Was ist das „Bezugssystem eines Teilchens“ in der Allgemeinen Relativitätstheorie?

Wenn man in der Speziellen Relativitätstheorie von „dem Bezugssystem eines Teilchens“ spricht, ist es ziemlich klar, was sie bedeuten.

Zunächst einmal: Man beginnt damit, kartesische Koordinaten auf der flachen Raumzeit aufzustellen. Diese sind als Koordinaten relativ zu einem im Ursprung ruhenden Beobachter zu denken.

Dann betrachtet man die Bewegung des Teilchens relativ zu diesem ersten Beobachter, den wir basierend auf dem kartesischen Koordinatensystem ausgewählt haben. Dies ergibt einen parametrisierten Pfad X μ ( τ ) für das Teilchen.

Der Rahmen des Partikels bedeutet dann tatsächlich, einen Satz kartesischer Achsen zu bilden, die sich mit dem Partikel bewegen. Also, wenn wir Komponenten schreiben v μ relativ zum Rahmen des Partikels, wir meinen eigentlich, die Komponenten relativ zu diesen sich bewegenden Achsen zu berechnen. In diesem Koordinatensystem ruht das Teilchen, so dass seine Bewegung trivialerweise gerade ist ( τ , 0 , 0 , 0 ) .

Das ist alles in Ordnung. Aber in GR sind die Dinge viel komplizierter. Das Hauptproblem ist: Wir haben nicht dieses anfängliche globale kartesische System, das sich auf diesen Beobachter bezieht.

Eigentlich haben wir nur: (i) den Begriff der Horoskope, die nicht unbedingt an einen Beobachter gebunden sind, und (ii) den Begriff des Beobachters als Paar ( γ , e ) Sein γ : R → M eine zeitähnliche zukunftsgerichtete Weltlinie und e μ ein Satz von vier orthonormalen Vektorfeldern entlang γ so dass e 0 = γ ' .

Wenn wir nun über das Bezugssystem eines Teilchens sprechen wollen, was würde das bedeuten? Ich bin ziemlich verloren, hauptsächlich weil in SR der Begriff des Beobachters "global" war: Wir haben eine Reihe von kartesischen Achsen, die sich über die gesamte Raumzeit erstrecken, die jedes Ereignis überall registrieren können, und wir binden dies an einen einzelnen Beobachter.

In GR kann ein Beobachter als Weltlinie zusammen mit daran getragenen Äxten gesehen werden. Der Beobachter ist lokal in dem Sinne, dass (i) ihm kein Koordinatensystem entspricht, geschweige denn ein globales, (ii) der Beobachter Tensoren nur Komponenten zuordnen kann, die in Ereignissen seiner Weltlinie existieren.

In Anbetracht dessen: Wenn wir in GR von "dem Bezugssystem eines bestimmten Teilchens" sprechen, was meinen wir damit und wie bauen wir es mathematisch genau auf?

Danke, dass du versucht hast, @MujjinGun zu helfen, aber ich fürchte, das hilft hier wirklich nicht viel. Ich spreche von der Allgemeinen Relativitätstheorie, in der die Raumzeit eine allgemeine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit ist ( M , G ) , nicht Minkowski-Raum.
Auf jeden Fall E in der Raumzeit der Tangentialraum T E M ist ein Vektorraum, und ein Rahmen ist eine geordnete Basis für diesen Vektorraum.
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/12221/2451 und Links darin.

Antworten (2)

Ich glaube, in GR kann man nur lokal zum Referenzrahmen des Partikels übergehen.

So einfach ist das: Sie haben immer einen lokalen Satz von Frames mit Minkowski-Metrik (nach Äquivalenzprinzip); Wählen Sie einfach eine mit der Zeitkoordinate aus, die die (unendlich kleine) Eigenzeit entlang der Weltlinie kennzeichnet.

Sie haben absolut Recht, dass es keinen einzigen globalen Referenzrahmen des Teilchens gibt.

Mein Verständnis eines "Referenzrahmens" oder vielleicht genauer gesagt eines Ruherahmens in GR hängt eng mit dem Konzept des orthogonalen Projektors zusammen. Lassen Σ sei eine raumartige oder zeitartige Hyperfläche der Mannigfaltigkeit M Und T P ( M ) ist der Tangentialraum von P ∈ Σ , Dann T P ( M ) kann orthogonal zerlegt werden als

(1) T P ( M ) = T P ( Σ ) ⊕ v e C T ( N ) ,
Wo v e C T ( N ) ist der 1D-Unterraum von T P ( M ) durch den Normalenvektor erzeugt N von Σ . Die Zerlegung (1) hat einen entsprechenden Projektor γ →
γ → : T P ( M ) → T P ( Σ ) (2) v ↦ v ± ( N ⋅ v ) N ,
Wo + ist für eine gewisse Zeit Σ und - für ein raumähnliches Σ . (2) kann in der Koordinatenbasis ausgedrückt werden { e a } von T P ( M ) als
(3) γ   β a = δ   β a ± N a N β .
Der Projektionsoperator induziert den metrischen Tensor on Σ : γ a β woraus wir ein angepasstes Koordinatensystem extrahieren konnten. γ a β ist im Allgemeinen nicht flach.

Solche Projektoren können verwendet werden, um frei fallende/nicht rotierende "Euler"-Beobachter und dergleichen in lokale Ruhesysteme zu projizieren.

Betrachten wir zum Beispiel einen Beobachter Ö an a die zeitähnliche Weltlinie L In M mit dem zukunftsgerichteten Einheitsvektor u

u ⋅ u = − 1
tangential zu L . u ist die Viergeschwindigkeit des Beobachters. Der Unterraum Σ in welchen γ → Projekte können als lokaler Ruheraum des Betrachters betrachtet werden Ö , da die Geschwindigkeit am verschwindet Σ : γ → ( u ) = 0 . Die Komponente von u normal bis Σ ist nicht unbedingt trivial.

Um einen solchen Rahmen zu finden, ist zunächst kein bestimmter (flacher / euklidischer / ...) Rahmen erforderlich, solange man eine nicht lichtartige Weltlinie finden / definieren kann L man kann einen orthogonalen Projektor konstruieren γ → und damit kommt die Vorstellung eines lokalen Ruheraums/Rahmens. Das Konzept und die Definition sind koordinatenunabhängig (Gl. (1) und (2)).

Dies wäre eine Mathematik, die sich auf die Punkte bezieht, die OP bereits gemacht hat. Ich habe die Notation von [Eric Gourgoulhon, 2007, 3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity] angepasst .

Danke @MJSteil für die Antwort. Also gegeben ein Beobachter mit vier Geschwindigkeiten u , die Untermannigfaltigkeit Σ Sie definieren wäre das Übliche 3 -dimensionaler Raum, wie er von diesem Beobachter gesehen wird? Ist das die Idee?
Was ist das „Bezugssystem eines Teilchens“ in der Allgemeinen Relativitätstheorie?
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