das ist eine ziemlich coole Formel. Ich wollte wirklich verstehen, warum, wenn$\omega>\omega_0$,$C$wird negativ und unsere Bewegung ist genau außer Phase mit unserer Kraft. Dies ist für mich nicht intuitiv, und um es besser zu verstehen, habe ich beschlossen, eine numerische Analyse durchzuführen.

Ich habe meine Masse zunächst im Ruhezustand bei Position Null gestartet und zu meinem Entsetzen ergab meine numerische Analyse folgende Ergebnisse:

Offensichtlich kann die Bewegung der Masse nicht durch einen einzigen Sinus beschrieben werden! Was ist denn hier los? Nachdem ich mich ein wenig an den Haaren gezogen hatte, stellte ich fest, dass meine numerische Analyse tatsächlich richtig war und es die analytische Lösung war, die fehlte. Die vollständige Lösung unserer Bewegungsgleichung lautet:

$$x(t) = A\sin(\omega_0 t) + B\cos(\omega_0 t) + \frac{F_0 \sin(\omega t)}{m(\omega_0^2-\omega^2)}$$

Und wenn wir die Anfangsbedingungen richtig aufstellen, stimmt diese analytische Lösung mit der numerischen Lösung überein! Unsere frühere Lösung ist ein Sonderfall dieser Lösung - aber die Anfangsbedingungen müssen auf ganz bestimmte Werte gesetzt werden, damit dies geschieht.

Meine Frage ist also - was zum Teufel ist hier los? Ist diese Lösung einfach nicht wichtig oder nicht relevant? Es scheint mir, dass Sie nicht einmal das Verhalten sehen werden, das in den meisten Physikressourcen gezeigt wird, wenn die Anfangsbedingungen nicht genau richtig sind. Kommt die gelehrte Lösung in realen Anwendungen normalerweise einfach nicht zustande, oder übersehe ich etwas?