Unklare Definition über Nichteinsparung von Energie

Wir alle wissen, dass die Energieerhaltung geschrieben wird als

$$\Delta U + \Delta K = 0$$

Aber wenn wir es mit Systemen zu tun haben, in denen die Energie nicht erhalten bleibt (triviales Beispiel: die Reibung), sind wir in Gegenwart einer Arbeit, die von dieser nicht-konservativen Kraft geleistet wird, die uns zum Schreiben führt

$$\mathcal{L}_{nc} = \Delta E$$

Nehmen wir ein Problem, bei dem$K_f = U_i = 0$, haben wir jetzt einfach

$$\mathcal{L}_{nc} = U_f - K_i$$

Wobei „nc“ für „nicht konservativ“ steht.

Jetzt musste ich mich mit einem Problem dieser Art auseinandersetzen, bei dem ich eine Masse habe$M$von einer Feder geschoben, die sich ein bisschen gerade bewegt (hier keine Reibung), und dann gibt es eine schiefe Ebene mit Reibung$\mu$.

Die Frage ist, wie weit der Körper auf der schiefen Ebene zurücklegt.

Unter Berücksichtigung, dass der Körper aufgrund der Federentlastung eine Anfangsgeschwindigkeit hat,$v_i$, und die Endgeschwindigkeit muss Null sein, und die potentiellen Energien sind es$0$für die erste und$mgh = mg\ell\sin\theta$für das letzte (wo$\theta$ist der Neigungswinkel,$\ell$ist die zurückgelegte Strecke), schreiben wir (gemäß obiger Definition)

$$\mathcal{L}_{nc} = \Delta E = U_f - K_i = mg\ell\sin\theta - \frac{1}{2}mv_i^2$$

Jetzt

$$\mathcal{L}_{nc} = F\cdot \ell = mg\ell \mu\cos\theta$$

Und aufgrund dessen,$\ell$berechnet werden können.

Jetzt hat der Professor stattdessen auf das Papier geschrieben, dass das richtige Ergebnis ist

$$\mathcal{L}_{nc} + mg\ell\sin\theta = \frac{1}{2}mv_i^2$$

Ich verstehe nicht, warum die Zeichen durcheinander sind, und im Grunde ist es so, als ob er das sagt

$$\mathcal{L}_{nc} = -\Delta E$$

Kann mir bitte jemand die ganze Situation erklären?

Vielen Dank!

Details können hinzugefügt werden, wenn Sie welche benötigen