Offensichtlich erfährt es aufgrund seiner ungleichmäßigen Masse ein Drehmoment, wenn sich der Raum in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld befindet.

Das sollte Ihnen nicht klar sein, denn es stimmt nicht. Ich entschuldige mich, wenn Sie der nächste Abschnitt mit Mathematik über den Kopf schlägt, ich möchte Ihnen zeigen, warum die Newtonschen Gesetze das nicht sagen, und dann möchte ich Ihnen danach sofort einen physikalischen Einblick geben.

Newtonsche Gesetze und der Schwerpunkt

Betrachten Sie ein System von Punktmassen$m_i$bei Positionsvektoren$\mathbf r_i$äußere Kräfte erfahren$\mathbf F_i = \mathbf F_i(\mathbf r_i)$und innere Kräfte$\mathbf G_{ij} = \mathbf G_{ij}(\mathbf r_i, \mathbf r_j)$die gehorchen sollen$\mathbf G_{ij} = -\mathbf G_{ji}$im Einklang mit Newtons drittem Gesetz. Die Newtonschen Gesetze besagen, dass diese den Gleichungen gehorchen müssen,

$$m_i ~\ddot {\mathbf r}_i = \mathbf F_i + \sum_j \mathbf G_{ij}.$$ Offensichtlich ist es eines der Dinge, die wir gerne tun, all diese Gleichungen zusammenzufassen und den Massenmittelpunkt durch Definieren zu definieren $M = \sum_i m_i$und dann definieren $\mathbf R = \sum_i (m_i/M) ~\mathbf r_i,$was zu der Gleichung führt, $$M~\mathbf R = \sum_i \mathbf F_i,$$ mit dem $\mathbf G_{ij}$fallen aufgrund ihrer Antisymmetrie in ihren jeweiligen Indizes aus. Wenn Sie den Trick noch nie gesehen haben, verwenden Sie $q_{ij} = -q_{ji}$ersetzen $\sum_{ij} q_{ij}$mit $\frac12 \sum_{ij} (q_{ij} - q_{ji}),$Erweitern Sie dies dann in zwei Summen und benennen Sie die zweite um $i \leftrightarrow j$(es sind schließlich nur Namen von Indizes), die nach der Rekombination zu finden sind, $\frac12 \sum_{ij} (q_{ij} - q_{ij}) = \sum_{ij} 0 = 0.$

Okay, wenn Sie bei all dem solide sind, lassen Sie uns über Drehmomente über den willkürlichen Ursprung sprechen, den wir gewählt haben.

Drehmomente und Drehimpulse

Wir wissen, dass diese für eine Kraft als Kreuzprodukt zwischen Position und Kraft definiert sind, was darauf hindeutet, dass wir oben versuchen müssen, mit denen in Newtons Gesetzen zu arbeiten, wie

$$m_i~\mathbf r_i\times \ddot{\mathbf r}_i = \mathbf r_i \times \mathbf F_i + \sum_j {\mathbf r_i \times \mathbf G_{ij}}.$$ Wir wollen etwas mit diesen beiden Seiten machen. Die linke Seite sieht aus wie das Produkt eines Dings mit seiner zweiten Ableitung, was so aussieht, als könnte es mit einer Ableitung eines Produkts eines Dings und seiner ersten Ableitung verwandt sein. Wenn wir es ausarbeiten, können wir tatsächlich sehen, dass es sich beim Kreuzprodukt nicht nur um eine Beziehung, sondern um eine Gleichheit handelt; die Tatsache, dass jeder mit sich selbst gekreuzte Vektor 0 ist, führt zu $$\frac{d}{dt} (\mathbf v \times \dot{\mathbf v}) = \dot{\mathbf v}\times \dot{\mathbf v} + \mathbf{v} \times \ddot{\mathbf v} = \mathbf 0 + \mathbf v\times \ddot{\mathbf v}.$$ Definiert wiederum den Drehimpuls um den Ursprung $\mathbf L_i = m_i \mathbf r_i \times \dot{\mathbf r}_i$und davon ausgehen $\dot m_i = 0$führt wie üblich dazu, dass die linke Seite gerade ist $\dot{\mathbf L}_i.$Für die rechte Seite können wir definieren $\tau_i = \mathbf r_i \times \mathbf F_i$als externes Drehmoment auf Teilchen $i$, Und $\mathbf L = \sum_i \mathbf L_i$Und $\mathbf T = \sum_i \mathbf \tau_i.$Wir sind bereit zu summieren $i$finden, $$\dot {\mathbf L} = \mathbf T + \sum_{ij} \mathbf r_i \times \mathbf G_{ij}.$$

