Erlauben Einsteins Gleichungen mehrere Lösungen, die in einer Nachbarschaft einer raumartigen Hyperfläche übereinstimmen?

Hier ist eine Lösung für Einsteins Feldgleichungen:

$$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \text{ on } \{(x,y,z,t):x,y,z,t\in\mathbb R\}.$$

Es hat ein globales Koordinatensystem, einen globalen Referenzrahmen, keine geschlossene Zeit wie Kurven und einen berühmten Namen, den Minkowski-Raum.

Unsere zweite Lösung ist eine andere Mannigfaltigkeit$\mathbb R^3\times \mathbb S$, was zwar von as sein kann (aber nicht sein muss).$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}.$Intuitiv können Sie es einfach als Untermannigfaltigkeit mit der Metrik behandeln$ds^2=dv^2+dw^2-dx^2-dy^2-dz^2$(Ich sage Ihnen, dass die folgenden Schritte einfach zu befolgen sind, aber Sie sollten sich nicht vorstellen, dass die Raumzeit eine Oberfläche ist, die ein größerer Raum ist, es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun, und sie machen die gleichen Vorhersagen, also müssen Sie vorsichtig sein nicht zu viel in Dinge hineininterpretieren, die Ihre Vorhersagen nicht beeinflussen). Aber wenn Sie es als eigenständige Mannigfaltigkeit behandeln, dann gibt es kein globales Koordinatensystem, weil es topologisch ein Zylinder ist. Als eigenständige Mannigfaltigkeit ist sie vierdimensional und flach.

Für die zweite Mannigfaltigkeit brauchen wir also zwei Koordinatenpatches, zum Beispiel:

$$ds^2=dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2 \text{ on } \{(X,Y,Z,T):X,Y,Z\in\mathbb R, T\in(-2\pi/6,2\pi/6)\}, \text {and}$$

$$ds^2=d\tau^2-dA^2-dB^2-dC^2 \text{ on } \{(A,B,C,\tau):A,B,C\in\mathbb R, \tau\in(\pi/6,11\pi/6)\}.$$

Um eine tatsächliche Mannigfaltigkeit zu erstellen, benötigen wir Übergangskarten zwischen den Diagrammen. Aus diesem Grund habe ich die Oberfläche eingeführt$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\},$nur um diese Übergangskarten leicht sichtbar zu machen. Denken Sie an die Zeit ($T$oder$\tau$) als Winkel können wir bekommen$v=\cos (\tau)$Und$w=\sin (\tau)$(Und$x=A$,$y=B$,$z=C$). Ähnlich$v=\cos (T)$Und$w=\sin (T)$(Und$x=X$,$y=Y$,$z=Z$). In beiden Fällen,$w/v=\tan (\tau)=\tan (T)$Wenn$v\neq 0$. Aber der gesamte Bereich der Überlappung ist wo$v>0$So$w/v=\tan(T)$. Also die Karte, die sendet$(\tau,A,B,C)$Zu$(T,X,Y,Z)=(\arctan \left(\tan (\tau)\right),A,B,C)$ist unsere Übergangskarte.

Jetzt können Sie darauf verzichten$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}$ganz und sag das einfach, wenn du drin bist

$$ds^2=d\tau^2-dA^2-dB^2-dC^2 \text{ on } \{(A,B,C,\tau):A,B,C\in\mathbb R, \tau\in(\pi/6,11\pi/6)\}$$ wenn du dabei bist $\tau < 2\pi/6$und auf die andere Koordinate wechseln wollen, einfach den Satz wechseln $T=\tau$, $X=A$, $Y=B$, Und $Z=C$. Wohingegen, wenn Sie dabei sind $\tau > 10\pi/6$und auf die andere Koordinate wechseln wollen, einfach den Satz wechseln $T=\tau -2\pi$, $X=A$, $Y=B$, Und $Z=C$. Und das ist was $\arctan \left(\tan (\tau)\right)$tut es schließlich, also ist das nicht anders, es ist nur so, dass wir keinen Einbettungsraum brauchen, wir müssen nur von einem Koordinatensystem zum anderen wechseln, bevor wir seinen Anwendungsbereich verlassen.

