Arbeit, die durch eine Reibungskraft an einem Zylinder verrichtet wird

Ihre Ausdrücke sind alle korrekt, mit Ausnahme Ihrer Arbeit aufgrund des Drehmoments. Weil der Zylinder nicht rollt,$\theta \neq \frac{d}{R}$. Das Drehmoment ist jedoch konstant, also können wir schreiben$\theta = \omega_0 t -\frac{1}{2}\alpha t^2$. Außerdem ist die Drehmomentarbeit negativ:

$W = \int F \cdot ds + \int \tau \cdot d\theta = \mu_k mg d - \mu_kmgR\theta$

Und dann ersetzen Ausdrücke für$d$Und$\theta$, bekommen wir die Antwort:

$W = \frac{1}{18}m\omega_0^2R^2 - \frac{2}{9}m\omega_0^2R^2 = -\frac{1}{6}m\omega_0^2R^2$

Ich bekomme die gleiche Antwort wie andere, aber auf eine andere Art und Weise. Zuerst schaue ich auf die Schlupfgeschwindigkeit$v_s(t) = \omega(t) r + v(t)$und finden Sie die Zeit, die Sie brauchen, um zu bekommen$v_s(t)=0$. Die Zeitfunktionen der Bewegung hängen von der konstanten Reibung (bis zum Anrollen) mit Gleichungen ab

Mit den allgemeinen Anfangsbedingungen$\omega(t=0)=\omega_0$Und$v(t=0)=v_0$Und$I=\frac{m}{2}r^2$das Massenträgheitsmoment für einen Vollzylinder.

Also Schlupf endet wann

Beim Rutschen ist die Reibungsleistung$P(t) = F(t) v_s(t) = -\mu m g (\omega(t) r+v(t))$und die durch Reibung verrichtete Arbeit

Also mit Ausgangszustand$v_0=0$Und$\omega_0 \neq 0$dann ist Arbeit$W=-\frac{m}{6}(\omega_0 r)^2$.

Als Bonus, und was die Haftreibung angeht , ist hier eine impulsive Kraftfrage die Arbeitsgleichung mit zu haben$\left(\frac{1}{m} + \frac{r^2}{I}\right)$im Nenner ist genau das, was Sie erwarten würden, dass die reduzierte Masse während eines Impulses zum Rand eines Zylinders ist.

Dies setzt voraus, dass der Zylinder ein starrer Körper ist, daher keine Energiedissipation innerhalb des starren Körpers. Für einen weichen Körper ist eine Energiebilanz nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik notwendig.