Physikalische Bedeutung von Frames in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Question

Physikalische Bedeutung von Frames in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Bence Racskó

Obwohl ich mich seit geraumer Zeit mit der allgemeinen Theorie befasse, entzieht sich mir dies immer noch.

Die geodätische Gleichung kann in die Form gegossen werden

M \frac{D^{2} X^{μ}}{D τ^{2}} = - M Γ_{a β}^{μ} \frac{D X^{a}}{D τ} \frac{D X^{β}}{D τ},

$m\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}=-m\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau},$ die Verbindungskoeffizienten spielen also die Rolle einer 4er-Kraft. Die nichttensorische Natur dieses Ausdrucks beruht auf der Tatsache, dass diese 4-Kraft im Wesentlichen alle Trägheits-„Pseudokräfte“ einschließlich der Schwerkraft enthält, also rahmenabhängig ist.

Es ist klar, dass diese Gleichung "Koordinatenbeschleunigung" mit Kräften in Beziehung setzt, wie sie von einem Beobachter gesehen werden. Die wesentliche Frage ist, welche Art von Beobachter "Gravitationskraft" so sieht?

Ich meine, in der speziellen Relativitätstheorie, für einen globalen Lorentz-Rahmen $(t,x,y,z)$ stellt dieser Rahmen einen frei fallenden Beobachter dar, dessen "Raum" durch die kartesischen Koordinaten beschrieben wird $x,y,z$ .

Der Wechsel zu einem krummlinigen Koordinatensystem (nur in den räumlichen Variablen) macht dies weniger schmackhaft, aber ich denke, wir können dann eine lokale Perspektive verwenden: Die Koordinatenvektoren $\partial_i|_p$ liegen die "Maßstäbe" eines Beobachters bei $p$ . Was aber, wenn wir auch die Richtung der Zeitkoordinate ändern? Was bedeutet das?

Welche Art von Beobachter stellt dieses Koordinatensystem bei einem allgemeinen Koordinatensystem in GR an einem bestimmten Punkt dar? $p$ ? Wie erlebt er „Raum“ und „Zeit“ aus seiner Perspektive?

Was ist, wenn wir anstelle eines Koordinatenrahmens einen orthonormalen Rahmen verwenden?

Hinweis: Ich stelle diese Frage etwas allgemeiner, aber mein Ziel ist es, sagen zu können, wie manche Beobachter die Gravitationskraft empfinden .

Wenn ich zum Beispiel die Erde mit einer Schwarzschild-Metrik beschreibe (keine Rotation vorausgesetzt) und es einen Beobachter an einem festen Punkt auf der Erdoberfläche gibt und sich ein Teilchen frei bewegt (zum Beispiel ein Projektil, das mit einigen Anfangsbedingungen abgefeuert wird), I möchte mathematisch beschreiben können, wie dieser Beobachter das Teilchen sich bewegen sieht und welche Kraft er spürt, die auf das Teilchen wirkt.

BEARBEITEN:

Da meine Frage scheinbar verwirrend ist, werfe ich ein, dass ich glaube, meine Frage wäre nebenbei beantwortet, wenn mir jemand sagen würde, wie ich folgendes Problem lösen soll:

Lassen $(M,g)$ eine Raumzeit sein, wo $g=-a(r)dt^2+a(r)^{-1}dr^2+r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta d\varphi^2)$ ist die Schwarzschild-Metrik. Die Schwarzschild-Metrik wird durch einen Planeten mit Masse verursacht $M$ , dessen Oberfläche sich bei befindet $r=r_p$ .

Irgendwann $(r_p,\vartheta_0,\varphi_0)$ und Zeit $t_0$ Es gibt einen Beobachter. Der Beobachter ist in Bezug auf den Ursprung des Koordinatensystems bewegungslos, daher werden seine räumlichen Positionen beschrieben durch $(r_0,\vartheta_0,\varphi_0)$ die ganze Zeit.

Der Beobachter trägt drei Stäbe von Einheitslänge, $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ befriedigend $g(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)=\delta_{ij}$ als Bezugsrahmen.

