Warum gibt es für GR keinen globalen Bezugsrahmen?

Sie verwenden den Begriff Referenzrahmen , aber wir müssen vorsichtig sein, was wir damit meinen. In der speziellen Relativitätstheorie bedeutet dieser Ausdruck im Allgemeinen ein Inertialsystem , dh ein System, in dem das erste Newtonsche Gesetz gilt. In GR können wir offensichtlich keinen globalen Trägheitsrahmen haben, da Objekte (aufgrund der Schwerkraft) beschleunigen, wenn sie sich in der Nähe einer Masse befinden, sodass ihr Verhalten nicht träge ist und Newtons erstem Gesetz nicht gehorcht.

Die angemessenere Bedeutung des Bezugsrahmens ist ein Koordinatensystem, dh jedes Koordinatensystem, das wir verwenden können, um Positionen in der Raumzeit zu beschreiben. Tatsächlich können wir fast ein globales Koordinatensystem haben, aber es wird fast immer Singularitäten enthalten, die es brechen.

Betrachten Sie für eine einfache Analogie das Koordinatensystem, das wir verwenden, um Positionen auf der Erde zu beschreiben, dh Längen- und Breitengrade. Fragen Sie nun, wie lang sind der Nord- und der Südpol? Das Problem ist, dass sich alle Längengrade an den Polen treffen, sodass der Längengrad dort nicht definiert ist. Unsere Koordinaten sind an den Polen singulär. An den Polen ist nichts Besonderes an der Erde, das Problem sind unsere Koordinaten, aber das bedeutet, dass unsere Koordinaten nicht die ganze Erde abdecken können, weil sie an den Polen nicht funktionieren. Eine ähnliche (wenn auch etwas kompliziertere) Sache passiert am Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs.

Koordinatensingularitäten lassen sich durch Wechsel des Koordinatensystems beseitigen, jedoch begegnen wir in der Allgemeinen Relativitätstheorie auch Singularitäten, die nicht auf Eigenarten der Koordinaten zurückzuführen sind. Zum Beispiel ist die Singularität im Zentrum eines Schwarzen Lochs eine echte Singularität und kein Koordinatensystem wird dort funktionieren. Also wird jedes Koordinatensystem, das wir uns ausdenken können, an der Singularität brechen.

Sie erwähnen die Expansion des Universums – diese hat einen singulären Punkt beim Urknall, dh bei$t = 0$. An diesem Punkt erhalten wir das ziemlich überraschende Ergebnis, dass der Abstand zwischen jedem Punkt im Universum Null ist. Auch hier funktioniert an dieser Stelle kein Koordinatensystem.

Streng genommen schließen wir singuläre Punkte aus der Mannigfaltigkeit aus, die wir zur Darstellung der Raumzeit verwenden, dh das Universum besteht aus allem außer den (wahren) Singularitäten. Mit dieser Definition können wir ein globales Koordinatensystem haben, weil die Stellen, an denen es zusammenbricht, per Definition ausgeschlossen sind.

In der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es möglicherweise keinen allgemeinen Bezugsrahmen, der so aussieht, wie ein Trägheitsbezugsrahmen in der speziellen Relativitätstheorie aussieht. Und der grundlegende Grund dafür ist, dass wir nicht davon ausgegangen sind, dass es so sein muss, also musste es nicht passieren. Ob eine bestimmte Lösung der Einstein-Gleichung eine hat oder nicht, muss durch Experimente bestimmt werden.

Warum existieren sie nicht oder was passiert anders, um uns sagen zu lassen, dass sie nicht da sind? Insbesondere können Sie nicht einfach partielle Ableitungen von Dingen in Bezug auf Ihre Koordinaten nehmen, wie Sie es in der speziellen Relativitätstheorie tun. Da Koordinaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie nur ein Teil der Geschichte sind, verwenden Sie die Metrik tatsächlich auf nicht triviale Weise, um Ihre Ergebnisse zu erhalten.

Und während in der speziellen Relativitätstheorie jeder Rahmen, der sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit relativ zu einem Trägheitsrahmen bewegt, auch inertial war und daher genauso gut ist, hält dieser einfache Weg, ebenso gute Rahmen zu erhalten, in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht so einfach.

