Auflösung von Vektoren entlang verschiedener Richtungen

Ich habe einen kleinen Zweifel bezüglich der Auflösung von Kräften und Vektoren.

Angenommen, wir haben unser standardmäßiges kartesisches Koordinatensystem mit Einheitsvektoren ich ^ Und J ^ . Jetzt haben wir Polarkoordinaten mit den Einheitsvektoren definiert R ^ Und θ ^ . Angenommen, wir haben einen Vektor R → = R R ^ . Wir können es schreiben als R C Ö S θ ich ^ + R S ich N θ J ^ . Somit ist es uns gelungen, die Komponenten des Vektors entlang der zu finden X Und j Richtungen. Wenn wir also eine Kraft hätten, könnten wir ihre Komponenten finden X Und j auf die selbe Art.

Was ist jedoch, wenn die Kraft oder der Vektor ursprünglich entlang der war X Richtung sagen wir X → = X ich ^ . Was wäre die Komponente dieses Vektors entlang R ^ ? Angenommen, dieser Vektor repräsentiert Kraft. Was wäre die Komponente dieser Kraft entlang R ^

Im ersten Fall weht der Wind nach Nordosten, findet seine Komponente entlang Nord und Ost. Der zweite Fall ist jedoch wie folgt: Was wäre, wenn der Wind von vornherein nach Osten bläst? Wie finde ich seine Komponente im Nordosten? Mache ich genau dasselbe und multipliziere mit C Ö S θ oder soll ich mit multiplizieren S e C θ für diesen zweiten Fall?

Was ich weiß ist, ob die ursprüngliche Kraft mitwirkte R ^ , und uns wurde die x-Komponente gegeben, mit der wir multipliziert hätten S e C θ um die ursprüngliche Kraft zurückzugewinnen. Was aber, wenn die ursprüngliche Kraft entlang der x-Richtung bläst, was dann? Seit R = X S e C θ , sollen wir multiplizieren S e C θ ?

Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Antworten (2)

Was Sie identifiziert haben, ist eine sehr häufige Situation. In der Physik haben wir es selten nur mit Vektoren zu tun. Üblicher ist es, mit Vektorfeldern zu arbeiten, dh in jedem Raumpunkt einen Vektor, möglicherweise einen anderen.

Eine gute Möglichkeit, dies zu lösen, besteht darin, dies zu beachten X ^ = ∇ X (prüfen Sie).

Also, wenn Ihre Kraft ist F = X X ^ , dann mach einfach:

F = X X ^ = X ∇ X = ( R cos ⁡ θ ) ∇ ( R cos ⁡ θ ) = ( R cos ⁡ θ ) ⋅ ( R ^ ∂ R + 1 R θ ^ ∂ θ ) ( R cos ⁡ θ ) = ( R cos ⁡ θ ) ⋅ ( cos ⁡ θ R ^ − Sünde ⁡ θ θ ^ )

Wo ich den 2D-Gradient in Zylinderkoordinaten ausgewertet habe

Also die Komponente der Kraft entlang R ^ Richtung ggf F = X X ^ wird sein:

R ^ . F = R cos 2 ⁡ θ

NACHTRAG

Natürlich, wenn Sie das "wissen". X ^ = cos ⁡ θ R ^ − Sünde ⁡ θ θ ^ Sie können die Manipulationen mit dem Gradienten und den Ableitungen umgehen und einfach ersetzen X → R cos ⁡ θ Und X ^ → …