Zentrale Kraftbewegung

Jetzt wollen wir den gleichen "Antisymmetrie-Trick" in der zweiten Hälfte versuchen; unter einem$\frac12 \sum_{ij}$Symbol, das wir haben$\mathbf r_i \times \mathbf G_{ij} - \mathbf r_i \times \mathbf G_{ji}$und unter$i\leftrightarrow j$Umbenennung dieser wird

$$\dot {\mathbf L} = \mathbf T + \frac12 \sum_{ij} (\mathbf r_i - \mathbf r_j)\times \mathbf G_{ij}.$$ Nun sind es nicht 100% aller möglichen Systeme, sondern in der größten Klasse von Systemen, die uns interessieren, die Interaktionskraft $\mathbf G_{ij}$Punkte entlang der Verbindungslinie $j$Und $i$. Das gilt für die Gravitationskraft, für die Coulomb-Kraft oder sogar, wenn wir dieses Ding aus sehr starren, masselosen Streben machen, die die kleinen Massen verbinden. Also haben wir in den meisten Fällen (aber nicht in allen!) $\mathbf G_{ij}\propto \mathbf r_i - \mathbf r_j$und der letzte Term ist 0. Wir haben gerade $\dot {\mathbf L} = \mathbf T.$Diese sind als "zentrale Kräfte" bekannt, und ich gehe davon aus, dass Ihre gesamte Masse als ein Bündel von Punktmassen betrachtet werden kann, die durch masselose Streben und gravitative Selbstwechselwirkung und elektromagnetische Kräfte zusammengehalten werden. Alle Kräfte sind "zentral". in dem Sinne, dass sie zwischen zwei Massen wirken, die entlang der sie verbindenden Linie zeigen. Wie das obige Argument zeigt, können sie daher auch kein Nettodrehmoment erzeugen. (Das hat Sie sowieso nicht interessiert , Sie dachten, dass das externe Feld diese Dinge anziehen würde, aber ich denke, ich sage nur, dass die externe Schwerkraft die Bestandteile auch nicht so leicht beeinflussen kann, um sich gegenseitig anzuziehen.)

Ein einheitliches Gravitationsfeld

Wütend! Okay, Mathe-Rant ist fast fertig! Jetzt müssen wir nur noch die obigen Gleichungen anwenden . Überlege ob$\mathbf F_i = m_i \mathbf g$für eine gleichmäßige Gravitationsbeschleunigung$\mathbf g$. Dann lauten diese beiden entscheidenden Gleichungen:

$$M~\ddot{\mathbf R} = \sum_i m_i~\mathbf g = M~\mathbf g,\\ \dot {\mathbf L} = \sum_i m_i ~\mathbf r_i \times \mathbf g = M~\mathbf R \times \mathbf g.$$ Siehst du, wohin ich hier gehe? Verwenden Sie das erste, um es durch das zweite zu ersetzen, um es zu finden $\mathbf R \times \ddot{\mathbf R}$von dem wir wissen, dass es gerecht ist $\frac d{dt} (\mathbf R \times \dot{\mathbf R})$und so können wir einmal integrieren, $\mathbf L = M~\mathbf R \times \dot{\mathbf R} + \mathbf C_0.$Allerdings haben wir auch $\mathbf R = \frac 12~\mathbf g~t^2 + \mathbf C_1~t + \mathbf C_2.$

Wir können unsere Wahl des Referenzrahmens verwenden, um ihn festzulegen$\mathbf C_1 = \mathbf C_2 = \mathbf 0$und in diesem speziellen Bezugssystem, wo der Massenmittelpunkt im Ursprung ruht, finden wir das$\mathbf R \propto \dot{\mathbf R}$und deshalb$\mathbf L = \mathbf C_0.$Der Drehimpuls um den Ausgangspunkt für den Massenschwerpunkt ist tatsächlich eine Konstante, egal wie ungleichmäßig die Masse verteilt ist.

Körperliche Einsicht

Im Nachhinein sollte Sie das nicht wirklich überraschen. Sie wissen, dass alles mit der gleichen Geschwindigkeit fällt: Füllen Sie zwei Wasserflaschen, eine voll, eine halb voll, lassen Sie sie nebeneinander fallen, und Sie werden feststellen, dass sie innerhalb des experimentellen Fehlers gleichzeitig auf dem Boden aufschlagen wenn sie nebeneinander fallen gelassen werden. Einer hat fast die doppelte Masse des anderen, aber ihre Fallprofile sind identisch.

