Wie groß ist die Dichte einer statischen Staubkugel in einem sich beschleunigenden Universum?

Einsteinsche Feldgleichungen sind lokal , daher liefern Bedingungen der Statik mit räumlicher Homogenität eindeutige Beziehungen zwischen Materiedichte, kosmologischer Konstante und räumlichem Krümmungsradius (erhältlich aus Friedmann-Gleichungen durch Einstellung$\dot a \equiv 0$Und$\ddot a \equiv 0$). Dabei spielt die globale Struktur der Lösung keine Rolle. Also ja, die Staubdichte wäre$\rho = \Lambda c^2 / 4\pi G$

Die Übergangsbedingungen am Rand der Staubkugel sind:

1. Die an der Grenze von beiden Seiten induzierte Metrik ist dieselbe. Das bedeutet, dass der Radius der Grenzkugel derselbe ist (bezeichnen wir ihn mit$R$) in beiden Geometrien und dieser Zeitkomponente der Metrik ($g_{tt}$in statischen Koordinaten) stetig ist.

2. Der statische Beobachter in der Nähe der Grenze an der äußeren SdS-Seite ist geodätisch. Dies bedeutet, dass an der Grenze die gravitative Anziehung der Staubmaterie durch die Abstoßung aufgrund der kosmologischen Konstante genau kompensiert wird, so dass eine Testmasse, die mit einer Geschwindigkeit von Null im statischen Bezugssystem freigesetzt wird, statisch bleiben würde. Quantitativ bedeutet dies, dass in statischen Koordinaten$\frac{d}{dr}g_{tt}=0$an der Grenze. Da der freie Parameter der SdS-Lösung die Masse ist$M$, wobei der Radius der Kreuzung festgelegt wird$R$würde die äußere Geometrie fixieren.

Für die SdS-Lösung$g_{tt} = 1 - \frac{2M} r -\frac{\Lambda r^2} 3$(in Einheiten mit$G=c=1$), also bedeutet die zweite Verbindungsbedingung das

$$M = \frac{\Lambda R^3 } 3 = \frac {4 \pi \rho R^3 } 3 \,.$$ Beachten Sie, dass während für klein$R$Diese Masse könnte als eine größere Staubmasse innerhalb der Kugel interpretiert werden$R$der räumliche Innenraum ist merklich gekrümmt, so dass das Innenvolumen größer ist als$\frac{4 \pi R^3 } 3$(gravitativer Massendefekt).

Weitere Informationen zu den Übergangsbedingungen in diesem Modell finden Sie in der umfangreichen Literatur, in der das Einstein-Straus-Modell diskutiert wird, das in gewissem Sinne eine Umkehrung der Lösung ist, die wir diskutieren: kosmologische Lösung, die die Leere um den Massenpunkt/das Schwarze Loch herum umgibt.

Aber ich versuche, die Grenzen von Massensystemen zu verstehen …

Während die obige Gleichung für$M$macht es nicht offensichtlich, es gibt tatsächlich eine Grenze für die Masse (und folglich für$R$), weil das$g_{tt}$Funktion muss bei positiv sein$r=R$. Das bedeutet, dass die Masse die Bedingung erfüllen muss$3 M < \Lambda ^{-\frac12}$. Der Grenzfall ist derselbe, in dem die Nariai-Lösung erhalten wird, und daher wäre die Grenzgeometrie die Nariai-Geometrie$dS_2 \times S_2$Schnitt entlang der zeitähnlichen Geodäte von$dS_2$Faktor, zusammengeklebt mit statischem Lambda-Staub Einstein-Universum ($S_3 \times \mathbb{ R}$) entlang der großen Kugel in zwei Hälften geschnitten$S_3$. Der Staubmateriegehalt einer solchen Grenzlösung ist also genau die Hälfte der Staubmaterie im statischen Einstein-Universum.