Koordinaten für FLRW-Metrik

Das Standardkoordinatensystem ist das mathematisch einfachste, aber ich glaube nicht, dass es tatsächlich das physikalisch intuitivste ist. Dies liegt daran, dass wir von Objekten leben, die gravitativ gebunden sind, und Objekte verwalten, die elektromagnetisch definiert sind. Das bedeutet, dass unsere lokalen Längenskalen nicht von der kosmologischen Expansion beeinflusst werden. Aber wenn Sie sich die FRLW-Metrik in ihrer Standardform ansehen (ich wähle der Einfachheit halber die flache Kosmologie):

Sie können erkennen, dass sich das Lineal für einige Beobachter mit konstantem t tatsächlich mit der Zeit um einen Faktor ausdehnt$a$. Aus diesem Grund verwende ich bei der Beschreibung kosmologischer Beobachtungen eigentlich gerne ein anderes Koordinatensystem, in dem Sie ersetzen$r$mit$R = a(t)r$. Dann haben Sie$dR = {\dot a}r\,dt + a\,dr \rightarrow dr =dR- H (R/a)\,dt$, und die Metrik wird zu (beachten Sie, dass ich die Beziehung verwendet habe$H = \frac{\dot a}{a}$, ersetzen$a$mit Hubbles "Konstante"):

In Bezug auf die direkte Physik ist dieses Koordinatensystem viel klarer. Sie sehen, dass es für einen Beobachter mit konstantem t eine Koordinatensingularität bei gibt$R = \frac{1}{H}$, entsprechend dem kosmologischen Horizont. Weiterhin hat dieses Koordinatensystem a$g_{tr}$Koordinate, die, wie gezeigt werden kann, dem Rahmenziehen des Systems entspricht - also dehnt sich der Raum auf natürliche Weise mit einer Geschwindigkeit aus, die proportional zu ist$HR$, was Ihnen Hubbles Gesetz gibt.

Kommentare zur Frage (v3):

1. Es gibt zwar eine große Freiheit, lokale Koordinaten in GR zu wählen , aber es ist nicht möglich, den metrischen Tensor zu ändern $g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}$(wenn wir die Basiselemente einbeziehen$dx^{\mu}$Und$dx^{\nu}$).

2. Gegeben sei ein beliebiger, aber einzelner fester Raumzeitpunkt$p$, gibt es Riemannsche Normalkoordinaten .

3. Wir können die metrischen Komponenten nicht erhalten$g_{\mu\nu}$auf einer willkürlich vorgeschriebenen symmetrischen Form (mit Minkowski-Signatur) in einer noch so kleinen offenen Nachbarschaft. Es ist kein kostenloses Mittagessen!

Alle Koordinatensysteme sind gleich, aber manche Systeme sind gleicher als andere ;)

Im Fall von Friedmann-Universen gibt es einen ausgezeichneten Satz von Koordinaten, der einer Familie von frei fallenden Beobachtern entspricht, die das Universum als isotrop betrachten und so gewählt sind, dass Materie innerhalb einer räumlichen Scheibe zu konstanter Zeit homogen verteilt ist.

Außerdem könnten wir unsere Koordinaten so wählen, dass die zeitähnlichen Koordinaten mit der Eigenzeit unserer Beobachter und die raumähnlichen Koordinaten mit der Eigendistanz innerhalb einer räumlichen Scheibe übereinstimmen.

Dies ist nur eine mögliche Wahl unter vielen: Zum Beispiel würden Beobachter in relativer Bewegung das Universum nicht als isotrop sehen, und ihre Beschreibung der Materieverteilung wäre so gültig wie die von uns gewählte - nur weniger bequem.

Selbst wenn wir unsere Gruppe von Beobachtern behalten, können wir unsere Koordinaten frei skalieren, wie wir es für richtig halten. Zum Beispiel lässt die Verwendung von konformer Zeit und sich mitbewegenden Koordinaten die FLRW-Raumzeit täuschend wie den Minkoswki-Raum mit einer statischen Materieverteilung aussehen:

( Quelle )

Beachten Sie, wie die gelben Lichtstrahlen durch gerade Linien dargestellt werden und dass Galaxien in einem festen Abstand zur Bewegung sitzen würden.

Dies ist jedoch irreführend, genauso wie eine logarithmische Darstellung die zugrunde liegende Funktion nicht ändert. Beachten Sie, dass die Mathematik unabhängig von den Koordinaten dank der Magie der Tensorrechnung natürlich immer noch funktioniert: Die Raumzeit bleibt gekrümmt, der richtige Abstand innerhalb der räumlichen Scheiben wird größer und das Licht wird eine Rotverschiebung erfahren.