Jetzt schlagen Sie vor, wenn Sie einen dünnen, masselosen Stab zwischen sie stecken, um sie zu "verbinden", dann wird einer von ihnen wie durch Zauberei schneller fallen wollen als der andere und sie werden nicht nebeneinander landen. Aber was soll diese Stange tun? Es wird Kräfte horizontal kommunizieren. Und was behauptest du, dass es tut? Nun, wenn sie anfangen, anders vertikal zu fallen, als sie sonst fallen würden, dann muss es eine vertikale Kraft übertragen. Das ist also die Spannung zwischen Ihren vorexperimentellen Intuitionen und wie Experimente zeigen, dass die Welt tatsächlich funktioniert.

Ich ermutige Sie dringend, das Experiment mit den Plastikwasserflaschen oder etwas Ähnlichem zu versuchen, bei dem Sie zwei sehr unterschiedliche Massen nebeneinander fallen lassen, sich aber nicht darum kümmern, dass sie zerbrechen, wenn sie auf den Boden fallen. (Sie könnten zum Beispiel eine Münze neben einer Wasserflasche ausprobieren.) Bauen Sie diese Intuition auf, sie kann Ihnen sehr gute Dienste leisten.

Ich erinnere mich, dass ich die gleiche Frage an der Uni gestellt habe. In meinem Beispiel ging es um einen Stab, der im freien Fall umkreist. dreht es sich?

Die Antwort ist, dass Sie (irgendwie) Recht haben. Der Schlüsselsatz, den Sie im Gesetz vermissen, ist, dass es nur "lokal" wahr ist.

In Ihrem ersten Beispiel der langen Box, oder sagen wir, ungleiche Balkenglocke. Es gibt kein Drehmoment, die schwere Seite fällt nicht schneller als die leichtere

In Ihrer zweiten wird der menschliche Körper nur dann "zerrissen", wenn ungleiche Kräfte auf seine Bestandteile einwirken, entweder weil sich etwas seiner Bewegung widersetzt, was im klassischen Beispiel nichts tut, bis es auf die Kiste trifft, oder wenn der Gravitationsgradient hoch genug ist dass deine Beine stärker gezogen werden als dein Kopf. in diesem Fall ist das Experiment nicht mehr "lokal", da das Feld deutlich ungleichmäßig ist.

aus Wikipedia:

Lokalität eliminiert messbare Gezeitenkräfte, die von einer radial divergierenden Gravitation (z. B. der Erde) auf physikalischen Körpern endlicher Größe stammen. Das "fallende" Äquivalenzprinzip umfasst die Konzeptualisierung von Galileo, Newton und Einstein. Das Äquivalenzprinzip leugnet nicht die Existenz messbarer Effekte, die durch eine rotierende Gravitationsmasse (Frame Dragging) verursacht werden, oder bezieht sich auf die Messungen der Lichtablenkung und der Gravitationszeitverzögerung, die von nicht lokalen Beobachtern durchgeführt wurden.

Also im Grunde ja, das Gesetz ist für Situationen im wirklichen Leben falsch, weil die Gravitationskräfte im wirklichen Leben nicht einheitlich sind. Wobei es leicht ist, sich gleichmäßig beschleunigende Boxen vorzustellen.

In seiner Verteidigung steckt der Genius des Gesetzes viel tiefer. Ich verstehe die Auswirkungen sicherlich nicht ganz, aber Sie können sehen, dass sie tiefgreifend sind, wenn es um Stoppuhren in Zügen, Menschen auf Berggipfeln, die Übertragung von Zeitsignalen aus Gravitationsquellen und dergleichen geht.