Angenommen, die Weltlinie eines frei fallenden Teilchens kreuzt die Weltlinie des Beobachters an einem Punkt (damit der Beobachter lokale Messungen vornehmen kann), nehme ich an, dass die 3-Geschwindigkeit, die der Beobachter messen würde, einfach ist $v^i=e^\mu_i\frac{dx^\nu}{d\tau}g_{\mu\nu}$ , Rechts? Gleiches gilt für alle 4-tensorialen Größen.

Aber was ist mit der Gravitationskraft? Um die Verbindungskoeffizienten zu berechnen, muss man nicht nur den Rahmen an einem Punkt kennen, sondern auch in einem Bereich um den Punkt herum. Wie lautet also der mathematische Ausdruck, um zu beschreiben, wie der Beobachter die auf das Teilchen wirkende Kraft detektiert? Wie hängt es zusammen $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ ?

Wenn ich eine Kanonenkugel von der Erdoberfläche abfeuern würde, wie könnte ich GR verwenden, um ihre (3-) Flugbahn zu finden? Die 3-Trajektorie, die ich sehe?

JMLCarter

Frage ist nicht klar. Etwas zurückhaltend, einige erste Prinzipien zurückzubringen, da dies eher als offensichtlich interpretiert werden könnte als als eine Bitte um Klärung Ihres Dilemmas; 1) Das Äquivalenzprinzip besagt, dass die lokale Raumzeit für jeden Beobachter in jedem Bezugsrahmen gleich erscheint. Der Widerstand gegen gravitationsinduzierte Geschwindigkeitsänderungen wird als Beschleunigung erfahren. Koordinatensysteme sind nur verschiedene Arten der Positionsbeschreibung - sie haben keinen Einfluss auf die physikalischen Folgen, sondern darauf, wie sie abgeleitet oder gemessen werden können.

JMLCarter

3) Ein entfernter Beobachter sieht die Wirkung von Kräften als Änderungen (oder Widerstand gegen Änderungen) der Geschwindigkeit? Das sieht ein Objekt auf einem Geodätischen im freien Fall, was klassischerweise als Gravitationsanziehung oder relativistisch als Krümmung der Raumzeit interpretiert werden kann.

Bence Racskó

@JMLCarter Wir als Beobachter erleben Zeit und Raum als unterschiedliche Dinge. GR-Phänomene mögen koordinatenunabhängig sein, aber wenn wir Messungen durchführen, verwenden wir einen Standpunkt, der ein Rahmen ist. Es stört mich, dass ich viel über GR als abstrakte Theorie weiß, aber wenn mir jemand die Übung "Hey, lass uns ein Masseteilchen abfeuern

m

$m$ bei anfänglicher 3-Geschwindigkeit

v

$\mathbf{v}$ , seine Flugbahn mit GR anstelle der Newtonschen Schwerkraft zu berechnen, wäre ich nicht in der Lage, dies zu tun.

mmesser314

Ein Beobachter, der in einem frei fallenden Rahmen ruht, spürt keine Schwerkraft. Ein anderer, der auf der Erdoberfläche ruht, tut dies. Ist das eine Frage darüber, was "im Ruhezustand" bedeutet?

JMLCarter

@Uldreth Das habe ich aus deiner Frage wirklich nicht verstanden. Wenn Sie einen Link zu einem funktionierenden Beispiel wünschen, würde ich danach fragen. Irgendwo muss einer sein.

Bence Racskó

@JMLCarter Ich hatte auf eine allgemeinere Diskussion darüber gehofft, wie Frames und Beobachter zusammenhängen, aber fair genug.

Bence Racskó

@ mmesser314 Es ist eine Frage, wie man beschreibt, wie ein beliebiger Beobachter "den Raum sieht", einschließlich der Beobachtung von 3-Geschwindigkeiten, 3-Beschleunigungen, 3-Kräften.

JMLCarter

Wenn Sie es bis auf (eine Reihe von) spezifischen Problemen klären können, haben Sie vielleicht mehr Glück.

Bence Racskó

@JMLCarter Ich habe die Frage mit einem bestimmten Problem bearbeitet.

