Widersprüchliche Definitionen von Referenzrahmen in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Es gibt eine Vielzahl von Konzepten, die sich in der speziellen Relativitätstheorie größtenteils ähneln, in der allgemeinen Relativitätstheorie jedoch nuancierter sind.

Zuerst gibt es Koordinaten . Koordinaten sind die Punkte im Koordinatenfeld in der Domäne$O \subset \mathbb{R}^n$einer Mannigfaltigkeitskarte$\phi$, und angesichts der Umkehrung unseres Diagramms erhalten wir den Raumzeitpunkt unserer Mannigfaltigkeit,$\phi^{-1}(t, x, y, z) = p$.

Dann gibt es Rahmen . Ein Rahmen bei$p$ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren$\{ e_a \}$(dh eine Basis) des Tangentialraums$T_pM$die den gesamten Tangentialraum überspannen. Wie bei anderen Basis nennen wir es orthonormal wenn$\langle e_a, e_b \rangle = \pm 1$. Für einen gegebenen Koordinatensatz haben Sie auch den Rahmen, der durch die Koordinatenbasis gegeben ist, die die Tangentenvektoren von Kurven nur einer Koordinate sind.

Ein Rahmenfeld darüber$U \subset M$ist eine reibungslose Rahmenauswahl. Das heißt, wir haben$n$Vektorfelder$e_a(p)$die sind alle glatt und an jedem Punkt$p$, sie bilden eine Grundlage.

Wir können auch Frames für Beobachter definieren, in diesem Fall ist das im Wesentlichen derselbe Begriff wie ein Frame-Feld, aber das$n$Vektoren sind entlang der vom Beobachter definierten Kurve glatt.

Und schließlich gibt es physikalische Messungen, die Sie durchführen können, um Zeiten und Entfernungen tatsächlich zu bestimmen. Um Ihnen eine intuitivere Vorstellung von Frames zu vermitteln, nehmen Sie einen Beobachter. Ein Beobachter kann lokal seinen eigenen Rahmen haben (stellen Sie sich vor, dass es sich um eine Sonde mit drei orthogonalen Achsen handelt). Eine übliche Methode, um die Koordinaten anderer Punkte zu erhalten, ist die Radarmethode. Nehmen Sie zuerst Ihre drei Achsen, um sie in Kugelkoordinaten umzuwandeln, und schießen Sie jeweils einen Lichtstrahl$t_1$in Richtung$(\theta, \phi)$. Der Punkt$q$auf den Sie schießen, reflektiert den Lichtstrahl zu Ihnen zurück und kommt zur richtigen Zeit an$t_2$. Das Ereignis$q$erhält dann die Zeitkoordinate$(t_2 - t_1) / 2$und die Entfernung$c (t_2 - t_1) / 2$. Unter Verwendung dieser Entfernung können Sie sie, wenn Sie möchten, wieder in "kartesische" Koordinaten umwandeln. Ein Rahmen bei$q$kann dann durch Variieren dieser Koordinaten definiert werden.

In der speziellen Relativitätstheorie sind alle diese Begriffe, obwohl sie unterschiedlich sind, etwas austauschbar. Wenn Sie die kartesischen Koordinaten haben$(t,x,y,z)$, der Rahmen$\{ e_t, e_x, e_y, e_z \}$Sie definieren einen orthonormalen Rahmen, und wenn Sie diesen Rahmen verschieben, erhalten Sie ein Rahmenfeld. Bei einem Trägheitsbeobachter werden die Radarkoordinaten unter Verwendung eines Lichtschusses unter Verwendung des lokalen Beobachterrahmens (dh des auf der Linie$(t,0,0,0)$), geben die richtigen Koordinaten zurück, und die Übersetzung erzeugt ein Rahmenfeld, das auch der geeignete Rahmen für alle mitbewegten Beobachter ist. Eine Lorentz-Transformation wird auf alle Frames im Frame-Feld angewendet, sodass der Vergleich der Frames verschiedener Trägheitsbeobachter einfach ist (bitte beachten Sie, dass alles, was ich gesagt habe, für Trägheitsbeobachter gilt. Selbst im flachen Raum werden die Dinge mit beschleunigten Beobachtern kompliziert ).

