Maximierung der Zeit in der Nähe eines Schwarzen Lochs

Ein Beobachter kann unendlich viel Zeit damit verbringen$r=4GM$wenn er mit einem präzisen Drehimpuls aus dem Unendlichen fällt$\ell = \pm 4GM$. (Einheiten$c=1$).

Ziehen Sie in Betracht, einen Beobachter aus der Unendlichkeit zu starten, so dass 1) er eine unendlich kleine Geschwindigkeit hat 2) er eine endliche Menge hat$\ell$des Drehimpulses. Wir behaupten, dass wir wählen können$\ell$so dass der Beobachter in eine Kreisbahn fällt.

Aus

$$V_{eff}(r) = - \frac{GM}{r} + \frac{\ell^2}{2r^2}- \frac{GM\ell^2}{r^3}$$

und die Energiegleichung, die Sie erwähnt haben

$$\frac12 \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+ V_{eff}(r) = \mathcal{E}= \mbox{const}$$

wir sehen das$\mathcal{E} = 0$weil wir zunächst im räumlichen Unendlichen mit infinitesimaler Radialgeschwindigkeit starten.

Eine Kreisbahn mit Radius$r_c$werde haben

$$V'_{eff}(r_c)=0$$ $$\left.\frac{dr}{d\tau}\right|_{r_c} = 0$$ und die letztere Gleichung zusammen mit der Energiegleichung sagt es uns $$V_{eff}(r_c) = 0.$$ Das Gleichungspaar ist $$\frac{3 G \ell^2 M}{r^4}+\frac{G M}{r^2}-\frac{\ell^2}{r^3}=0$$ $$-\frac{G \ell^2 M}{r^3}-\frac{G M}{r}+\frac{\ell^2}{2 r^2}=0$$

was auf die Lösung eines Quadratpaares hinausläuft. Sie können überprüfen, ob die einzigen Lösungen sind

$$\ell = \pm 4GM,\quad r=4GM.$$

Es ist nicht nur möglich,$r=4GM$ist die einzig mögliche Umlaufbahn mit den von uns angegebenen Anfangsbedingungen. Jetzt können Sie vielleicht auf eine endliche Anfangsradialgeschwindigkeit verallgemeinern, um zu sehen, ob eine engere Umlaufbahn möglich ist.

Verallgemeinerung der Antwort von Dwagg: Für jeden Radius$3M<r\leq4M$(unter Verwendung von Einheiten mit$G=c=1$), gibt es eine Umlaufbahn, die aus dem Unendlichen kommt und asymptotisch zu einer Kreisbahn wird. Diese Umlaufbahnen sind als homokline Umlaufbahnen bekannt. Diese Bahnen haben die gleiche Energie und den gleichen Drehimpuls wie die (instabile) Kreisbahn, zu der sie asymptotisch sind, was durch Lösen der Gleichungen gefunden werden kann

$$V'_{eff}(r)=0$$ Und $$V_{eff}(r)=\mathcal{E}.$$

Das gibt

$$\mathcal{E} = \frac{(r-2M)}{\sqrt{r(r-3M)}}$$ Und $$\ell = \pm\frac{Mr}{\sqrt{M(r-3M)}}.$$

Diese Umlaufbahnen verbringen unendlich viel Zeit darunter$r=4M$. Wenn Sie, wie Sie angeben, eine Umlaufbahn wünschen, die nach unten eintaucht$r=4M$und kehrt ins Unendliche zurück, dann kann man die Energie wie in der Formel nehmen und einen etwas höheren Drehimpuls. Da man den Drehimpuls an den homoklinen Grenzwert herankommen lässt, vergeht die Zeit darunter$r=4M$wird sich der Unendlichkeit nähern.