Und in die andere Richtung gehen, wenn drin

$$ds^2=dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2 \text{ on } \{(X,Y,Z,T):X,Y,Z\in\mathbb R, T\in(-2\pi/6,2\pi/6)\}$$ wenn du dabei bist $T>\pi/6$und auf die andere Koordinate wechseln wollen, einfach den Satz wechseln $\tau=T$, $A=X$, $B=Y$, Und $C=Z$. Wohingegen, wenn Sie dabei sind $T < -\pi/6$und auf die andere Koordinate wechseln wollen, einfach den Satz wechseln $\tau=T+2\pi$, $A=X$, $B=Y$, Und $C=Z$.

OK, das ist also ein Universum vom Typ Murmeltier, das ganze Universum wiederholt sich einfach danach$2\pi$Zeiteinheiten. Ohne Grund. Es hat nicht einmal Materie, geschweige denn eine Krümmung (keine Riemannsche Krümmung) irgendwo zu jeder Zeit. Und Sie sind gezwungen, zwei Koordinatendiagramme zu haben (es sei denn, Sie möchten sie in einen größeren Satz einbetten). Aber nicht wegen einer Krümmung oder so, nur weil es ein Zylinder ist und Zylinder mehr als ein Koordinatensystem benötigen, es sei denn, Sie möchten Sprünge haben, zum Beispiel könnten Sie einen regulären vierdimensionalen flachen Raum haben und ihn einfach identifizieren$t=0$Und$t=2\pi$und erhalten Sie Ihr Koordinatensystem auf diese Weise, und die meisten Physiker sind damit einverstanden.

Also schaut man sich die Region in der Nähe an$t=0$von unserem ersten Verteiler und$T=0$ab unserem zweiten Krümmer sehen sie genau gleich aus$T=-\pi/6$den ganzen Weg zu$T=\pi/6$alles flach, alles leer, alles eben Minkowski. Sie stimmen also in einer Umgebung des raumartigen Schnitts überein$t=0$.

Aber die zweite Lösung hat geschlossene zeitähnliche Kurven und damit Zeitreisen.

Aber wir hätten dasselbe mit einer räumlichen Richtung machen können. Hatte$z$ein Winkel in der sein$v,w$Flugzeug wie$\{(v,w,x,y,t)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}$mit Metrik$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dv^2-dw^2$in diesem Fall gehen in die$z$Richtung springt effektiv zurück$2\pi$Das Universum wiederholt sich also räumlich und ist immer noch ungekrümmt und dies ohne Grund und erfordert technisch mindestens zwei Koordinatensysteme, wenn Sie keine diskontinuierlichen Sprünge von Koordinatenwerten zulassen möchten.

Um dies wieder mit Ihrer Frage zu globalen Koordinatensystemen in Verbindung zu bringen, können diese Beispiele nicht lokal unterschieden werden, daher macht es auch keinen Sinn, sich über ihre Unterschiede zu äußern. Zum Beispiel, wenn Sie gehen$2\pi$Einheiten in der z-Richtung und alles sieht gleich aus, vielleicht ist das Universum zurückgeschleift, oder vielleicht sieht das Universum einfach alle ähnlich aus$2\pi$Einheiten mit vielen Kopien von Ihnen, sodass Sie jeweils in die nächste Region gezogen sind, die anders ist, aber gleich aussieht. Beide Optionen sehen gleich aus. Wie groß kann es also sein?

Für Zeitreisen mag es nach einer größeren Sache klingen, ob Sie sich in Ihrer eigenen Vergangenheit befinden oder nur in einer Region von Raum und Zeit, die wie Ihre eigene Vergangenheit aussieht. Aber noch einmal, wie werden Sie zwischen den beiden Optionen unterscheiden? Wenn Sie nicht wissen, wie Sie den Unterschied zwischen den beiden erkennen sollen, ist es möglicherweise zu früh, um sich über die Unterschiede (falls vorhanden) zwischen den beiden zu freuen.