In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind die Dinge jedoch schwieriger. Angesichts eines lokalen Rahmens bei$p$, all das bekommen Sie dank konvexer normaler Nachbarschaften immer lokal. Ein Beobachter kann mit allen Uhren und Stäben, die er benötigt, eine lokale Basis erzeugen, die orthonormal sein kann$p$. Sie können dann durch parallelen Transport des Rahmens ein eindeutiges Rahmenfeld definieren$p$entlang der eindeutigen Geodäten und Koordinaten, die aus diesem lokalen Rahmen stammen, indem die Parameter der Basis genommen werden, dh wenn Sie einen Vektor haben$v = v^i e_i$, dann der Punkt$q = \exp_p(v)$hat die Koordinaten$v^i$(Bitte beachten Sie hierbei, dass die Basis bei$q$die wir definiert haben, ist möglicherweise nicht die Koordinatenbasis in diesen Koordinaten, und tatsächlich wird dies nicht der Fall sein, es sei denn, die Raumzeit ist flach). Und für eine geeignete Nachbarschaft, Radarnachbarschaft genannt, ist es möglich, diese Koordinaten über das Radarverfahren zu erhalten.

Erste Hiobsbotschaft: Der Vergleich der Frames verschiedener Beobachter ist hier keine triviale Aufgabe mehr. Um sich davon zu überzeugen, nehmen Sie drei nahe Beobachter (alle befinden sich in ihrer eigenen konvexen normalen Nachbarschaft),$\gamma_1$,$\gamma_2$Und$\gamma_3$. Wenn wir einfach einen Rahmen von definieren könnten$\gamma_2$durch den parallelen Transport von$\{ e^1_a \}$, dann könnten wir das auch zwischendurch machen$\gamma_2$Und$\gamma_3$, Und$\gamma_3$Und$\gamma_1$, erhalten schließlich denselben Frame zurück, aber was wir gerade getan haben, ist eine Schleife paralleler Transporte, und daher wird das Endergebnis, wenn die Metrik gekrümmt ist, nicht übereinstimmen. Dies gilt auch dann, wenn wir das engste Äquivalent von Trägheitsbeobachtern nehmen, indem wir unbeschleunigte Beobachter haben (ein Teil des Problems besteht darin, dass wir diese Beobachter nicht mit derselben Geschwindigkeit haben können, da wir entfernte Geschwindigkeitsvektoren nicht vergleichen können).

Ab hier werden die Dinge jedoch komplexer. Wir definieren konvexe normale Nachbarschaft, weil all diese netten Eigenschaften außerhalb von ihnen versagen können. Ein typisches Beispiel ist, dass ein Punkt zwei verschiedene Geodäten haben kann, sogar mit gleicher Länge, die ihn verbinden$p$. Das klassische Beispiel ist die Kugel, bei der die beiden Pole in jeder Richtung durch eine Geodäte gleicher Länge verbunden sind. Dies ist die Ursache für Gravitationslinsen und kann in einem konkreteren Fall dazu führen, dass ein Punkt mehr als eine Radarkoordinate hat. Wenn wir versuchen würden, an diesem Punkt durch parallele Ausbreitung einen Rahmen zu definieren, könnten wir dies nicht tun, da es keine eindeutige Geodäte gibt, die uns führt.

Wenn wir einen mathematischeren Weg gehen, sind die Dinge noch schlimmer: Es gibt keine nirgendwo verschwindenden Vektorfelder auf der Kugel, und daher könnten wir überhaupt kein Rahmenfeld global definieren. Viele Mannigfaltigkeiten lassen einen solchen globalen Rahmen nicht zu, aber wir haben meistens Glück: Wenn Sie davon ausgehen, dass sich unsere Raumzeit gut verhält (dh sie hat eine Topologie$\mathbb{R} \times \Sigma$, Wo$\Sigma$ist der räumliche Teil, und$\Sigma$orientierbar ist), dann für$3+1$Dimensionen lassen Raumzeiten immer ein solches globales Rahmenfeld zu, obwohl sie möglicherweise nicht direkt aus Messungen stammen.

