Braucht man in der Allgemeinen Relativitätstheorie noch fiktive Kräfte?

Question

Braucht man in der Allgemeinen Relativitätstheorie noch fiktive Kräfte?

versucht, bestialisch zu sein

„Fiktive Kräfte treten in der klassischen Mechanik und der speziellen Relativitätstheorie in allen nicht-trägen Rahmen auf. oder Physik, deren Ursache außerhalb des Systems liegt, sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr notwendig, da diese Physik mit der Geodäte der Raumzeit erklärt wird."

Dem widersprach jedoch @VincentThacker in einem Kommentar zu einer Antwort . Auf die Frage von mir, ob fiktive Kräfte in der Allgemeinen Relativitätstheorie notwendig seien, lautete seine Aussage zu zwei Kommentaren (zusammengetragen) wie folgt:

"Ja, weil die Eigenbeschleunigung nicht durch eine Koordinatentransformation auf Null gesetzt werden kann. In GR ist die Schwerkraft ein Ergebnis der gekrümmten Raumzeit und der Geodäten, also ist sie keine Quelle der Eigenbeschleunigung. Wenn jedoch ein Beobachter eine Eigenbeschleunigung ungleich Null hat , Objekte in der Nähe scheinen eine fiktive (Koordinaten-)Beschleunigung zu haben. Das einfachste Beispiel ist die Erdoberfläche. Die Erdoberfläche beschleunigt radial nach außen mit der richtigen Beschleunigung g, so dass wir sehen, wie frei fallende Objekte bei − "beschleunigen". g. Siehe meine Antwort hier ."

Sind also fiktive Kräfte für korrekte Berechnungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie notwendig oder nicht?

Haftungsausschluss: Ich verstehe die allgemeine Relativitätstheorie überhaupt nicht. Ich verstehe nur die spezielle Relativitätstheorie.

Antworten (2)

Braucht man in der Allgemeinen Relativitätstheorie noch fiktive Kräfte?

J. Murray · Answer 1

Die Verallgemeinerung des 2. Newtonschen Gesetzes auf die allgemeine Relativitätstheorie ist gegeben durch

M \frac{D^{2} X^{μ}}{D τ^{2}} + M Γ_{a β}^{μ} \frac{D X^{a}}{D τ} \frac{D X^{β}}{D τ} = F^{μ} (⋆)

$m \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + m \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = f^\mu \qquad (\star)$ Wo

τ

$\tau$ ist die Eigenzeit entlang der Weltlinie des Teilchens,

f

$f$ ist die auf das Teilchen wirkende Netto-4-Kraft, und

Γ_{α β}^{μ}

$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ sind die Christoffel-Symbole, die Ihren Koordinaten entsprechen.

In kartesischen Trägheitskoordinaten sind alle $\Gamma$ s sind gleich Null, was bedeutet, dass

M \frac{D^{2} X^{μ}}{D τ^{2}} = F^{μ}

$m \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} = f^\mu$ Wenn Sie verschiedene Koordinaten auswählen, in denen die

Γ

$\Gamma$ s nicht Null sind, dann müssen Sie diesen zusätzlichen Term natürlich einschließen. Dies passiert beispielsweise, wenn Sie Polarkoordinaten verwenden, aber es tritt auch auf, wenn Sie beschleunigte kartesische Koordinaten verwenden. Im letzteren Fall können Sie die zusätzlichen Terme einfach auf die andere Seite der Gleichung verschieben und sie Pseudokräfte nennen :

M \frac{D^{2} X^{μ}}{D τ^{2}} = F^{μ} - \underset{Pseudokraft}{\underset{⏟}{M Γ_{a β}^{μ} \frac{D X^{a}}{D τ} \frac{D X^{β}}{D τ}}}

$m \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = f^\mu - \underbrace{m \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau}}_{\text{pseudoforce}}$

Beispiel: Die Koordinaten, die einem relativistischen Beobachter mit konstanter Eigenbeschleunigung entsprechen, sind die Rindler-Koordinaten . In diesem Koordinatensystem unter der Annahme einer geeigneten Beschleunigung $a_0$ entlang der $x$ -Achse wird das Linienelement

D S^{2} = - {(1 + \frac{A_{0} X}{C^{2}})}^{2} C^{2} D T^{2} + D X^{2} + D j^{2} + D z^{2}

$ds^2 = -\left(1+ \frac{a_0 x}{c^2}\right)^2 c^2dt^2 + dx^2+dy^2+dz^2$ Die Christoffel-Symbole ungleich Null sind

Γ_{10}^{0} = Γ_{01}^{0} = \frac{A_{0} / C^{2}}{1 + A_{0} X / C^{2}} Γ_{00}^{1} = (1 + \frac{A_{0} X}{C^{2}}) A_{0}

$\Gamma^0_{10} = \Gamma^0_{01} = \frac{a_0/c^2}{1+a_0 x/c^2}\qquad \Gamma^1_{00} = \left(1+\frac{a_0 x}{c^2}\right)a_0$ was bedeutet, dass die relativistische Verallgemeinerung des 2. Newtonschen Gesetzes für

x

$x$ Ist

M (\frac{D^{2} X}{D τ^{2}} + A_{0} \frac{1 + \frac{A_{0} X}{C^{2}}}{1 + \frac{A_{0} X}{C^{2}} - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) = F_{X}