Antworten (2)

Physikalische Bedeutung von Frames in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Frage ist nicht klar. Etwas zurückhaltend, einige erste Prinzipien zurückzubringen, da dies eher als offensichtlich interpretiert werden könnte als als eine Bitte um Klärung Ihres Dilemmas; 1) Das Äquivalenzprinzip besagt, dass die lokale Raumzeit für jeden Beobachter in jedem Bezugsrahmen gleich erscheint. Der Widerstand gegen gravitationsinduzierte Geschwindigkeitsänderungen wird als Beschleunigung erfahren. Koordinatensysteme sind nur verschiedene Arten der Positionsbeschreibung - sie haben keinen Einfluss auf die physikalischen Folgen, sondern darauf, wie sie abgeleitet oder gemessen werden können.
3) Ein entfernter Beobachter sieht die Wirkung von Kräften als Änderungen (oder Widerstand gegen Änderungen) der Geschwindigkeit? Das sieht ein Objekt auf einem Geodätischen im freien Fall, was klassischerweise als Gravitationsanziehung oder relativistisch als Krümmung der Raumzeit interpretiert werden kann.
@JMLCarter Wir als Beobachter erleben Zeit und Raum als unterschiedliche Dinge. GR-Phänomene mögen koordinatenunabhängig sein, aber wenn wir Messungen durchführen, verwenden wir einen Standpunkt, der ein Rahmen ist. Es stört mich, dass ich viel über GR als abstrakte Theorie weiß, aber wenn mir jemand die Übung "Hey, lass uns ein Masseteilchen abfeuern $m$ bei anfänglicher 3-Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ , seine Flugbahn mit GR anstelle der Newtonschen Schwerkraft zu berechnen, wäre ich nicht in der Lage, dies zu tun.
Ein Beobachter, der in einem frei fallenden Rahmen ruht, spürt keine Schwerkraft. Ein anderer, der auf der Erdoberfläche ruht, tut dies. Ist das eine Frage darüber, was "im Ruhezustand" bedeutet?
@Uldreth Das habe ich aus deiner Frage wirklich nicht verstanden. Wenn Sie einen Link zu einem funktionierenden Beispiel wünschen, würde ich danach fragen. Irgendwo muss einer sein.
@JMLCarter Ich hatte auf eine allgemeinere Diskussion darüber gehofft, wie Frames und Beobachter zusammenhängen, aber fair genug.
@ mmesser314 Es ist eine Frage, wie man beschreibt, wie ein beliebiger Beobachter "den Raum sieht", einschließlich der Beobachtung von 3-Geschwindigkeiten, 3-Beschleunigungen, 3-Kräften.
Wenn Sie es bis auf (eine Reihe von) spezifischen Problemen klären können, haben Sie vielleicht mehr Glück.
@JMLCarter Ich habe die Frage mit einem bestimmten Problem bearbeitet.

gj255 · Answer 1

Ich mag diese Frage. Mein Verständnis ist, dass ein allgemeines Koordinatensystem nicht unbedingt den Koordinaten entspricht, die von einem physischen Beobachter gemessen werden. Allerdings kann man sicherlich fragen: Welchem Koordinatensystem entspricht ein gegebener Beobachter?

Nun, die „Zeit“-Koordinate unseres Beobachters muss die Eigenzeit entlang ihrer Wortlinie sein – das ist es, was unser Beobachter physisch als Zeit misst. Ihr zeitähnlicher Basisvektor ist also einfach ihre 4-Geschwindigkeit. Dann können wir unserem Beobachter an jedem gegebenen Punkt entlang der Weltlinie drei raumähnliche Vektoren geben, die orthogonal zueinander und zur 4-Geschwindigkeit sind. Die Metrik bei einem bestimmten Ereignis auf der Wortleitung ist dann einfach die Minkowski-Metrik.

Natürlich können wir an jedem Punkt entlang der Weltlinie unsere raumartigen Basisvektoren nach Belieben drehen. Welches ist die physische Wahl? Nun, die Wortleitung eines Beobachters ist keine vollständige Beschreibung dieses Beobachters – es ist auch notwendig zu wissen, wie sich der Beobachter dreht. Wenn wir verlangen, dass der Beobachter nicht rotiert, dann werden bei einer Auswahl von raumartigen Basisvektoren an einem Punkt der Weltlinie die Basisvektoren überall sonst durch den Fermi-Walker-Transport bestimmt . Das Versagen unserer Basisvektoren beim Fermi-Walker-Transport ist ein Maß für das Ausmaß, in dem sich unser Rahmen dreht.