Die Allgemeine Relativitätstheorie gibt Ihnen zwei Möglichkeiten. Option eins besteht darin, mit einem beliebigen Koordinatensystem zu arbeiten und den metrischen Tensor in diesem Koordinatensystem zu verwenden, bevor Sie Ihre Ergebnisse erhalten. Oder Option zwei ist, dass Sie mit Rahmen arbeiten können, die über einen kleinen Bereich (von Raum und Zeit) definiert sind, der durch einen Faktor h parametrisiert ist, wobei der metrische Tensor sehr, sehr nahe an der speziellen Relativitätsmetrik liegt, sodass Sie Ihre Ergebnisse wie in SR berechnen können bis zu Fehler zweiter Ordnung in h (Sie können sie also so klein machen, wie Sie möchten, indem Sie h klein genug machen). Und wenn Sie die zweite Option wählen, können Sie tatsächlich viele Frames in jeder kleinen Region (für jeden Parameter h) auswählen, die sich durch die Standard-SR-Lorentz-Transformationen voneinander unterscheiden (bis zu einer Ordnung in h).

Kommen wir nun zu den Dingen, die Ihnen gesagt wurden. Expansion hat damit nichts zu tun, absolut nichts. Die Krümmung ist auch nicht wirklich das Problem. Wenn das Universum wie ein Pac-Man-Universum wäre (gehen Sie in x-Richtung herum und kommen Sie dorthin zurück, wo Sie sich befinden, aber lokal sieht alles wie ein gewöhnlicher flacher Raum aus), haben Sie möglicherweise kein globales Koordinatensystem, obwohl Ihr Raum flach sein kann. Und ja, die Gleichungen von GR erlauben, dass das Universum überall flach ist, und doch, wenn Sie in eine Region reisen, kommen Sie dorthin zurück, wo Sie waren. Wenn Sie sagen, dass eine Mannigfaltigkeit flach ist, bedeutet das nicht, dass sie nicht gekrümmt aussehen würde, wenn Sie sie in ein größeres dimensionales Ding einbetten würden (das ist eine extrinsische Krümmung, die von Ihrer Einbettung abhängt), es geht um eine intrinsische Krümmung, die völlig anders ist. Zum Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel positiv gekrümmt und Sie können das daran erkennen, dass Sie Teile wegschneiden müssen, wenn Sie versuchen, einen Flicken darauf zu nähen. Und die Oberfläche eines Sattels ist negativ gekrümmt, und Sie können das daran erkennen, dass Sie, wenn Sie versuchen, einen Sattelbezug aus flachem Stoff herzustellen, Schlitze in den Stoff schneiden und mehr Stoff zu den Schlitzen hinzufügen müssten. Aber die Oberfläche eines Zylinders ist eigentlich wirklich flach (eigentlich). Das ist nur ein skalares Maß für die Krümmung (positive, negative oder skalare Krümmung von Null), und das vollständige Maß für die Krümmung ergibt sich aus der Änderung der (virtuell) entlang von Schleifen transportierten Vektoren.n n*(n-1)/2) Zahlen, um die Geometrie der Krümmung vollständig anzugeben (tatsächlich gibt es einige andere Symmetrien, also brauchen Sie nicht ganz so viele, n n (n*n-1)/12 also nur 20 Zahlen für unser Universum). Aber der eigentliche Punkt ist, dass selbst wenn jeder Vektor um jede Schleife den gleichen Winkel mit der Schleife bilden und zu sich selbst zurückkehren kann (eine lokale Eigenschaft), es immer noch möglich ist, wieder dort zu landen, wo Sie gestartet sind, wenn Sie eine lange Reise machen.

Allerdings können Sie in vielen Situationen ein einziges Koordinatensystem für Ihre gesamte Raumzeit verwenden. Zum Beispiel können Sie eine Raumzeit ohne Materie und ohne andere Felder als die Schwerkraft haben, mit einer Gravitationswelle, die beispielsweise in x-Richtung geht. Es ist gekrümmt, aber es gibt ein globales Koordinatensystem. Sie könnten sogar ein elektromagnetisches Feld in die gleiche Richtung schicken und so eine Raumzeit haben, die nicht leer ist. Und das sind tatsächliche Lösungen, die gefunden wurden, nicht nur hypothetische Lösungen.