Aha, können wir sagen R ^ . F = R C Ö S 2 θ = X C Ö S θ , Rechts ? Die Auflösungsregeln bleiben gleich. Wenn die Kraft da ist R ^ , wir multiplizieren die Magnitude mit C Ö S θ Und S ich N θ um x- und y-Komponenten herauszuholen. Aber im Allgemeinen, wenn wir eine Kraft entlang einer Richtung haben A ^ und wir wollen seine Komponente entlang einer Richtung herausfinden B ^ , multiplizieren wir einfach die Größe mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen, aus der Definition des Skalarprodukts. Habe ich recht ?
Solltest du nicht bekommen R Und θ als Funktion von X Und j ? Ich denke, Sie gehen den komplizierten Weg für eine einfache Sache.
@NakshatraGangopadhay, es ist nichts falsch an dem, was du gesagt hast, aber ich wäre etwas vorsichtiger. Im Allgemeinen haben Sie das Vektorfeld, das Ihnen wichtig ist F und das Vektorfeld, auf das Sie projizieren möchten, z R ^ . Beide Felder können Ausdrücke haben, die von den Koordinaten des Punktes abhängen, an dem Sie auswerten. Was Sie dann tun, ist das Skalarprodukt zum Projizieren F auf zu R ^ . Ich denke, der Kosinus des Winkels zwischen ihnen hier ist eine Diktion ...
... Denn hier handelt es sich einfach um einen netten Ausdruck, der mit den zugrunde liegenden Koordinaten zusammenhängt. Stellen Sie sich vor, Sie haben eine "radiale" Kraft von einem Punkt, der nicht am Ursprung liegt, und versuchen dann, die radiale Komponente dieser Kraft relativ zum Ursprung zu finden. Kosinus des Winkels zwischen R ^ Und F wäre kein schöner Ausdruck in Bezug auf R Und θ In diesem Fall. Also sei vorsichtig :-)
@ GiorgioP, nicht sicher, wie ausdrücken R ein und θ bezüglich X Und j hilft hier. Ich denke, Sie möchten es in die entgegengesetzte Richtung tun, wie meine Behandlung zeigt. Es ist etwas komplizierter, als es mir beigebracht wurde, aber ... Gott ... ich wünschte, ich hätte es auf diese Weise gelernt, anstatt mich nur auf Diagramme oder komplexe Zahlenanalogien zu verlassen. Diagramme sind nett, aber nicht sehr zuverlässig. Der derivatebasierte Ansatz ist viel robuster und universell anwendbar.
Ihre endgültige Formel für X ^ ⋅ F stimmt nicht mit Ihrer letzten Formel für überein X ^ . Es gibt keine Macht 2 des cos ⁡ θ .
@GiorgioP, sprechen wir über verschiedene Dinge? Ich gab Ausdruck für R ^ ⋅ X X ^ nicht X ^ ⋅ …
"Natürlich, wenn Sie "wissen" ..." . Gibt es keinen Ausdruck für X ^ ?
@GiorgioP. Nun, es wäre natürlich zu definieren X ^ als normalisierte Koordinatenbasis für kartesische Koordinaten, aber es sagt Ihnen nichts über zylindrische Basisvektoren und wie die beiden zusammenhängen. Ich habe es oft genug getan, um zu wissen, wie sie zusammenhängen, oder um in meinem Kopf ein Diagramm erstellen und fortfahren zu können. Angenommen, Sie wüssten das nicht, was würden Sie tun? Sie könnten Diagramme zeichnen oder einige Ableitungen von den Funktionen nehmen, die kartesische auf zylindrische Koordinaten abbilden. Heute würde ich letzteres bevorzugen

Ich denke, dass die Bezugnahme auf Polarkoordinaten im vorliegenden Kontext höchst irreführend ist und die Bezugnahme auf Vektorfelder das Problem verschleiert. Wenn man sich nur auf das Beispiel bezieht, ist die Situation klar und erfordert keinen Bezug auf Polarkoordinaten. Es geht nur darum, Vektoren zu projizieren.

Im ersten Fall haben Sie einen Vektor R → = R R ^ , Wo R ^ ist ein Einheitsvektor, der in eine beliebige Richtung in der Ebene zeigt. Wenn ich ^ Und J ^ sind zwei orthogonale Einheitsvektoren der Ebene und unter der Annahme, dass der Winkel dazwischen R ^ Und ich ^ Ist θ , R ^ ⋅ ich ^ = cos ⁡ θ und die Komponente von R → entlang ich ^ Ist R cos ⁡ θ .

Im zweiten Fall gehen wir von einem Vektor aus X → = X ich ^ . die Komponente eines solchen Vektors in Richtung von R ^ ist einfach X → ⋅ R ^ = X cos ⁡ θ .

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