Ein Referenzrahmen in SR besteht aus einer starren Struktur im gesamten Raum, an der an jedem Punkt eine Uhr angebracht ist

Ja – das trifft sicherlich eine Variante des Begriffs „Bezugsrahmen“, die ich verstehe und im Folgenden ansprechen möchte. Lassen Sie mich das zunächst extrahieren und zusammenfassen

Hauptanforderungen an einen Bezugsrahmen

• eine Ansammlung sogenannter eindeutig identifizierbarer „Punkte“ („Raumpunkte“, „Punkte mit zeitlicher Ausdehnung“, „ materielle Punkte “, „ Punktteilchen “, „Teilnehmer“, „Mitglieder eines Bezugssystems“) oder insbesondere deren Repräsentationen als (kontinuierliche) zeitartige Kurven in (einer gegebenen Region der) Raumzeit,

• die einen betrachteten Raumzeitbereich vollständig abdeckt (dh füllt und tatsächlich disjunkt unterteilt); so dass an jeder Veranstaltung der Region ein (und tatsächlich nur ein) Mitglied eines bestimmten Rahmens teilnahm,

• mit einer bestimmten „Struktur“, die zwischen ihnen etabliert ist und alle einbezieht; einschließlich Laufzeitvergleich$\tau$zwischen Mitgliedern (sowie für jedes Mitglied selbst), geometrische ("räumliche") Struktur zwischen mehreren (oder allen) von ihnen und (in Verallgemeinerungen nicht triviale) kinematische Struktur; und vor allem

• so dass sich von allen Mitgliedern eines bestimmten Referenzrahmens keine zwei jemals getroffen haben (zusammengefallen sind, an demselben Ereignis teilgenommen haben); und ihre darstellenden Kurven schnitten sich nicht.

Varianten oder Verallgemeinerungen

[...] starre Struktur

• Referenzrahmen (in einem flachen Bereich), deren Stäbe nicht nur starr bzgl. einander, aber darüber hinaus einzeln ruhend (dh unbeschleunigt) und damit ruhend bzgl. untereinander sind natürlich Trägheitsrahmen . Trägheitsrahmen können jeden beliebig ausgedehnten flachen Raumzeitbereich abdecken. Die dem Satz seiner Mitglieder zugeordnete geometrische Struktur ist ein flacher metrischer Raum.

• Beispiele für Referenzrahmen mit streng und nicht trivial starrer geometrischer Struktur in einer flachen Region der Raumzeit sind Rindler-Rahmen (dh Familien von gegenseitig starren, hyperbolisch beschleunigenden Rindler-Beobachtern) und rotierende Referenzrahmen (mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit ungleich Null).$\omega$) . In einem beliebig ausgedehnten Raum-Zeit-Bereich weisen solche starren Bezugssysteme Grenzen (Horizonte) auf. Die zugehörigen geometrischen Strukturen sind im Allgemeinen gekrümmte metrische oder quasi-metrische Räume.

• Starrheit (aller Glieder eines Bezugssystems zueinander) muss nicht unbedingt erforderlich sein; wir können uns dann zB asymptotisch trägheitsrotierende Koordinatensysteme (in einem beliebig ausgedehnten flachen Bereich), also mit Winkelgeschwindigkeiten, vorstellen$\omega[ \, R \, ] < 2 \, \pi \, (R / c)$Und$(\omega_B / \omega_A) \le (R_A / R_B)^{(1 + \epsilon)}$(es sei denn$R_B = 0$).

[...] in GR

• eine raumzeitfüllende Ansammlung sich nicht schneidender, zeitartiger Kurven wird allgemein als zeitartige Kongruenz bezeichnet .

