Wie ist es möglich, Reibungsarbeit in mehreren Dimensionen zu definieren?

Wunderbare Frage. Sie haben absolut Recht, wir können kein Kraftfeld für Reibung definieren, wie wir es für die Schwerkraft tun. Aber die Formel für die Arbeit

$$W=\int_\gamma \vec{F}\cdot\vec{dr}$$

hält noch. Wir müssen nur ein bisschen vorsichtiger sein, wie wir schreiben$\vec{F}$. Natürlich (wie bei der Schwerkraft) wollen wir aufschreiben$\vec{F}$nur als Funktion der Position. Das ist,

$$\vec{F}=F_x(x,y,z)\,\hat{i}+F_y(x,y,z)\,\hat{j}+F_z(x,y,z)\,\hat{k}.$$

Zum Beispiel hat die Schwerkraft ein konstantes Kraftfeld,$\vec{F} = -g\,\hat{k}$. Um dann ein Problem zu lösen, würden wir eine Kurve parametrisieren$\gamma = (x(t),y(t),z(t))$, ersetzen Sie alle x-, y- und z-Werte in der Gleichung für$\vec{F}$mit diesen neuen Ausdrücken (im Sinne von$t$) und führe dann das Linienintegral aus.

Aber wir mussten nicht schreiben$\vec{F}$allein in Bezug auf$x$,$y$, Und$z$. Tatsächlich ist das Formular, das ich oben geschrieben habe, möglicherweise nicht besonders nützlich - wir haben es nicht einmal direkt verwendet! Wir haben es nur als Werkzeug benutzt, um es zu bekommen$\vec{F}$an jedem Punkt entlang der Kurve und durch Verlängerung zu bekommen$\vec{F}$zu jeder Zeit$t$. Aber wenn wir eines dieser Dinge bereits wissen, müssen wir diese Gymnastik nicht durchlaufen.

Wie läuft zum Beispiel die Geschichte zur Gleitreibung? Nun, es widersetzt sich immer der Bewegung oder ist in der Richtung entgegengesetzt zur Geschwindigkeit. Außerdem hat es eine von der Masse des Objekts abhängige konstante Größe ($F_{f} = \mu_k N$). Wir wissen es also$\vec{F}$!

$$\vec{F} = - F_f \,\vec{\gamma'(t)}$$

Hier habe ich das Vektorzeichen zur Hervorhebung geschrieben. Von hier aus können Sie hoffentlich sehen, dass wir bei einer gegebenen Kurve die Arbeit aufgrund von Reibung finden können. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie immer noch Probleme mit den Details haben.

Mir wurde beigebracht, dass bei gegebenem Kraftfeld F die von der Kraft über eine bestimmte Kurve verrichtete Arbeit ist$\gamma$ist definiert als das Linienintegral des Feldes entlang$\gamma$.

Reibung ist eine Kraft, wird aber nicht von einem Kraftfeld (in irgendeinem nützlichen Sinne) abgeleitet. Ihre Aussage ist also zwar richtig, aber nicht zutreffend. (Uns wurde in diesem Fall kein „Kraftfeld gegeben“!) Wir greifen also auf die allgemeinere Definition zurück, dass Arbeit der Nettoenergieaufwand ist, der wiederum gleich dem Zeitintegral der auf das System angewendeten Leistung ist:

$$W = \int \mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{v}(t) \, dt$$ wobei v die Geschwindigkeit und t die Zeit ist.

Mir wurde beigebracht, dass bei gegebenem Kraftfeld F die von der Kraft über eine bestimmte Kurve verrichtete Arbeit ist$\gamma$ist definiert als das Linienintegral des Feldes entlang$\gamma$.

Alles schön und gut, aber vielleicht ist diese Aussage nicht die einzige Möglichkeit, die geleistete Arbeit zu bewerten, da es möglicherweise nicht praktikabel ist, das Kraftfeld zu bewerten.

Das Kraftfeld für die beiden Beispiele, die Sie gegeben haben, die Schwerkraft und eine Feder, sind leicht auszuwerten, weil sie statisch sind.
Für Ihr Beispiel der Schwerkraft muss dieses Kraftfeld möglicherweise dynamisch sein, da die Gravitationsanziehung an einem Punkt von einer beliebigen Anzahl sich bewegender Massen abhängen kann.
In einem solchen Fall könnte man sagen, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Kraftfeld vorhanden ist und sich dieses Kraftfeld zum nächsten Zeitpunkt ändert.
Müssen Sie dann wirklich zu jedem Zeitpunkt das gesamte Kraftfeld auswerten, um die geleistete Arbeit auszuwerten?
Ist es nicht einfacher, sich vorzustellen, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Kraftfeld gibt, sondern nur herauszufinden, wie groß die Kraft an der Position des Teilchens ist?

Reibung ist insofern etwas anders, als die Richtung der Reibungskraft von der Geschwindigkeit des Teilchens abhängt, das diese Reibungskraft erfährt.
In gewisser Weise kann dies das Leben ein wenig einfacher machen, da alles, was man wissen muss, die Größe der Reibungskraft ist, da ihre Richtung der Geschwindigkeit des Teilchens entgegengesetzt ist.
In einem solchen Fall, in dem die Richtung der Reibungskraft nur durch die Geschwindigkeit des Teilchens bestimmt wird, könnte man ein skalares Kraftfeld aufstellen, das die Größe der Reibungskraft als Funktion der Position, der Geschwindigkeit des Teilchens und der Zeit angibt.

Obwohl Sie sich vorstellen können, dass es ein skalares Kraftfeld gibt, sind Sie nur besorgt darüber, was an einer bestimmten Position passiert.

Werfen Sie also einen Ball senkrecht in die Luft und lassen Sie ihn wieder herunterfallen.
Das Kraftfeld aufgrund der Schwerkraft ist kein Problem, da es statisch ist.
Das Kraftfeld aufgrund von Reibung ist sehr dynamisch, aber Ihre einzige Sorge zu einem bestimmten Zeitpunkt wäre die Größe der Reibungskraft, die von der Geschwindigkeit des Balls abhängen würde.
Die Geschwindigkeit des Balls beim Herunterkommen in einer bestimmten Höhe kann durchaus unterschiedlich sein, sodass sich das Kraftfeld in diesem Moment von dem unterscheidet, als sich der Ball nach oben bewegte, aber alles, was Sie tun müssen, ist, die Größe der Reibungskraft in diesem Moment zu ermitteln Punkt.

Für Reibung mit etwas Medium:

Aus der Rayleigh-Dissipationsfunktion können Sie die Reibung als Funktion der Geschwindigkeit nehmen und sie als Gradient (speziell) eines Skalarfelds definieren.

$$\vec{f}=\vec{f}(\vec{v})=\vec\nabla_v \:(\mathcal{F})$$ Wo $\vec\nabla_v$ist wie folgt definiert $$\vec\nabla_v =\dfrac{\partial}{\partial v_x}\hat x + \dfrac{\partial}{\partial v_y}\hat y +\dfrac{\partial}{\partial v_z}\hat z$$ In diesem Fall müssen Sie die Geschwindigkeit des Objekts kennen, anstatt die Position, um die Kraft in einem Moment zu kennen.

Für "normale" Reibung:

Tatsächlich können Sie die Reibung aufgrund der Bewegung über eine Oberfläche definieren (z. B. über die xy-Ebene).

$$\vec f = \begin{cases} f_x\hat x +f_y \hat y& \text{over the surface} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$