Geht die Amplitude in Resonanz wirklich ins Unendliche?

$x(t)$geht nicht sofort ins Unendliche; der Fall$\omega=\omega_0$braucht besondere Pflege. Ich denke, eine Antwort direkt aus der Mathematik wird helfen. Die getriebene SHM-Bewegungsgleichung ist

Wobei ich alle anderen Konstanten auf Eins gesetzt habe. Die allgemeine Lösung von (1) ist gleich der homogenen plus irgendeiner speziellen Lösung

Die homogene Lösung ist einfach

Wo$C$Und$D$werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Beachten Sie, dass die Amplitude von$x_H$ist durch die Konstanten für alle Zeiten festgelegt$C$Und$D$. Um eine bestimmte Lösung zu finden, werde ich unbestimmte Koeffizienten verwenden . Beginnend mit dem Ansatz

Wir setzen (2) in (1) ein. Wenn wir konsequent nach den Konstanten auflösen können$A$Und$B$, dann sind wir fertig. Wenn$\omega\neq \omega_0$, Das Ergebnis ist

Was der Lösung in OP entspricht. Allerdings wann$\omega=\omega_0$, es gibt keine$A$Und$B$die (2) zu einer Lösung von (1) machen. Probieren Sie es aus und sehen Sie! In diesem Fall müssen wir den Ansatz (2) zu lesen modifizieren

Dies ist ein Standardverfahren mit unbestimmten Koeffizienten: wenn die homogene Lösung einen Term hat, der gleich der RHS von (1) ist. Setze (3) in (1) ein und löse auf$A$Und$B$, was ergibt

Also: Die jeweilige Lösung ist eine oszillierende Funktion mit zeitlich linear wachsender Amplitude . Diese Schlussfolgerung folgt nur aus der Differentialgleichung (1) ohne weitere physikalische Eingabe oder Handbewegung.

Bearbeiten: Mit der allgemeinen Lösung

In der Hand können wir Ihre Frage zu den relativen Phasen von Feder und Antriebskraft beantworten. Ich habe Einheiten wieder eingestellt und geschrieben$x_H$in einer bequemeren, äquivalenten Form. Die Federkraft ist

Wenn$C\ll \frac{F_0 t}{\omega_0 m}$(große Zeiten) dann ist der zweite Term auf der rechten Seite von (4) groß im Vergleich zum ersten. Wir können also ungefähr schreiben

Während die in (1) definierte treibende Kraft ist$F_0 \cos(\omega_0 t)$, Vergleich die$\sin$zum$\cos$. Die treibende Kraft ist also für lange Zeit ungefähr$\pi/2$außer Phase mit der Federkraft.

Ihre Lösung

Die erzwungene Schwingung (1) ist also tatsächlich eine mathematisch korrekte Lösung von (2). Aber für den Resonanzfall ($\omega=\omega_0$) wird die Lösung (1) schlecht definiert, und Sie müssen (2) mathematisch sorgfältiger lösen, wie in den Antworten von @Sal und @Puk.

Aber Gleichung (2) ist eigentlich eine mathematische Idealisierung der physikalischen Situation, weil sie die Dämpfung vernachlässigt. In Wirklichkeit wird es immer einen Dämpfungsterm geben ($\propto\gamma\dot{x}$) mit einem kleinen Plus$\gamma$. Anstelle von (2) erhalten Sie also die Differentialgleichung

Sie sollten versuchen, diese Differentialgleichung zu lösen. Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz

Es ist aufschlussreich, das Problem im Zeitbereich zu analysieren. Wenn die treibende Kraft ist$F_0 \cos(\omega_0 t)$und die Masse anfangs in ihrer Gleichgewichtslage ruht, ist die Lösung

Es ist nicht unbedingt relevant, wie groß die Rückstellkraft im Vergleich zu der Antriebskraft ist. Selbst für kleine Amplituden wird die Antriebskraft in bestimmten Teilen der Bewegung unvermeidlich kleiner sein als (oder in derselben Richtung wie) die Rückstellkraft. Aus diesem Grund kommt die Masse periodisch zum Stillstand und beginnt, in Richtung der Gleichgewichtsposition zu beschleunigen.