$m \left(\frac{d^2x}{d\tau^2} + a_0 \frac{1+\frac{a_0 x}{c^2}}{1+ \frac{a_0 x}{c^2} - \frac{v^2}{c^2}}\right) = f_x$

In der nichtrelativistischen Grenze wird dies

M (\frac{D^{2} X}{D T^{2}} + A_{0}) = F_{X} ⟺ M \frac{D X^{2}}{D T^{2}} = F_{X} \underset{Pseudokraft}{\underset{⏟}{- M A_{0}}}

$m \left(\frac{d^2 x}{dt^2} + a_0\right) = f_x \iff m \frac{dx^2}{dt^2} = f_x \underbrace{ -\ m a_0}_{\text{pseudoforce}}$

Das ist genau das, was wir in der Newtonschen Mechanik tun müssten, wenn wir zu einem Nicht-Trägheitsrahmen wechseln wollten, mit dem beschleunigt wird $\mathbf a = a_0 \hat x$ .

Zusammenfassend haben Sie also folgende Möglichkeiten:

Wählen Sie ein Koordinatensystem, in dem alle $\Gamma$ s verschwinden - das heißt, ein globales Inertialsystem. Solche Rahmen existieren im Allgemeinen nicht in der gekrümmten Raumzeit, daher können Sie dies nur im Kontext von SR tun.
Erkenne und akzeptiere, dass die linke Seite von $(\star)$ hat zusätzliche Bedingungen aufgrund der $\Gamma$ s, die die Tatsache widerspiegeln, dass sich Ihre Koordinatenbasis mit der Position ändert. Wenn Sie jemals Newtons Gesetze in Polarkoordinaten konstruiert haben, tun Sie dies.
Verschieben Sie den Begriff $m\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau}$ auf die rechte Seite der Gleichung und nennen sie eine Pseudokraft. Wenn Sie jemals die Newtonschen Gesetze in einem Nicht-Trägheitsrahmen konstruiert haben, haben Sie dies wahrscheinlich getan.

Im Allgemeinen kann man der gekrümmten Raumzeit nicht entkommen $\Gamma$ Daher sind Ihre Optionen auf 2 und 3 beschränkt. Wenn der Wiki-Artikel besagt, dass Sie keine Pseudoforces benötigen , bedeutet dies, dass Sie Option 2 wählen können, nicht, dass Sie sie direkt ignorieren können.

Schließlich kann man das in GR nicht machen $\Gamma$ s überall verschwinden , können Sie jederzeit eine sofortige Auswahl von Koordinaten treffen, um sie an einem Punkt verschwinden zu lassen . Infolgedessen können Sie zu jedem beliebigen Zeitpunkt Koordinaten wie folgt auswählen $f^\mu_{\mathrm{pseudo}} \equiv -m \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0$ . Weil $f^\mu_{\mathrm{pseudo}}$ durch eine Koordinatentransformation auf Null gesetzt werden kann, wissen wir, dass es kein 4-Vektor ist, denn wenn ein 4-Vektor in einem Koordinatensystem verschwindet, muss er in allen Koordinatensystemen verschwinden. Dies ist die mathematische Unterscheidung zwischen echten Kräften, die 4-Vektoren und daher koordinatenunabhängige geometrische Objekte sind, und Pseudokräften , die als Artefakte Ihrer Wahl von Koordinaten angesehen werden können.

gandalf61 · Answer 2

Sie können eine Koordinatentransformation definieren, die die Eigenbeschleunigung lokal zu Null macht und so einen lokalen Trägheitsreferenzrahmen erzeugt. In SR, wo die Raumzeit flach ist, kann dies zu einem globalen Trägheitsreferenzrahmen erweitert werden - einem Referenzrahmen, der immer noch träge ist, wenn Sie sich vom Ursprung entfernen. Aber in GR können Sie im Allgemeinen einen Referenzrahmen, der lokal inertial ist, nicht auf einen erweitern, der überall global inertial ist (obwohl dies mit einigen spezifischen Raumzeitmetriken möglich sein kann).

@VincentThacker hat also Recht und der Wikipedia-Artikel ist falsch?
@AbuSafwan Vielleicht spricht Wikipedia lokal, während Vincent global spricht.
@AbuSafwan (1) In der flachen Raumzeit (Minkowski) hindert Sie nichts daran, Koordinaten mit fiktiven Kräften auszuwählen. Der Haken ist, dass Sie immer einen Rahmen wählen können, in dem die Trägheitsgesetze überall und zu jeder Zeit gelten . (2) In der gekrümmten Raumzeit können Sie jedoch nur ein Inertialsystem an einem Punkt in der Raumzeit auswählen . Das bedeutet nicht nur einen Punkt im Raum, sondern auch einen Zeitpunkt. Der entscheidende Punkt ist, dass in gekrümmter Raumzeit aus zwei Gründen eine nicht richtige Beschleunigung auftritt: Raumzeitkrümmung und Wahl der Koordinaten, was in J. Murrays Antwort erklärt wird.
@AbuSafwan Nach meinem Verständnis wird der erste Grund, die Krümmung der Raumzeit, als Schwerkraft bezeichnet , während der zweite Grund, die Wahl der Koordinaten, als "fiktive Kräfte" bezeichnet wird. Beide Effekte sind jedoch in den Christoffel-Symbolen kodiert, sodass es schwierig ist, sie von den Symbolen allein zu unterscheiden.

Braucht man in der Allgemeinen Relativitätstheorie noch fiktive Kräfte?

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J. Murray

gandalf61

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