Wie kann man die reduzierte Masse in der gekrümmten Raumform darstellen, während man ein Zweikörpersystem in GR studiert?

Die Bewegung eines Zwei-Körper-Systems unter ihren inneren Kräften (unter der Annahme, dass keine äußeren Kräfte auftreten) kann mit der Lagrange-Analyse untersucht werden.

Wir gehen davon aus, dass beide Körper gleiche und entgegengesetzte Kräfte erfahren und um den gemeinsamen Massenmittelpunkt rotieren. Dann haben die Differentialgleichungen, die die Umlaufbahnen beschreiben (siehe (1), (2) und (3) in Bild ) die reduzierten Massenterme, um die kombinierte Bewegung beider Massen darzustellen.

Wenn wir in diesen Gleichungen annehmen, dass die Zentralmasse im Vergleich zur Planetenmasse sehr groß ist, dann verschwindet der Term der Planetenmasse ( m2 ) und Bahngleichungen werden nur noch von der Masse des Zentralkörpers ( m1 ) abhängig. Diese Situation ähnelt den Ergebnissen der Schwarzschild-Lösung (Gl. (4) in Bild ) für eine große zentrale Masse. Die GR-Analyse legt nahe, dass die Raumzeit um die große zentrale Masse gekrümmt wird und die Planeten daher notwendigerweise einer gekrümmten Bahn folgen müssen. Die Art der gekrümmten Bahn ist unabhängig von der Masse des Planeten. Daher muss sich sogar der Weg eines Photons (das keine Masse hat) biegen, da der Raum selbst gekrümmt ist.

Aber wir können auch eine Situation haben, in der die Masse des Planeten im Vergleich zum Zentralstern nicht sehr klein ist. Dann muss nach der klassischen Analyse die Drehung beider Körper um das gemeinsame Zentrum berücksichtigt werden. In einer klassischen Analyse kann dieses Zweikörpersystem mathematisch als eine einzelne reduzierte Masse dargestellt werden , die um das Zentrum rotiert. In ähnlicher Weise sollte eine Analyse für das Zweikörpersystem basierend auf GR auch die resultierende Krümmung berücksichtigen, die durch die beiden Massen erzeugt wird.

Die Frage ist: Wie kann der Term der reduzierten Masse in die GR-Analyse aufgenommen werden? Dies ist notwendig, um sicherzustellen, dass die Ergebnisse der klassischen Analyse und GR miteinander konsistent sind.

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Antworten (2)

Die kurze Antwort ist, dass das vollständige Zwei-Körper-Problem in GR wahnsinnig schwer ist.

Sicherlich können wir die Newtonsche Punktteilchengrenze von GR nehmen. In diesem Fall reduziert sich das Problem mit einer Reihe relativistischer Korrekturen auf die Newtonsche Gravitation; und in der Grenze, wo die Geschwindigkeiten der Teilchen viel kleiner sind als C und ihre Abstände im Vergleich zu ihren Schwarzschild-Radien groß sind, verschwinden alle diese Korrekturen und lassen die erwartete Newtonsche Grenze zurück

R → ¨ ich = − ∑ J ≠ ich M J ( R → J − R → ich ) | R → J − R → ich | 3
(in Einheiten wo G = C = 1 .) In diesem Regime wird der Begriff der reduzierten Masse also weiterhin nützlich und gültig sein; und in dieser Grenze stimmt die Newtonsche Gravitation mit GR überein, wie es sein muss.

Wenn Sie jedoch eine Situation erstellen möchten, in der zwei grundsätzlich nicht-Newtonsche Objekte umeinander kreisen, erfordert dies eine Menge Computercode und Fachwissen. Das Hauptbeispiel, das in den letzten 20 Jahren viel Blut, Schweiß und Tränen im GR-Feld verbraucht hat, ist die Simulation von zwei Schwarzen Löchern, die sich gegenseitig umkreisen und sich aufgrund von Gravitationsstrahlung spiralförmig nach innen drehen. In einer stark gekrümmten Raumzeit wie dieser sind vertraute Newtonsche Begriffe wie der Schwerpunkt eines Systems und die Gesamtmasse eines Systems (ganz zu schweigen von der reduzierten Masse) bemerkenswert schwierig, wenn nicht sogar unmöglich, zu definieren. Aber das sind Regime, in denen wir sowieso nicht erwarten, dass die Ergebnisse der Newtonschen Gravitation gelten.

Danke. Es wird interessant sein zu wissen, wie die GR-Ergebnisse (unter Verwendung der Schwarzschild-Metrik) mit den klassischen Ergebnissen (unter Verwendung der reduzierten Masse) für einen großen Planeten wie Jupiter übereinstimmen können. Die Masse des Planetenterms taucht in den geodätischen Gleichungen nicht auf. Ich glaube, dass die klassischen Ergebnisse besser mit den experimentellen Beobachtungen übereinstimmen, da sie die Bewegung beider Massen berücksichtigen. Alternativ können wir die Masse des Sterns M durch die Gesamtmasse (M+m) in der geodätischen Gleichung (4) ersetzen (siehe beigefügtes Bild), um sie mit Gleichung (1) der klassischen Analyse abzugleichen.

Wir können (?) die GR-Analyse des Zweikörperproblems in zwei Schritten durchführen:

  1. Finden Sie geodätische Gleichungen (GR-Analyse) für die Bahnen des zweiten Körpers (ein großer Planet wie der Jupiter) heraus, vorausgesetzt, dass der erste Körper (Sonne) im Zentrum fixiert ist. Trage sie in ein Diagramm ein. Gemäß der Relativitätstheorie sollte das Arbeiten in jedem Rahmen erlaubt sein. In jedem Fall befindet sich ein messender Beobachter (auf der Erde) weder auf dem Stern noch im Massenmittelpunkt dieser Planeten-Stern-Kombination.

  2. Übertragen (oder transformieren) Sie die Umlaufbahnen geometrisch auf den Massenmittelpunktrahmen. Wir können ein weiteres Diagramm zeichnen, indem wir den Abstand zwischen verschiedenen Punkten auf der Umlaufbahn und dem Massenmittelpunkt mit Hilfe des ersten Diagramms messen. Die Präzession der Umlaufbahnen, falls vorhanden, wird auch auf das Rahmendiagramm des Massenschwerpunkts übertragen.

Dieser Ansatz kann einfacher sein, wenn eine direkte mathematische Transformation/Analyse eines Zweikörpersystems schwierig ist.

Das Problem ist: "Was ist der Massenmittelpunkt eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs und eines massiven Körpers?" Es hat keine gute Definition in vollem GR. Wenn Sie an Annäherungen an das Zweikörperproblem mit relativistischen Korrekturen interessiert sind, würde ich vorschlagen, das Post-Newtonian Framework zu studieren, das mit der Newtonschen Mechanik beginnt und GR-Korrekturen als Reihe hinzufügt.
@Jerry Schirmer Vielen Dank für Ihre Kommentare
Wie kann man die reduzierte Masse in der gekrümmten Raumform darstellen, während man ein Zweikörpersystem in GR studiert?
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