Durch Integrieren der Antriebskraft entlang der Trajektorie ist ersichtlich, dass die Antriebskraft jede Periode eine Nettoarbeit an der Masse ausführt, wodurch die Amplitude mit jedem Zyklus zunimmt. Eine andere Möglichkeit zu sehen, dass die Masse im Laufe der Zeit Energie gewinnt, besteht darin, die Summe der Antriebs- und Rückstellkräfte zwischen den Zeiten zu integrieren$nT_0$Und$(n+1)T_0$Wo$T_0=2\pi/\omega_0$ist die Periode. Dies ergibt die Impulsänderung an der Gleichgewichtsposition in jedem Zyklus. Da die treibende Kraft periodisch ist, verursacht sie keine Impulsänderung pro Zyklus. Die Rückstellkraft nimmt jedoch in der Größe zu und ihr Integral ist bei jedem Zyklus positiv. Dies kann intuitiv wie folgt verstanden werden.

In der Zeit zwischendurch$nT_0$Und$(n+1)T_0$, im Mittel ist die Rückstellkraft betragsmäßig kleiner für$x>0$als für$x<0$, wegen der wachsenden Amplitude. Daher gibt es in jedem Zyklus eine Nicht-Null-Impulsübertragung in positiver Richtung, was die Geschwindigkeit verursacht$x=0$jeden Zyklus zu erhöhen.

In der realen Welt wird die Schwingungsamplitude eines unterdämpften Systems, das in Resonanz getrieben wird, groß – bis zu dem Punkt, an dem die beweglichen Teile im System an ihre Grenzen stoßen, und dann etwas kaputt geht, und dann das System in Stücke fliegt und stürzt sich zu einem großen Schrotthaufen. Es gibt ein YouTube-Video von genau diesem Vorgang, der in einer Waschmaschine mit einem Stein darin stattfindet, der auf seinen Schleudergang eingestellt ist. Das mit immer größerer Geschwindigkeit herumschwingende Unwuchtgewicht „findet“ alle Resonanzen im System, regt sie an und baut ihre Amplituden so weit auf, dass Teile abfliegen. Am Ende des Videos gibt es keine Waschmaschine mehr.

Wenn die Frequenz der externen Kraft gleich der Eigenfrequenz der Feder ist, liegt eine Resonanz vor, und unter idealisierten Bedingungen steigt die Amplitude periodisch unbegrenzt an.

Dies liegt daran, dass die äußere Kraft niemals die entgegengesetzte Richtung wie die Federkraft haben wird. Denken Sie daran, dass auch die äußere Kraft schwingt. Es arbeitet mit der Feder zusammen, um die Amplitude weiter zu drücken.

Ihre Gleichung ist eine stationäre . Sie ist erst gültig, nachdem unendlich viel Zeit verstrichen ist. Wenn das Experiment beginnt, ist es ungültig.

In realen, nicht idealen Szenarien kann es jedoch nach endlicher Zeit gültig sein.

Bearbeiten: Puks Kommentar berücksichtigt

Das, was Sie vermissen, ist die "Amplitude gleich$\infty$" geht es um das Langzeitverhalten des Systems.

Was passiert, wenn$\omega = \omega_0$ist, dass die Amplitude mit der Zeit zunimmt . Ja, die Rückstellkraft bringt es immer wieder zurück, aber beim nächsten Schwung geht es weiter hinaus als beim letzten Mal, und zwar in unbegrenzter Weise.

Ich dachte, es wäre hilfreich, eine intuitive Antwort darauf zu geben, wie die Amplitude wann unbegrenzt zunehmen kann$\omega = \omega_0$obwohl es immer einen Zeitpunkt geben wird, an dem die maximale Rückstellkraft der Feder größer ist als der Maximalwert der periodischen Antriebskraft.

