Könnte ∫(ϕ¨+μϕ˙2)dϕ∫(ϕ¨+μϕ˙2)dϕ\int (\ddot\phi + \mu\dot\phi^2)d\phi jemals negativ sein? Wie kann man es zeigen?

Integration durch Teile oder unter Verwendung der Identität$\frac{d}{dt}\dot{\phi}^2=\dot{\phi}\ddot{\phi}+\dot{\phi}\ddot{\phi}$wäre hier der Trick:

$\frac{d\phi}{dt}dt=d\phi$, So:

$\int \ddot{\phi} d\phi=\int \ddot{\phi} \dot{\phi} dt=\dot{\phi}^2-\int \ddot{\phi}\dot{\phi}dt$. Mit dem üblichen Trick (das Integral auf beiden Seiten addieren und durch zwei dividieren) zeigt sich dies$\int \ddot{\phi}d\phi=\frac{1}{2}\dot{\phi}^2$. Jetzt ist es einfacher zu sehen, was ein positiver/negativer Wert dort bedeuten könnte. Wenn$\dot{\phi}_0$eine enorme Geschwindigkeit ist und wir die Kiste durch Drücken (nicht Ziehen) verlangsamt haben, leisten wir wirklich negative Arbeit (die wir verwenden könnten, um Energie zu erzeugen oder eine andere Kiste anzuheben oder was auch immer). Tatsächlich könntest du alle anderen Begriffe mit dieser negativen Arbeit dominieren und finden$W_F$negativ sein. Sie müssen also die Anfangs-/Endgeschwindigkeiten der Box einschränken. Wenn beispielsweise die Winkelgeschwindigkeit am Anfang und am Ende null ist, dann ist die$\ddot{\phi}$Integral muss auch Null sein.

Ich denke nur an die$\ddot{\phi}$Begriff, weil die Freiheit, dass$\mu$gibt das andere Integral aus, um viele Dinge zu tun. Wie - aufgrund des Fummelns$\mu$kleiner zu sein - wenden Sie einen Fall an, in dem der Phi-Quadrat-Term einen negativen dominiert$\ddot{\phi}$Begriff, in einen, wo das Negative$\ddot{\phi}$Term dominiert den Phi-Quadrat-Term.

(Ich bin wirklich müde, also tut es mir leid, wenn hier ein offensichtlicher Fehler ist)