Gleiten entlang eines kreisförmigen Reifens: Arbeit, die durch Reibung verrichtet wird

Question

Gleiten entlang eines kreisförmigen Reifens: Arbeit, die durch Reibung verrichtet wird

Titan

Nehmen Sie ein Punktobjekt mit Masse an $m$ gleitet entlang eines Reifenradius $R$ , ausgehend von einer Position, die 90 Grad mit der Radiuslinie bildet, die den Mittelpunkt und den Boden verbindet. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen dem Reifen und dem Objekt sei $\mu$ . Angenommen, das Objekt beginnt zu ruhen, wie groß ist die Gesamtarbeit, die durch die Reibung geleistet wird, wenn das Objekt den Boden erreicht?

Meine Idee: Die Normalkraft ist in jedem Fall gegeben durch

N = M G Sünde θ + \frac{M v^{2}}{R},

$N=mg\sin\theta+\frac{mv^2}{R},$ Wo

θ

$\theta$ ist der Winkel zwischen der radialen Linie, die die aktuelle Position und die Anfangsposition des Objekts mit der Mitte des Reifens verbindet. Damit haben wir die Reibungskraft als

F_{k} = μ (M G Sünde θ + \frac{M v^{2}}{R}),

$f_k=\mu\left(mg\sin\theta+\frac{mv^2}{R}\right),$ so dass die gesamte Arbeit durch Reibung verrichtet wird

W_{k} = \int_{0}^{π / 2} μ (M G Sünde θ + \frac{M v^{2}}{R}) R D θ .

$W_k=\int_0^{\pi/2}\mu\left(mg\sin\theta+\frac{mv^2}{R}\right)R\mathop{\mathrm{d\theta}}.$

Das Problem, das ich habe, ist, herauszufinden $v$ als Funktion von $\theta$ , dh $v(\theta)$ . Irgendwelche Ideen?

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Gleiten entlang eines kreisförmigen Reifens: Arbeit, die durch Reibung verrichtet wird

Gert · Answer 1

Stellen Sie eine Bewegungsgleichung für die Drehung der Masse um den Mittelpunkt auf.

τ = ICH a

$\tau=I\alpha$

Wo:

$\tau=mg\cos\theta-\mu mg\sin\theta$

$I=mR^2$

$\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\omega\frac{d\omega}{d\theta}$

So:

M G \cos θ - μ M G Sünde θ = M R^{2} ω \frac{D ω}{D θ}

$mg\cos\theta-\mu mg\sin\theta=mR^2\omega\frac{d\omega}{d\theta}$

R^{2} ω D ω = G (\cos θ - μ Sünde θ) D θ

$R^2\omega d\omega=g(\cos\theta-\mu \sin\theta)d\theta$

Dazwischen integrieren $0,\pi/2$ Und $0,\omega$ einen Ausdruck zu bekommen $\omega^2$ In $\theta$ . Dann benutze $v=\omega R$ .

Berechnen Sie dann den Gewinn an kinetischer Energie: $\Delta K=\frac{mv^2}{2}$ (*) und der Verlust an potentieller Energie $\Delta U=mgR$ . Der Unterschied zwischen den beiden ist die Reibungsarbeit.

(*) Oder verwenden $\Delta K=\frac{I\omega^2}{2}$ .

Floris · Answer 2

Du bist fast am Ziel. Jetzt müssen Sie nur noch erkennen, dass die Geschwindigkeit aus der kinetischen Energie abgeleitet werden kann, die die Differenz zwischen der potenziell verlorenen Energie und der durch Reibung geleisteten Arbeit ist. Und Sie haben Ausdrücke für beide. Schau mal, ob dich das weiterbringt.

iluvatar · Answer 3

Wer sich für dieses Problem interessiert, kann auch eine Differentialgleichung für die Brucharbeit selbst aufstellen. Drücken Sie einfach die Differentialarbeit als Funktion des Winkels aus, wenden Sie erneut die Energieerhaltung für die kinetische Energie an und lösen Sie dann die erscheinende Ein-Grad-Differentialgleichung. Details finden sich in einer alten Publikation:

Franklin, LP, & Kimmel, PI (1980). Dynamik der Kreisbewegung mit Reibung. American Journal of Physics, 48(3), 207–210. doi:10.1119/1.12306

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