Der Punkt ist, dass es überhaupt keine Rolle spielt, wie groß die Rückstellkraft ist, wenn die Feder für einen bestimmten Zyklus ihre maximale Ausdehnung erreicht hat. An diesem Punkt ist die Antriebskraft ohnehin nahe 0 (unter der Annahme einer sinusförmigen Antriebskraft mit entsprechender Periode und perfekt ausgerichteter Phase). Die Antriebskraft erreicht ihren Höhepunkt, wenn sich die Masse in der Mitte ihres Weges am schnellsten bewegt, und das Aufbringen einer Kraft führt immer zu einer Beschleunigung.

In diesem idealisierten System verliert die Schwingfeder von einem Zyklus zum nächsten keine Geschwindigkeit, aber dann fügt die kleine Kraft bei jedem Zyklus ein wenig Geschwindigkeit hinzu. Das bedeutet, dass die Spitzengeschwindigkeit unbegrenzt wächst, also wächst auch die Amplitude (und damit die Amplitude der Rückstellkraft) unbegrenzt.

Beachten Sie, dass selbst im idealisierten System das Aufbringen der periodischen Kraft immer schwieriger wird. Wenn Sie jemanden in einer Schaukel schieben, müssen Sie umso schneller schieben, um die gleiche Kraft aufzubringen, je schneller er sich bewegt, wenn er durch den Boden geht. Da die treibende Kraft über die gesamte Bewegungsamplitude wirkt, ist Arbeit = Kraft$\times$Entfernung steigt auch die pro Zyklus verrichtete Arbeit (und damit der Stromverbrauch) sprunghaft an.

Andere haben erwähnt, dass es im wirklichen Leben eine Dämpfung geben würde, aber Sie ignorieren das ausdrücklich.

Übertragen Sie diese Differentialgleichung

zur Laplace-Domäne (mit den Anfangsbedingungen$~x(0)=0~,\dot{x}(0)=0~)$Sie erhalten

und zurück zum Zeitbereich (die Lösung)

die Grenze von x(t) für$~\omega=\omega_0~$ist: (L'Hospital-Ansatz)

also x(t) für$~\omega=\omega_0~$ist nicht unendlich

Eine Analogie: Angenommen, Sie schreiben ein Buch und die Tantiemen aus dem Buch betragen im ersten Jahr 100.000 US-Dollar . Die Lizenzgebühren sind jedes Jahr ein Prozentsatz$p$der Tantiemen des Vorjahres. Zum Beispiel, wenn$p=0.5$, im zweiten Jahr erhalten Sie 50.000 $ , im dritten Jahr 25.000 $ und so weiter. Sie können die Formel für geometrische Reihen verwenden, um die Gesamtlizenzgebühren zu erhalten$\frac 1 {1-p}$.

Wenn$p=1$, diese Formel gibt Ihnen Unendlichkeit; Wenn Ihre Tantiemen jedes Jahr dieselben sind wie im Vorjahr, gibt es keine Begrenzung, wie viel Geld Sie erhalten. Nun, das soll nicht heißen, dass Sie unendlich viel Geld bekommen; Zu jedem bestimmten Zeitpunkt ist das Geld, das Sie erhalten haben, endlich. Es sagt nur, dass, wenn Sie versuchen, zu finden$\lim_{n \rightarrow \infty}T_n$, Wo$n$ist das Jahr und$T_n$ist der Gesamtbetrag, den Sie bis einschließlich erhalten$n$Jahr bekommt ihr kein endliches Limit.

Ebenso, wenn$\omega \neq \omega_0$, dann haben wir das$\lim_{t \rightarrow \infty}A_t$ist durch Ihre Formel gegeben; Im weiteren Verlauf wird die Schwingung mit dieser Amplitude immer näher an die Sinusform herankommen. Wenn$\omega = \omega_0$, dann gibt es keine endliche Grenze; jeder Zyklus fügt mehr und mehr Energie hinzu.

Das Problem ist jedoch, dass selbst in der idealen Welt die Amplitude nicht gegen unendlich gehen würde, da die Rückstellkraft der Feder irgendwann die Antriebskraft fängt und das System im Gleichgewicht bleibt.

Mir ist nicht klar, was Sie hier sagen. Sind die Frequenzen exakt gleich, so sind Antriebskraft und Rückstellkraft immer phasengleich. Sie werden sich niemals widersetzen.