Jetzt haben wir also eine Grundlage $e_\alpha$ (die orthonormal ist), die an jedem Punkt entlang der Weltlinie unseres Beobachters definiert ist, was der Basis entspricht, die unser Beobachter physisch verwenden würde. Damit können wir den Wert jeder vom Tensor abgeleiteten Größe bestimmen, die unsere Beobachterin finden würde, wenn sie sie messen würde. Wenn ein Teilchen mit Impuls $p$ vorbeifliegen würde, wäre seine gemessene Energie $e_0^\mu p_\mu$ . Wenn die Wellen eines elektromagnetischen Feldes durch sie hindurchgehen würden, würde das gemessene elektrische Feld in der $x$ -Richtung wäre $e_0^\mu e_1^\nu F_{\mu \nu}$ (bis zu einem Schild).

Aber um endlich zur eigentlichen Frage zu kommen, was ist mit dem Gravitationsfeld? Was würde unser Beobachter dafür messen? Das Problem besteht darin, dass das Gravitationsfeld, das ein Beobachter erfährt, von Ableitungen der Metrik (im entsprechenden Koordinatensystem) abhängt. Unsere Wahl der Basis ist jedoch nur auf der Weltlinie selbst definiert, und daher wissen wir laut unserem Beobachter nicht, welche Komponenten der Metrik von der Weltlinie entfernt sind.

Wir müssen etwas mehr Physik aufrufen.

Angenommen, Sie stehen zu jedem Zeitpunkt neben mir auf der Oberfläche unseres Planeten und erleben die Schwerkraft. Ich hingegen bin gerade in die Luft gesprungen und bin auf dem Höhepunkt meiner Flugbahn, augenblicklich in Ruhe; die Schwerkraft ist für mich verschwunden. Wir sind uns beide einig, was wir „Zeit“ nennen, da unsere 4-Geschwindigkeiten übereinstimmen. Für mich als Trägheitsbeobachter gibt es ein physikalisches Koordinatensystem, das in meiner unmittelbaren Umgebung definiert ist, normale Koordinaten .

Physikalisch erwarten wir jedoch, dass wir beide zu diesem Zeitpunkt einem gegebenen Raumpunkt die gleichen räumlichen Koordinaten zuordnen. Daher habe ich jetzt eine gute Definition Ihrer Koordinaten – Sie weisen einem nahen Punkt im Raum dieselben Raumkoordinaten zu wie einem stationären frei fallenden Beobachter (dessen raumähnliche Basisvektoren auf Ihre ausgerichtet sind).

Mit einem Koordinatensystem, das in der Nähe Ihrer Weltlinie definiert ist, ist es eine einfache Sache, die Komponenten des metrischen Tensors in Ihrem Koordinatensystem und daraus seine partiellen Ableitungen und daraus das Gravitationsfeld zu berechnen!

Referenzen: Allgemeine Relativitätstheorie, eine Einführung für Physiker; Hobson, Efstathiou und Lasenby; Cambridge; Abschnitte 5.13 und 7.5.

Wenn ich später Zeit finde, werde ich versuchen, zu veranschaulichen, wie dies für einen feststehenden Beobachter funktioniert $(r,\theta,\phi)$ in der Schwarzschild-Raumzeit. Ich bin mir sicher, dass es sich lohnen würde, dies selbst zu versuchen!