Beachten Sie zunächst, dass Sie die Wirkung der Schwerkraft auf Ihren Körper nur spüren, wenn eine Oberfläche ihn in die der Gravitationsbeschleunigung entgegengesetzte Richtung zurückdrückt (hier gehe ich davon aus, dass der Raum, in dem das Experiment durchgeführt wird, klein ist; das ist, lokal, wo das Äquivalenzprinzip gilt). Wenn Sie frei in einem Gravitationsfeld fallen, spüren Sie keine G-Kräfte, und das ist der Grund, warum sich Astronauten schwerelos fühlen. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie (im Gegensatz zur Newtonschen Mechanik) sind Körper, die (nur) unter eine Gravitationskraft fallen, nichtBeschleunigung. Solche frei fallenden Körper folgen Geodäten in der Raumzeit. Nur wenn der Körper irgendwie daran gehindert wird, mit dieser Geodäte weiterzumachen, „fühlt“ er etwas und beschleunigt. Und dieses „Gefühl“ manifestiert sich in Form von Stress, der auf Ihren Körper einwirkt. Nun, um Ihre beiden Gedankenexperiment-Fragen zu beantworten:

1) Man nehme eine große Kugel der Masse M und eine kleinere Kugel der Masse m, wobei m$<$M. Führen Sie das anekdotische Experiment des Schiefen Turms von Pisa durch, indem Sie beide Kugeln aus derselben Höhe fallen lassen. Wie Sie wissen, werden sie gleichzeitig den Boden erreichen, was bedeutet, dass sich beide Kugeln mit genau der gleichen Geschwindigkeit (gleiche Beschleunigung) durch den Raum bewegten. Dies zeigt, dass zwei Körper unabhängig von ihrer Masse mit der gleichen Geschwindigkeit fallen. Verbinden Sie nun die beiden Kugeln mit einer massiven Stange und platzieren Sie den Apparat in einer horizontalen Position (wie in Ihrer Frage) und lassen Sie ihn wieder von der Spitze des Turms fallen. Aufgrund dessen, was wir gerade gesehen haben, wird die Rute auchgenau so fallen, wie die beiden Kugeln fallen. Sie können dieses Argument dann auf ein Experiment extrapolieren, das mit einem rechteckigen Körper mit ungleichmäßiger Massendichte durchgeführt wurde, und das Ergebnis bleibt unverändert: Es gibt keine Rotation. Auch bei einem nach oben beschleunigten Raum findet keine Rotation statt. Aber wie bereits erwähnt, müssen Sie, um ein „Raum mit Schwerkraft“-Experiment mit einem „Raum mit Beschleunigung“-Experiment zu vergleichen, dem Körper erlauben, die Reaktionskraft auf sich zu spüren , was möglich ist, wenn Sie beispielsweise den Raum platzieren Körper auf den Boden und führen Sie dann Ihr Experiment durch.

Eine andere Sichtweise besteht darin, festzustellen, dass die (vorgeschlagene) Rotationsachse durch den Körper mit der gleichen Geschwindigkeit fällt wie alle anderen Partikel, aus denen der Körper besteht. Es gibt also keine Drehung in Bezug auf diese Achse.

2) Nehmen Sie für eine Minute an, dass sich der Raum in einem vollständigen Vakuum befindet (außer natürlich Ihrem Körper). Wenn Sie in dieser Situation frei fallen, werden Sie überhaupt keine erschütternden Kräfte spüren. Sie werden sich schwerelos fühlen. Es spielt also keine Rolle, ob Sie frei in den Raum fallen oder im Raum hängen, während er nach oben beschleunigt. In beiden Fällen „fühlen“ Sie nichts. Aber ja, Sie werden eine erdrückende Kraft auf Ihrem Körper spüren, wenn Sie beide Experimente durchführen, wenn Sie auf dem Boden des Raums stehen. In diesem Fall wirkt der Boden mit einer Reaktionskraft auf Ihren Körper. Die Schwerkraft ist hier nicht tödlich, es sind die Oberflächen um Sie herum, die mit Reaktionskräften auf Sie einwirken, wenn Sie versuchen, entlang Ihrer Geodäte zu gehen, aber stattdessen von ihnen Widerstand geleistet wird.

Das Äquivalenzprinzip steht sicher und gut.

Der ungleichförmige Körper erfährt sowohl im Gravitationsfeld als auch in einem Aufzug ein Drehmoment, jedoch nur aus der Sicht des Trägheitsrahmens. In dem Bezugssystem, in dem der Körper immer in Ruhe ist, ist das Nettodrehmoment auf den Körper Null; die Schwerkraft wird durch die Trägheitskraft -ma aufgehoben.

Es gibt keine Begrenzung der Beschleunigung, die der Mensch überleben kann, wenn die Beschleunigung auf die Schwerkraft zurückzuführen ist. Einige Einschränkungen gelten nur für Situationen, in denen die Beschleunigung auf mechanische Kontaktkräfte des Sitzes oder eines anderen Körpers zurückzuführen ist, die den Menschen durch mechanischen Kontakt beschleunigen lassen.