Wie definieren wir ein Koordinatensystem richtig, insbesondere seine Beziehung zu Vektorräumen?

Ich mochte die Diskussion in „A Geometric Approach to Differential Forms“ von David Bachman und „Tensors, Differential Forms And Variational Principles“ von Lovelock & Rund.

Erstens benötigen Vektorräume keine Koordinatensysteme. Vektorräume lassen sich sehr gut abstrakt definieren. Ein großartiges Buch hier ist Halmos "Finite-dimensional vector spaces". Axlers Buch (oben vorgeschlagen) ist auch großartig.

In der Physik wollen wir normalerweise über Räume sprechen, insbesondere über topologische Räume und insbesondere über differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Nehmen wir an, Sie haben so einen Verteiler$M$und eine Skalarfunktion$F$dazu definiert$M$. Die Funktion kann als Abbildung von der Mannigfaltigkeit auf den Raum der reellen Zahlen betrachtet werden$F: M\to \mathbb{R}$, dh für jeden Punkt$p\in M$auf der Mannigfaltigkeit hat die Funktion einen reellen Wert.

Als nächstes ist das Arbeiten mit abstrakten Punkten auf der Mannigfaltigkeit umständlich, daher definiert man normalerweise eine Abbildung von reellen Zahlen oder kartesischen Produkten mehrerer reeller Zahlenräume auf die Mannigfaltigkeit, dh$\varphi:\mathbb{R}\times\dots\mathbb{R}\to M$. So dass für jeden$p\in M$Es gibt ein eindeutiges Tupel reeller Zahlen$\{x^i\}_{i=1 \dots N}$, so dass$\varphi\left(x^1,\,x^2\,\dots\right)=p$. Das ist das Koordinatensystem. Wir können jetzt definieren$f=F\circ\varphi: \mathbb{R}\times\dots\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

Als nächstes wollen wir normalerweise wissen, wie viel$F$ändert sich, wenn wir uns bewegen$p_1=\varphi\left(x^1\dots\right)$Zu$p_2=\varphi\left(x^1+\delta x^1\dots\right)$. Dies kann ausgedrückt werden als$df=\sum_i \delta x^i \frac{\partial f}{\partial x^i}=\delta x^i \partial_i f$. Nun können wir feststellen, dass es eine Ähnlichkeit zwischen Vektorräumen und partiellen Ableitungen gibt, beide können addiert, mit reellen Zahlen multipliziert werden usw. Die Analogie ist so gut, dass Sie einen Tangentenvektorraum an einem Punkt definieren können$p\in M$. Dieser Tangentenvektorraum, bezeichnet mit$T_p M$, enthält alle Linearkombinationen partieller Ableitungen erster Ordnung at$p$, dh$T_p M=\{\partial_1, \partial_1 + \partial_2, \partial_1 -3 \partial_2\dots\}$. Das ist der Vektorraum, nach dem Sie gesucht haben. Insbesondere ein Vektor$v\in T_p M$,$v=v^i\partial_i$ist ein Differentialoperator, der auf jede beliebige Funktion angewendet werden kann$M$geben$v.f=v^i \partial_i f$, Wo$v^i$sind (reelle) Zahlen.

Beachten Sie, dass dieser Vektorraum nur an einem einzigen Punkt der Mannigfaltigkeit definiert ist. Die Ansammlung von Tangentialräumen an allen Punkten wird als Tangentialbündel bezeichnet. Da gibt es noch viel mehr zu decken. Sternberg diskutiert es in "Group Theory and Physics".

Was ist also der praktische Nutzen einer so langen Definition? Nun, die Definition Ihrer Vektorbasis durch Ableitungen kann sehr elegant sein. Zum Beispiel kann gezeigt werden, dass kartesische Basisvektoren in 3D gegeben sind durch$\mathbf{\hat{x}}=\boldsymbol{\nabla}x,\,\mathbf{\hat{y}}=\boldsymbol{\nabla}y,\,\mathbf{\hat{z}}=\boldsymbol{\nabla}z$. In ähnlicher Weise können wir die nicht normierte Basis für die sphärischen Koordinaten als definieren$\boldsymbol{e}_r = \boldsymbol{\nabla}r,\, \boldsymbol{e}_\theta = \boldsymbol{\nabla}\theta, \boldsymbol{e}_\phi = \boldsymbol{\nabla}\phi$. Also für jede Funktion$f=f\left(r,\,\theta,\,\phi\right)$, per Definition,

$\boldsymbol{\nabla}f=\boldsymbol{e}_r\partial_r f + \boldsymbol{e}_\theta\partial_\theta f+ \boldsymbol{e}_\phi\partial_\phi f$,

aber gleichwertig

$\boldsymbol{\nabla}f=\mathbf{\hat{x}}\partial_x f + \mathbf{\hat{y}}\partial_y f + \mathbf{\hat{z}}\partial_z f$.

Was ist, wenn$f=\theta$? Dann:

$\boldsymbol{e}_\theta = \mathbf{\hat{x}}\partial_x \theta + \mathbf{\hat{y}}\partial_y \theta + \mathbf{\hat{z}}\partial_z \theta$

Jetzt kennen Sie also die Zerlegung eines der sphärischen Basisvektoren in die kartesische Basis aus der Analysis - keine Notwendigkeit für diese lästigen Diagramme! Zum Beispiel$\tan\theta=\sqrt{x^2+y^2}/z$, So

$\partial_x \tan\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\partial_x \theta = \frac{x}{z\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\cos\phi}{r\cos\theta}$, So:

$\partial_x \theta = \frac{\cos\phi\cos\theta}{r}$

usw.

Nach einiger Arbeit können Sie die normalisierte sphärische Basis wiederherstellen$\mathbf{\hat{r}}=\boldsymbol{e}_r,\,\boldsymbol{\hat{\theta}}=r\boldsymbol{e}_\theta\,\boldsymbol{\hat{\phi}}=r\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$

Na und? Nun, wie wäre es mit Curl?

$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\hat{\theta}}=\boldsymbol{\nabla}\times r.\boldsymbol{\nabla}\theta=\boldsymbol{\nabla}r\times\boldsymbol{\nabla}\theta=\boldsymbol{\hat{r}} \times \boldsymbol{\hat{\theta}}/r$

Viel einfacher als zu versuchen, mit kartesischen Koordinaten zu arbeiten

Können Koordinatensysteme ohne Vektorraum existieren?

Ja. Zum Beispiel gibt es auf der Erdoberfläche ein Koordinatensystem, das Längen- und Breitengrad genannt wird. Aber die Oberfläche einer Kugel ist kein Vektorraum.

Wie können wir das mathematisch ausdrücken?

Im Fall einer sphärischen Oberfläche ist ein üblicher Weg ein Polarwinkel$\theta$und eine azimutale Angke$\phi$.

Ich neige dazu zu sagen, dass dem Vektorraum ein Koordinatensystem auferlegt wird, sodass die Achsen in Richtung der Basisvektoren liegen und dass die Koordinaten die skalaren Komponenten des Vektors zu einem bestimmten Punkt sind?

Grundsätzlich ja. Aber formaler gesagt, wenn Sie einen Basissatz wählen,$B_1, B_2, ..., B_n$für einen Vektorraum, dann für jeden$V$Das ist ein Mitglied des Raums, in dem Sie einzigartige Skalare finden können$a_1, a_2,...,a_n$so dass$V=a_1B_1+a_2B_2+\dots+a_nB_n$.

Der$a_1, a_2,...,a_n$sind die Koordinaten von$V$.