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich werde sicherlich einige Testberechnungen ausprobieren, wenn ich Zeit habe, aber natürlich würde ich mich freuen, Ihr Beispiel zu lesen, wenn Sie Zeit haben. Vor allem, dass mir etwas unklar ist. Meinst du das meine räumliche durch die Normalkoordinaten des frei fallenden Beobachters definiert sind, aber meine Zeitkoordinate anders ist? Das ist für mich das einzig sinnvolle, sonst würden alle Verbindungskoeffizienten verschwinden, aber ich habe trotzdem das Bedürfnis, nach Klarheit zu fragen.
Ja, das ist absolut richtig. Ich hätte deutlicher sein sollen: An einem bestimmten Punkt auf der Weltlinie unseres Beobachters können wir immer ein Trägheitssystem finden, so dass an diesem Punkt die Basisvektoren des Trägheitssystems und die Basisvektoren des Beobachters zusammenfallen. Der inertiale Beobachter kann dann in der Nähe dieses Punktes eine „konstante Zeithyperfläche“ definieren, und wir nehmen die von unserem Beobachter gemessene Zeit auch über dieser Hyperfläche als konstant an. Dann wählen wir auf dieser Hyperfläche die Raumkoordinaten unseres Beobachters als die des Inertialsystems.

John Rennie · Answer 2

Um die Erdbeschleunigung zu berechnen, berechnen Sie einfach die Viererbeschleunigung :

\begin{matrix} (1) & A^{a} = \frac{D^{2} X^{a}}{D τ^{2}} + Γ_{μ v}^{a} U^{μ} U^{v} \end{matrix}

$A^\alpha = \frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} + \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{1}$

In Ihrer Frage erwähnen Sie die geodätische Gleichung, aber die geodätische Gleichung beschreibt den frei fallenden Beobachter, dh den Beobachter, für den die Viererbeschleunigung Null ist. Und in der Tat Einstellung $\mathbf A = 0$ in (1) liefert uns sofort die geodätische Gleichung:

\frac{D^{2} X^{a}}{D τ^{2}} = - Γ_{μ v}^{a} U^{μ} U^{v}

$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = - \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu$

Wenn Sie also mit der geodätischen Gleichung beginnen, gehen Sie davon aus, dass die Beschleunigung Null ist, und Sie werden niemals in der Lage sein, das zu berechnen, was Sie wollen.

Die Erdbeschleunigung $G$ von einem Beobachter empfunden, also die Eigenbeschleunigung , ist die Norm der Vierer-Beschleunigung für diesen Beobachter:

G^{2} = G_{a β} A^{a} A^{β}

$G^2 = g_{\alpha\beta} A^\alpha A^\beta$

und da dies ein Skalar ist, können wir jedes geeignete Koordinatensystem verwenden, um es zu berechnen. Das für Studenten häufig verwendete Beispiel ist ein Beobachter, der in festem Abstand von einer kugelförmigen Masse schwebt, dh die Raumzeit-Geometrie ist die Schwarzschild-Geometrie. Seit $u_r = u_\theta = u_\phi = 0$ die Viererbeschleunigung ist einfach:

A = (0, \frac{G M}{R^{2}}, 0, 0)

$\mathbf A = (0, \frac{GM}{r^2}, 0, 0)$

Und die Norm ist dann:

G = \frac{G M}{R^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2 G M}{C^{2} R}}}

$G = \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$

Das ist nur der Newtonsche Ausdruck, modifiziert durch diesen Faktor $1/\sqrt{1-r_s/r}$ .

Ich denke, das beantwortet meine Frage (nicht vollständig, aber zumindest hat es eine hilfreiche Perspektive eröffnet, die ich vorher nicht in Betracht gezogen habe), also danke, aber ich möchte darauf hinweisen, dass ich nicht gesagt habe, dass der Beobachter die geodätische Gleichung erfüllt. Mein Beobachter ist ein Schalenbeobachter, und er beobachtet ein frei fallendes Teilchen. Mir ist klar, dass ein frei fallender Beobachter eine 4-Beschleunigung von null hat, aber der (nicht geodätische) Beobachter wird sehen, wie er sich beschleunigt (wenn ich einen Stein fallen lasse, sehe ich, wie er sich beschleunigt). Abgesehen davon ist die tatsächliche 4-Beschleunigung des Beobachters offensichtlich dasselbe, wonach ich suche, was ich nicht berücksichtigt habe.
@Uldreth: Ups, tut mir leid, ja. Ich bin jedenfalls froh, dass das geholfen hat.
Was ist mit der Perihel-Präzession? Wird diese Kraft $mG = \frac{GmM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$ erzeugen Sie den zusätzlichen Störterm wie wir ihn kennen mit $\frac{2 GmM 3 h^2}{r^4}$ ? Ich bezweifle es

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