Sie können ein expandierendes Universum mit einem Koordinatensystem von (x,y,z,log t) haben, wobei (x,y,z) die üblichen FLRW-Koordinaten sind und t die übliche FLRW-Zeit mit t=0 dem Urknall ist. Dieses Koordinatensystem deckt alles ab, was abgedeckt werden kann. Wenn Sie das Koordinatensystem (x,y,z,log (t-1)) verwenden, würden Sie alle Dinge verpassen, die vor einer Sekunde passiert sind. Aber mit dem (x,y,z,log t)-Koordinatensystem gibt es eine Krümmungsinvariante, die explodiert, wenn log t gegen negative Unendlichkeit geht, sodass wir unser Koordinatensystem nicht weiter erweitern können.

Das sind wahre Singularitäten. Sie sind Kurven von endlicher metrischer Länge (oder endlicher metrischer Zeit), die in dieser endlichen Länge (oder endlichen Zeit) ganz aus Ihrem Koordinatensystem herauslaufen und lokale Invarianten von Dingen haben, die gemessen werden können, wenn Sie aus dem Koordinatensystem, sodass wir wissen, dass Ihr Koordinatensystem nicht erweitert werden konnte.

Wenn es unendlich viel Zeit oder Platz brauchte, um Ihr Koordinatensystem zu verlassen, wäre das nicht seltsam, und wenn es eine endliche Länge dauerte, würden Sie denken, Sie hätten es einfach schlecht gemacht und etwas ausgelassen, aber wenn eine lokale Invariante auf dem explodiert Ausweg dann war es unvermeidlich. Und eine Invariante ist eine Messung, die endlich ist, wenn die Krümmung endlich ist, aber nicht vom verwendeten Koordinatensystem abhängt.

Sie müssen also nur den metrischen Tensor verwenden. Und Krümmung ist kein Problem (Sie haben jetzt Beispiele mit Krümmung mit globalen Koordinaten) und das Erweitern des Raums ist kein Problem (Sie haben ein Beispiel mit einem einzelnen Koordinatensystem, das nicht erweitert werden kann). Und manchmal gibt es kein globales Koordinatensystem (aus Gründen des Pac-Man-Stils), das auftreten kann, selbst wenn alle 20 unabhängigen Krümmungskomponenten überall Null sind, keine Krümmung.

Der wahre Grund ist, dass wir eine Theorie über lokale Messungen aufgestellt haben. Also gaben wir uns die Freiheit, Systeme ohne globales Koordinatensystem zu haben. Ob wir diese Freiheit brauchten, hängt davon ab, was wir im Universum sehen. Wenn wir Beweise für Pac-Man sehen, können wir damit umgehen, ohne die Theorie zu ändern.

Zusammenfassend @MikeH sage ich, dass es für lokale Messungen Frames gibt, die ungefähr den Frames von SR entsprechen. Und dass es global unterschiedliche Rahmen gibt, zum Beispiel sich träge bewegende Körper, die tangential beginnen, sich näher aufeinander zu bewegen könnten. Wenn Sie diese Frames als normal akzeptieren, dann ist der einzige bekannte Grund, warum Sie sie nicht verwenden können, wenn das Universum seltsame Dinge wie Wurmlöcher oder Murmeltiertage oder einen Raum im Pac-Man-Stil hat. Für all diese könnte man sagen, dass man einfach in einem Universum landet, das gleich aussieht, aber tatsächlich anders ist, also bin ich mir nicht sicher, ob man jemals gezwungen sein wird, lokale Frames zu verwenden.

Tatsächlich ist ein globales Koordinatensystem möglich. Die meisten Behandlungen von GR beruhen auf dem Konzept einer Mannigfaltigkeit und betonen, dass Koordinatensysteme (im Allgemeinen) nur lokal sind. Die Whitney-Einbettungstheoreme zeigen jedoch, dass jede Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann$R^n$für eine positive ganze Zahl$n$. Vielleicht ist das Originalposter nicht beleidigt, wenn ich eine stark verwandte Frage anhänge: Angenommen, wir legen ein lokales Koordinatensystem fest und beobachten von seinem Ursprung aus ein Teilchen, das sich durch den Raum bewegt. Wenn sich das Teilchen nahe an die Grenzen des lokalen Flecks bewegt, der unseren Ursprung enthält, wie beschreiben wir dann weiterhin die Flugbahn des Teilchens relativ, wenn es sich in das benachbarte Fleck und aus unserem eigenen herausbewegt? Das wäre natürlich kein Problem$R^n$, aber nur, wenn wir auf Messungen bestanden, die nur der ursprünglichen Mannigfaltigkeit eigen sind.