Beziehungen zwischen unterschiedlichen Referenzrahmen

Beziehungen zwischen zwei beliebigen unterschiedlichen Referenzrahmen in derselben Raumzeitregion, sagen wir$\Sigma$Und$\Omega$zustande kommen, weil bestimmte Mitglieder des einen und bestimmte Mitglieder des anderen Treffens (zusammenfallend, typischerweise "im Vorbeigehen") einander treffen; so dass an jedem Ereignis genau ein Mitglied jedes Referenzrahmens teilnahm. Zum Beispiel mit$A, B, C, ... \in \Sigma$Und$N, P, Q ... \in \Omega$so dass$A$Und$N$gemeinsam an der Veranstaltung teilgenommen (getroffen) haben$\varepsilon_{AN}$,$A$Und$P$gemeinsam an der Veranstaltung teilgenommen (getroffen) haben$\varepsilon_{AP}$,$B$Und$N$gemeinsam an der Veranstaltung teilgenommen (getroffen) haben$\varepsilon_{BN}$,$B$Und$Q$gemeinsam an der Veranstaltung teilgenommen (getroffen) haben$\varepsilon_{BQ}$,$C$Und$P$gemeinsam an der Veranstaltung teilgenommen (getroffen) haben$\varepsilon_{CP}$, Und$C$Und$Q$gemeinsam an der Veranstaltung teilgenommen (getroffen) haben$\varepsilon_{CQ}$,
die Struktur von$\Sigma$liefert die reellen Zahlenwerte der Verhältnisse$(\tau B[ \, \_N, \_Q \, ] / \tau A[ \, \_N, \_P \, ])$und von$(\tau C[ \, \_P, \_Q \, ] / \tau A[ \, \_N, \_P \, ])$, während die Struktur von$\Omega$liefert die reellen Zahlenwerte von$(\tau P[ \, \_A, \_C \, ] / \tau N[ \, \_A, \_B \, ])$und von$(\tau Q[ \, \_B, \_C \, ] / \tau N[ \, \_A, \_B \, ])$.

Soweit die geometrischen (und kinematischen) Strukturen wiederum chronogeometrisch definiert sind, also jene des Bezugssystems$\Sigma$definiert in Bezug auf bestimmte Durationsverhältnisse seiner Mitglieder ($A$,$B$,$C$, ...) und die des Bezugsrahmens$\Omega$definiert in Bezug auf bestimmte Durationsverhältnisse seiner Mitglieder ($N$,$P$,$Q$, ...), induzieren die grundlegenden Zufallsdaten, wer wen getroffen und passiert hat, Beziehungen zwischen diesen Strukturen der beiden Referenzrahmen.

In Übereinstimmung mit jedem Referenzrahmen separat und mit ihren Beziehungen untereinander kann es eine geometrische Struktur geben, die mit der gegebenen Raumzeitregion (set$\mathcal S$von Ereignissen) selbst; insbesondere in Bezug auf (Verhältnisse von) Lorentz-Abständen$\ell : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R^+$.

Beziehungen zu anderen Begriffen des Bezugsrahmens

die Koordinaten eines Ereignisses [...]

Der oben dargelegte Begriff des Referenzrahmens ist offensichtlich offensichtlich koordinatenfrei. Allerdings ist die Zuordnung von Koordinaten (also n-Tupel reeller Zahlen,$\mathbb R^n$, oder Teilmengen davon), jeweils eindeutig für ein beliebiges Mitglied eines Referenzrahmens, und (oft in Begriffen von "the$t$-Koordinate"-Komponente des n-Tupels), die jedem Ereignis eindeutig zugeordnet werden kann, von allgemeinerem Interesse sein.

• Seit$\mathbb R^n$(oder Teilmengen) durch eine bestimmte übliche Topologie gekennzeichnet sind , können wir unterscheiden, ob Koordinaten kompatibel (homöomorph) dem topologischen Raum zugeordnet sind, der durch die (geometrische oder zeitliche) Struktur des Referenzrahmens bereitgestellt wird.

• Da der Menge der reellen Zahlen ein metrischer Standardraum zugeordnet ist$R$selbst durch die als absolute Differenz definierte Distanz , können wir weiter unterscheiden, ob kompatible Koordinaten weiter (komponentenweise) glatt oder sogar proportional dem metrischen Raum zugeordnet werden, der durch die (geometrische oder zeitliche) Struktur des Referenzrahmens bereitgestellt wird.